7.4.2超幾何分布課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

7.4.2超幾何分布溫故知新1.二項(xiàng)分布：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X~B(n，p).若X~B(n,p)，則有2.二項(xiàng)分布的均值與方差3.古典概型概率計(jì)算公式【探究1】已知100件產(chǎn)品中有8件次品,分別采用有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取4件.設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.【思考2】如果采用不放回抽樣，那么抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X是否也服從二項(xiàng)分布?【思考1】如果采用有放回抽樣，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布嗎？采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨(dú)立，此時(shí)X服從二項(xiàng)分布，即X~B(4,0.08).采用不放回抽樣，雖然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一個(gè)試驗(yàn)，各次抽取的結(jié)果不獨(dú)立，不符合n重伯努利試驗(yàn)的特征，因此X不服從二項(xiàng)分布.解：由題意可知，X可能的取值為0,1,2,3,4.【思考3】如果采用不放回抽樣，抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X服從什么分布？如何求X的分布列？X01234P0.712570.256210.029890.001310.00002計(jì)算的具體結(jié)果(精確到0.00001)如下表所示：提示：根據(jù)古典概型求X的分布列.由古典概型的知識(shí)，得X的分布列為

從100件產(chǎn)品中任取4件,樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn),且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能發(fā)生的.其中4件產(chǎn)品中恰有k件次品的結(jié)果數(shù)為.【探究2】從探究1中我們能夠抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)模型：從含有M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地抽取n件產(chǎn)品，用X表示抽取的次品數(shù)，則【思考】k的取值范圍是多少？·100件產(chǎn)品中有8件次品，抽4次；·100件產(chǎn)品中有8件次品，抽94次；兩個(gè)例子的抽取次品上下限分別是多少？一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為超幾何分布:其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.超幾何分布的三個(gè)特征：①總體中含有兩類不同的個(gè)體;②不放回抽樣;③隨機(jī)變量是從總體中抽取的n個(gè)個(gè)體中某一類個(gè)體的數(shù)量.解：設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)，則X服從超幾何分布，且N＝50,M＝1,n＝5.【例1】從50名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表，求甲被選中的概率.容易發(fā)現(xiàn)，每個(gè)人被抽到的概率都是.這個(gè)結(jié)論非常直觀，上述解答過程就是這一結(jié)論的推導(dǎo)過程.因此甲被選中的概率為解：設(shè)X表示抽取10個(gè)零件中不合格品數(shù)，則X服從超幾何分布，其分布列為【例2】一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格.隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1件不合格的概率.∴至少有1件不合格的概率為(直接法)(間接法)【探究3】服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么?設(shè)隨機(jī)變量

X服從超幾何分布，則X

可以解釋為從包含M

件次品的N

件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n

件產(chǎn)品中的次品數(shù).令，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而是抽取的n

件產(chǎn)品的次品率.我們猜想下面對(duì)均值進(jìn)行證明.證明：令m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.

由隨機(jī)變量的定義：當(dāng)m>0時(shí)，當(dāng)m=0時(shí)，類似可以證明結(jié)論依然成立.若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則有解：(1)對(duì)于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗(yàn)之間的結(jié)果是獨(dú)立的，因此X~B(20,0.4)，X的分布列為【例3】一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.對(duì)于不放回摸球,各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立,X服從超幾何分布,X的分布列為(2)利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算出兩個(gè)分布列的概率值(精確到0.00001),如下表所示.樣本中黃球的比例是一個(gè)隨機(jī)變量,根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得因此,在相同的誤差限制下,采用不放回摸球估計(jì)的結(jié)果更可靠些.不放回摸球:有放回摸球:兩種摸球方式下，隨機(jī)變量X分別服從二項(xiàng)分布和超幾何分布，雖然這兩種分布有相等的均值(都是8)，但從兩種分布的概率分布圖(如下圖)看，超幾何分布更集中在均值附近.二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取的n件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.對(duì)于不放回抽樣，當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，每抽取一次后，對(duì)N的影響很小，此時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.超幾何分布二項(xiàng)分布試驗(yàn)類型

抽樣

抽樣試驗(yàn)種數(shù)有

種物品有

種結(jié)果隨機(jī)變量取值的概率利用

計(jì)算利用

計(jì)算聯(lián)系當(dāng)

時(shí)，超幾何分布

二項(xiàng)分布不放回放回兩兩古典概型獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)總體N很大近似超幾何分布與二項(xiàng)分布的聯(lián)