1.4.1第3課時(shí)　空間中直線、平面的垂直 練習(xí)冊(cè)答案

第3課時(shí)空間中直線、平面的垂直1.B[解析]因?yàn)閙=(-2,2,5),n=(3,-2,2),所以m·n=-2×3+2×(-2)+5×2=0,故m⊥n,所以α⊥β.故選B.2.B[解析]∵直線l的一個(gè)方向向量為a=(2,2,-2),平面α的一個(gè)法向量為b=(1,1,-1),∴a=2b,∴l(xiāng)⊥α,故選B.3.B[解析]因?yàn)閘⊥α,所以m-1=n2=31,解得m=-3,n=6,所以m+n=-3+6=34.A[解析]因?yàn)锳B=(-1,1,-2),n=(2,-2,4),所以n=-2AB,所以n∥AB,所以AB⊥α.故選A.5.B[解析]以D為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),E12,12,1,∴CE=12,-12,1,AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0),A1D=(-1,0,-1),A1A=(0,0,-1).∵CE·BD=(-1)×12+(-1)×-12+0×1=0,∴CE⊥BD.∵CE·AC=-1≠0,CE·A1D=-32≠0,CE6.D[解析]由題意得,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos60°,所以AC=1+4-2×1×2×12=3,所以AC2+AB2=BC2,所以AB⊥AC,故①正確.以A為原點(diǎn),AB,AC,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AP=a(a>0),則A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),P(0,0,a),所以AB=(1,0,0),PC=(0,3,-a).因?yàn)锳B·PC=0,所以AB⊥PC,所以AB⊥PC,又AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC,故②正確.因?yàn)锳B⊥PC,AE⊥PC,AB∩AE=A,所以PC⊥平面ABE,故③正確.由③及BE?平面ABE,得PC⊥BE,故④正確.7.D[解析]以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0),設(shè)M(4,a,b)(a,b∈[0,4]),則D1M=(4,a,b-4),CP=(4,-4,2).因?yàn)镈1M⊥CP,所以D1M·CP=16-4a+2b-8=0,得b=2a-4,所以M(4,a,2a-4),|BM|=(4-4)2+(a-4)2+(2a-4)2=5a-1252+165,所以當(dāng)a=128.AB[解析]對(duì)于選項(xiàng)A,若n1∥n2,則α∥β,若α∥β,則n1∥n2,選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,若n1⊥n2,則α⊥β,若α⊥β,則n1⊥n2,選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,若v∥n1,則l⊥α,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,若v⊥n1,則l∥α或l?α,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AB.9.AC[解析]以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則A1(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),B1(a,a,a),C1(0,a,a),B(a,a,0),D1(0,0,a).對(duì)于A,∵A1D=(-a,0,-a),AB1=(0,a,a),∴A1D·AB1=-a2≠0,∴直線A1D與AB1不垂直,故A中結(jié)論不正確;對(duì)于B,∵BC1=(-a,0,a),∴A1D·BC1=(-a,0,-a)·(-a,0,a)=a2-a2=0,∴直線A1D與BC1垂直,故B中結(jié)論正確;對(duì)于C,∵BD1=(-a,-a,a),∴A1D·BD1=(-a,0,-a)·(-a,-a,a)=a2-a2=0,∴直線A1D與BD1垂直,故C中結(jié)論不正確;對(duì)于D,三棱錐A-A1CD10.垂直[解析]因?yàn)閍=(-1,2,-4),b=(2,3,1),所以a·b=-2+6-4=0,所以a⊥b.因?yàn)槠矫姒僚c向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β與向量b=(2,3,1)垂直,所以α⊥β.11.-1或4[解析]∵α⊥β,∴a⊥b,∴a·b=(3x-1)(x+1)-(x2+3)-x(x+5)=0,解得x=-1或x=4.12.1,12,1[解析]由題意得D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),所以D1C=(0,2,-1),AC=(-1,2,0).因?yàn)辄c(diǎn)P在平面A1B1C1D1上,所以設(shè)點(diǎn)P(m,n,1),所以DP=(m,n,1).若DP⊥平面ACD1,則DP·D13.證明:方法一:取BC的中點(diǎn)O,連接AO.∵△ABC為正三角形,∴AO⊥BC.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,易得平面ABC⊥平面BCC1B1,∵平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO?平面ABC,∴AO⊥平面BCC1B1.如圖,取B1C1的中點(diǎn)O1,連接OO1,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OO1,OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,3),B1(1,2,0).設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),則n⊥BA1,n⊥BD,即n·BA1∴-x+2y+3z=0,-2∵AB1=(1,2,-3),∴AB1=n,∴AB1⊥方法二:設(shè)平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m,則存在實(shí)數(shù)λ,μ,使得m=λBA1+μBD.令BB1=a,BC=b,BA=c,顯然它們不共面,且|a|=|b|=|c|=2,a·b=a·c=0,b·c=2,將{a,b,c}作為空間的一個(gè)基底,則BA1=BB1+B1A1=BB1+BA=a+c,BD=BC+CD=BC+12BB1=12a+b,AB1=BB1-BA=a-c,故m=λBA1+μBD=λ+12μa+μb+λc,故A方法三:令BB1=a,BC=b,BA=c,顯然它們不共面,且|a|=|b|=|c|=2,a·b=a·c=0,b·c=2,將{a,b,c}作為空間的一個(gè)基底,則BA1=BB1+B1A1=BB1+BA=a+c,BD=BC+CD=BC+12BB1=12a+b,AB1=BB1-BA=a-c.∵AB1·BA1=(a-c)·(a+c)=|a|2-|c|2=0,AB1·BD=(a-c)·12a+b=12|a|2+a·b-12a·c-b·c=0,∴AB14.證明:(1)以P為原點(diǎn),PA,PB,PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),∴EF=(0,-1,-1),EG=(1,-1,-1).設(shè)平面GEF的法向量為n=(x,y,z),則n·EF取y=1,得n=(0,1,-1).顯然PA=(3,0,0)是平面PBC的一個(gè)法向量.∵n·PA=0,∴n⊥PA,∴平面GEF⊥平面PBC.(2)由(1)知,EG=(1,-1,-1),PG=(1,1,0),BC=(0,-3,3),∴EG·PG=0,EG·BC=0,∴EG⊥PG,EG⊥BC,∴EG與直線PG和BC都垂直.15.BD[解析]如圖,設(shè)該正三棱柱的各棱長(zhǎng)均為2,易得AD⊥BC,AD=3,設(shè)B1C1的中點(diǎn)為D1,連接DD1,則DA,DB,DD1兩兩垂直,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DB,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(3,0,0),A1(3,0,2),B1(0,1,2),C(0,-1,0),B(0,1,0),E(0,-1,1),所以AB1=(-3,1,2),AC=(-3,-1,0),AB=(-3,1,0),則AP=xAB1+yAC+(1-x-y)AB=(-3,1-2y,2x).對(duì)于A,ED=(0,1,-1),AE=(-3,-1,1),若x=y,則EP=AP-AE=(0,2-2x,2x-1),所以ED·EP=2-2x-2x+1=3-4x(x∈[0,1]),ED·EP的正負(fù)不確定,故∠DEP不一定為銳角,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,BE=(0,-2,1),若x+2y=1,則AP·BE=4y-2+2x=2(x+2y)-2=0,即AP⊥BE,故B正確.對(duì)于C,若y=12,則A1P=A1A+AP=(0,0,-2)+(-3,0,2x)=(-3,0,2x-2),BP=BA+AP=(3,-1,0)+(-3,0,2x)=(0,-1,2x).若A1P⊥BP,則A1P·BP=(2x-2)·2x=0,又x∈[0,1],則x=1或x=0,則點(diǎn)P不唯一,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,DA=(3,0,0),DE=(0,-1,1),設(shè)平面ADE的法向量為n=(a,b,c),則n·DA=3a=0,n·DE=-b+c=0,取b=1,則n=(0,1,1).A1P=A1A+AP=(0,0,-2)+(-3,1-2y,2x)=(-3,1-2y,2x-2),所以n·A1P=1-2y+2x-2=2(x-y)-1,由x-y=12,可知n16.解:(1)證明:因?yàn)镻D⊥底面ABCD,DC,DA?底面ABCD,所以PD⊥DC,PD⊥DA.因?yàn)椤螪AB=90°,AB∥DC,所以AB⊥DA,DA⊥DC,又DA∩PD=D,DA,PD?平面PAD,所以DC⊥平面PAD.以D為原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,如圖所示.因?yàn)镻D=DA=CD=2AB=2,M為PC的中點(diǎn),所以D(0,0,0),B(2,1,0)