模型03 相交線與平行線-豬蹄模型-解析版

相交線與平行線模型（三）——豬蹄模型◎結(jié)論1：若AB∥CD，則∠B0C=∠B+∠C【證明】過點(diǎn)O作OE//AB，如圖.∵AB∥CD,∴OE∥CD,∴∠B=∠1,∠C=∠2,∴∠1+∠2=∠B+∠C，即∠BOC=∠B＋∠C.◎結(jié)論2：若∠BOC=∠B+∠C，則AB∥CD.【證明】過點(diǎn)O作OE∥AB，如圖，則∠B=∠1,∵∠BOC=∠B+∠C，∠BOC=∠1+∠2，∴∠1+∠2=∠B+∠C，∴∠C=∠2，∴OE∥DC，又OE∥AB，∴AB∥CD.1．（2022·山東·滕州市龍泉街道滕東中學(xué)七年級(jí)期中）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C=180°；②如圖2，ABCD，則∠E=∠A+∠C;③如圖3，ABCD，則∠A+∠E－∠1=180°；④如圖4，ABCD，則∠A=∠C+∠P．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(

)

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①過點(diǎn)E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點(diǎn)E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③過點(diǎn)E作直線，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠E-∠1=180°；④先過點(diǎn)P作直線，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和同位角相等即可作出判斷．【詳解】解：①過點(diǎn)E作直線，∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①錯(cuò)誤；②過點(diǎn)E作直線，∵，∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正確；③過點(diǎn)E作直線，∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正確；④如圖，過點(diǎn)P作直線，∵，∴，∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，∴∠1＝∠C＋∠CPA，∵ABCD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正確．綜上所述，正確的小題有②③④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)景城學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，ABDE，BC⊥CD，則以下說法中正確的是（）A．α，β的角度數(shù)之和為定值B．α，β的角度數(shù)之積為定值C．β隨α增大而增大 D．β隨α增大而減小【答案】C【分析】過C點(diǎn)作CFAB，利用平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：過C點(diǎn)作CFAB，∵ABDE，∴CFDE，∴∠α=∠BCF，∠β+∠DCF=180°，∵BC⊥CD，∴∠BCF+∠DCF=90°，∴∠α+180°-∠β=90°，∴∠β=90°+∠α，∴β隨α增大而增大，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)；熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東濟(jì)寧·七年級(jí)期中）如圖，，，則與滿足（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)C作CFAB，由，則，利用平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作CFAB，如圖，∵CFAB，∴∠BCF=∠α，∵ABDE，∴CFDE，∴∠FCD=180°-∠β，∴∠BCD=∠BCF+∠FCD=∠α+180°-∠β，∵∴∠α+180°-∠β=96°，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2021·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)期中）如圖，∠B+∠C=180°，∠A=50°，∠D=40°，則∠AED的度數(shù)為(

)A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】C【分析】過點(diǎn)E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可推導(dǎo)，再根據(jù)∠B+∠C=180°，借助平行線的判定“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”可判斷，故有，可知，然后由計(jì)算∠AED的度數(shù)即可．【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)E作，則，∵∠B+∠C=180°，∴，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)華君外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，一塊直角三角尺的一個(gè)頂點(diǎn)落在直尺的一邊上，若∠2＝25°，則∠1的度數(shù)為___．【答案】65°【分析】過直角頂點(diǎn)作直尺長(zhǎng)邊的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，可以得到∠1的度數(shù)，本題得以解決．【詳解】解：過直角頂點(diǎn)作直尺長(zhǎng)邊的平行線，如右圖所示，則∠2=∠3，∠1=∠4，∵∠2=25°，∴∠3=25°，∵∠3+∠4=90°，∴∠4=65°，∴∠1=65°，故答案為：65°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．3．（2022·四川·瀘州市梓橦路學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，直線，，＝，＝，則的度數(shù)為

________．【答案】117°##117度【分析】過C作，過B作，利用平行線的性質(zhì)和判定即可得出結(jié)論．【詳解】解：過C作，過B作，∴,,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．1．已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點(diǎn)P是直線EF上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明∠1＋∠3＝∠2；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段EF外運(yùn)動(dòng)時(shí)有兩種情況．①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明；②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．【答案】(1)證明見詳解(2)①；證明見詳解；②；證明見詳解【分析】（1）如圖4過點(diǎn)作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；（2）①如圖5過點(diǎn)作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；②如圖6過點(diǎn)作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出．（1）解：如圖4所示：過點(diǎn)作，∵∴∴，，∵，∴；（2）解：①如圖5過點(diǎn)作，∵∴∴，，∵，∴；②如圖6過點(diǎn)作，∵∴∴，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題利用“豬蹄模型”及其變式考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確的作出輔助線和找到對(duì)應(yīng)的內(nèi)錯(cuò)角是解決本題的關(guān)鍵．2．如圖：(1)如圖1，，，，直接寫出的度數(shù)．(2)如圖2，，點(diǎn)為直線，間的一點(diǎn)，平分，平分，寫出與之間的關(guān)系并說明理由．(3)如圖3，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，平分，平分，若，，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)∠BED=66°；(2)∠BED=2∠F，見解析；(3)∠BED的度數(shù)為130°．【分析】（1）首先作EF∥AB，根據(jù)直線AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，據(jù)此推得∠BED=∠1+∠2=66°；（2）首先作EG∥AB，延長(zhǎng)DE交BF于點(diǎn)H，利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到∠BED=2∠F；（3）延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)H，延長(zhǎng)GE到I，利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到∠BED的度數(shù)為130°．（1）解：（1）如圖，作EF∥AB，，∵直線AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，∴∠BED=∠1+∠2=66°；（2）解：∠BED=2∠F，理由是：過點(diǎn)E作EG∥AB，延長(zhǎng)DE交BF于點(diǎn)H，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠2=∠1，∠3=∠4，則∠5=2∠2，∠6=2∠3，∴∠BED=2(∠2+∠3)，又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，∴∠3+∠2+∠F=∠BED，綜上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；（3）解：延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)H，延長(zhǎng)GE到I，∵∠BGD=60°，∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1)=70°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠2，∠