《工程流體力學(xué)》 課件全套 魯義 第1-8章 緒論- 安全工程領(lǐng)域的流體力學(xué)問題

工程流體力學(xué)

第一章緒論

遠(yuǎn)古時(shí)期公元前2286-2278年中國的大禹治水；公元前2000-1000年埃及、羅馬、希臘等地水利工程和造船業(yè)；公元前300年中國成都都江堰灌渠工程；公元前250年希臘哲學(xué)家阿基米德的著作“論浮體”；等等。

流體力學(xué)流體力學(xué)發(fā)展簡史流體力學(xué)的發(fā)展大致可以分為以下幾個(gè)時(shí)期：§1-1流體力學(xué)發(fā)展簡史

十五、十六、十七世紀(jì)達(dá).芬奇（LeonardoDoVinci1452-1519）系統(tǒng)研究了沉浮、

孔口出流、阻力等問題，在米蘭附近建造了世界上第一個(gè)

小型水渠。1687年牛頓（Newton1642-1727）在名著“原理”中討論

了阻力、波浪等問題，并提出了著名的“牛頓內(nèi)摩擦定律”。1612年伽利略（Gallileo1564-1642）建立了沉浮的基本原理；1643年托里拆利（Torricelli1608-1647）論證了孔口出流的基本規(guī)律；1650年帕斯卡（B.Pascal1623-1662）論證了流體中壓力傳遞的基本定律；達(dá)朗貝爾（J.?Alembert1717-1783）提出了著名的達(dá)朗貝爾佯謬；

十八、十九世紀(jì)歐拉（L.Euler1707-1783）經(jīng)典流體力

學(xué)創(chuàng)始人，提出了一系列的流體力學(xué)基

本方程，著有“流體運(yùn)動的一般原理”

等名著伯努利（D.Bernoulli1700-1782）建立了一系列適用于工程

計(jì)算的基本方程，著有“流體動力學(xué)”等名著。納維（L.Navier1785-1836）和斯托克斯（G.Stokes1819-1903）建立了粘性流體運(yùn)動基本方程；

等等。現(xiàn)代雷諾（O.Reynolds1842-1912）研究并確定了兩種流態(tài)；普朗特（L.Prandtl1875-1953）建立了“邊界層理論”；齊奧爾科夫斯基、茹科夫斯基、恰普雷金等研究了翼柵和

繞流理論，奠定了現(xiàn)代空氣動力學(xué)的基礎(chǔ)。

周培源（1902-1993）、錢學(xué)森（1911-2009）等我國科學(xué)

家在湍流理論和空氣動力學(xué)等領(lǐng)域作出了杰出貢獻(xiàn)；

等等?！?-2、1-3流體力學(xué)研究內(nèi)容和研究方法流體力學(xué)的研究遵循“實(shí)踐—理論—實(shí)踐”的基本規(guī)律建

立數(shù)學(xué)模型和實(shí)驗(yàn)研究在流體力學(xué)的研究中具有尤其重要

的作用。

流體力學(xué)研究的內(nèi)容和方法

流體力學(xué)研究流體平衡和運(yùn)動的規(guī)律。流體力學(xué)是力學(xué)的

一個(gè)重要分支，屬于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的范疇。流體力學(xué)研究

流體大量分子的宏觀運(yùn)動規(guī)律，不追究流體的分子運(yùn)動。流體力學(xué)的研究方法總體上可以分為三種：理論分析方法、

實(shí)驗(yàn)方法和數(shù)值計(jì)算方法。三種方法相互配合與補(bǔ)充。

流體力學(xué)課程的地位和作用流體力學(xué)屬于基礎(chǔ)科學(xué)，也屬于應(yīng)用科學(xué)范疇。在工科院

校，屬于技術(shù)基礎(chǔ)課程。

流體力學(xué)在科學(xué)技術(shù)和工程實(shí)際中都有廣泛的實(shí)用意義。

例如流體工程、機(jī)械制造、金屬工藝、儀器儀表、熱能工

程、航天航海、水利工程、生物工程、水電工程、石油化

工等等，都離不開流體力學(xué)。

中國探月工程2004年，中國正式開展月球探測工程，并命名為“嫦娥工程”。嫦娥工程分為“無人月球探測”“載人登月”和“建立月球基地”三個(gè)階段。

流體力學(xué)工程應(yīng)用流體力學(xué)的應(yīng)用范圍非常廣泛，從天氣預(yù)報(bào)到航空航天，從海洋工程到醫(yī)學(xué)，都離不開流體力學(xué)的研究?！?-4工程應(yīng)用南水北調(diào)工程南水北調(diào)工程自2014年全面建成通水以來，南水已成為京津等40多座大中城市280多個(gè)縣市區(qū)超過1.4億人的主力水源。截至2023年3月31日，南水北調(diào)東中線工程累計(jì)調(diào)水量超612億立方米。其中，為沿線50多條河流實(shí)施生態(tài)補(bǔ)水85億立方米，為受水區(qū)壓減地下水超采量50多億立方米。“海洋石油982”鉆探發(fā)現(xiàn)寶島21-1大氣田2022年，發(fā)現(xiàn)了我國首個(gè)深水深層大氣田寶島21-1，探明地質(zhì)儲量超過500億立方米，是加快深海深地探測取得的有力進(jìn)展。此次發(fā)現(xiàn)的寶島21-1氣田位于海南島東南部海域深水區(qū)，最大作業(yè)水深超過1500米，完鉆井深超過5000米，距離“深海一號”超深水大氣田約150公里，海洋地質(zhì)條件極端復(fù)雜。西氣東輸國家管網(wǎng)西氣東輸在福建運(yùn)維天然氣管道總長701.5公里，覆蓋福建省6市24縣（區(qū)）。自2017年正式向福建供氣至今，已累計(jì)向福建供應(yīng)天然氣65億立方米，相當(dāng)于替代標(biāo)準(zhǔn)煤625萬噸，減排溫室氣體737萬噸、粉塵430萬噸，為持續(xù)改善福建自然生態(tài)環(huán)境、提高居民生活水平提供了清潔用能保障，賦能福建生態(tài)文明建設(shè)。You!Thank工程流體力學(xué)

第二章流體的基本概念§2-1流體連續(xù)介質(zhì)模型流體的概念

易于流動的物體統(tǒng)稱為流體，流體分為液體和氣體流體的基本特性第一，由大量分子組成；

第二，分子不斷做隨機(jī)熱運(yùn)動；

第三，分子與分子之間存在著分子力的作用。流體和固體的差別主要在于它們對剪應(yīng)力的承受能力不同。固體能夠產(chǎn)生一定的變形來承受剪應(yīng)力，流體則不能。流體中的液體和氣體之間也有差別，由于力學(xué)性能，其二者差別在于它們的可壓縮程度不同。

連續(xù)介質(zhì)模型（ContinuousMediumModel）從微觀結(jié)構(gòu)上來看，流體分子自然有一定的形狀，因而分子與分子之間必然存在著一定的間隙，因此流體的物理量在空間上不是連續(xù)分布的。但是對于研究宏觀規(guī)律的流體力學(xué)來說，一般不需要探討分子的微觀結(jié)構(gòu)，因而必須對流體的物理實(shí)體加以模型化，使之更適于研究大量分子的統(tǒng)計(jì)平均特性、更利于找出流體運(yùn)動或平衡的宏觀規(guī)律。流體質(zhì)點(diǎn)和連續(xù)介質(zhì)的概念就是流體力學(xué)學(xué)科中必需引用的理論模型。流體質(zhì)點(diǎn)：流體中宏觀尺寸非常小而微觀尺寸又足夠大的任意一個(gè)物理實(shí)體。

流體質(zhì)點(diǎn)的特點(diǎn)（1）流體質(zhì)點(diǎn)無線尺度，只作平移運(yùn)動，無變形運(yùn)動；（2）流體質(zhì)點(diǎn)不作隨機(jī)熱運(yùn)動，只在外力作用下作宏觀運(yùn)動；（3）將以流體質(zhì)點(diǎn)為中心的周圍臨界體積范圍內(nèi)流體分子相關(guān)特性的統(tǒng)計(jì)平均值作為流體質(zhì)點(diǎn)的物理量值；（4）質(zhì)點(diǎn)具有壓強(qiáng)，這壓強(qiáng)所包含分子熱運(yùn)動互相碰撞從而在單位面積上產(chǎn)生的壓力的統(tǒng)計(jì)平均值。此外，流體質(zhì)點(diǎn)也具有密度流速、動量動能、內(nèi)能等宏觀物理量，這些物理量的統(tǒng)計(jì)平均概念亦均類似；（5）流體質(zhì)點(diǎn)的形狀可以任意劃定，質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)之間可以完全沒有空隙，流體所在的空間中，質(zhì)點(diǎn)緊密相接不斷，無所不在，從而引出連續(xù)介質(zhì)的概念。連續(xù)介質(zhì)模型可以簡單表述為：假設(shè)流體是由連續(xù)分布的流體質(zhì)點(diǎn)組成的介質(zhì)。引入連續(xù)介質(zhì)模型后，可將不連續(xù)的流體介質(zhì)看做連續(xù)的，以便于使用連續(xù)函數(shù)的各種運(yùn)算。而且不用去追究復(fù)雜的分子運(yùn)動，只把質(zhì)點(diǎn)（微團(tuán)）作為研究對象。需要注意，在研究飛船、衛(wèi)星在高空（如在100km以上高空中）飛行的稀薄氣體力學(xué)問題時(shí)，分子間的距離很大，這時(shí)稀薄氣體效應(yīng)顯著起來，如再采用連續(xù)介質(zhì)假設(shè)便不妥當(dāng)了?！?-2流體的物理性質(zhì)一、流體的密度、比體積和相對密度1.密度（Density）指單位體積所具有流體的質(zhì)量，表示流體密集的程度，以表示。

對于非均質(zhì)流體：對于均質(zhì)流體：標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的純水：2.比體積（SpecificVolume）單位質(zhì)量流體所占有的體積稱為比體積v。比體積通常多用于氣體計(jì)算3.相對密度（比密度）（SpecificDensity）某流體相對密度d定義為注：（1）舊標(biāo)準(zhǔn)中的重度在SI制中不采用，以替代。

（2）溫度和壓強(qiáng)的函數(shù)二、流體的易變形性流體不能抵抗任何剪切力作用下的剪切變形趨勢（體積保持不變）。或者說，在剪切力（不論有多?。┳饔孟拢黧w發(fā)生連續(xù)剪切變形，直至剪切力停止作用為止。連續(xù)剪切變形就是通常所說的“流動”。流體的易變形性是流體的決定性宏觀力學(xué)特征，它決定了流體的各種力學(xué)行為。流體剪力示意圖三、流體的粘性流體抵抗自身變形（或抵抗微團(tuán)彼此相對運(yùn)動）的性質(zhì)稱為粘性。粘性的概念和產(chǎn)生的原因粘性的實(shí)質(zhì)：流體內(nèi)摩擦力。粘性的特點(diǎn)：只有當(dāng)流體有相對流動時(shí)才表現(xiàn)出來粘性產(chǎn)生的原因：1.流體分子間的引力2.分子不規(guī)則運(yùn)動的動量交換液體粘性產(chǎn)生原因主要是1，而氣體主要是2.

牛頓內(nèi)摩擦定律1686年牛頓（Newton）采用圖示的實(shí)驗(yàn)得出了液體粘性摩擦力的規(guī)律?？偨Y(jié)出切應(yīng)力和關(guān)系為上式即為牛頓內(nèi)摩擦定律。注（1）當(dāng)（2）為比例系數(shù)，取決于流體種類

等因素，稱為動力粘度。（3）為常數(shù)的流體即遵從牛頓內(nèi)摩擦

定律的流體稱為牛頓流體，否則為

非牛頓流體。粘性的表示方法1.動力粘度（絕對粘度）

動力粘度又稱為動力粘滯系數(shù)。定義式

與其他單位制換算關(guān)系2.運(yùn)動粘度

定義式與其他單位制換算關(guān)系

相對粘度（條件粘度）E我國采用恩式粘度計(jì)，用比較法測得式中：

換算公式壓強(qiáng)對流體粘度的影響一般情況下影響很小，可以忽略。通常只有高壓下（指大于100大氣壓）時(shí)，才予以考慮。溫度對流體粘度的影響溫度變化流體的粘度將產(chǎn)生較明顯的變化。隨著溫度的升高，氣體的粘度將增大，而液體的粘度將減少，如圖示。

例實(shí)驗(yàn)得出，在20~80°C范圍內(nèi)，機(jī)械油粘度隨溫度變化為式中——溫度為

時(shí)的動力粘度；——溫度為

時(shí)的動力粘度；——粘溫系數(shù)，通常取理想流體忽略粘性或不考慮粘性的流體稱為理想流體，是一種假想的模型，是為簡化工程計(jì)算或理論研究而引入的。例一、一塊可動平板與另一塊不動平板之間為某種液體，兩塊板相互平行（如圖）他們之間的距離h=0.5mm。若可動平板以v=0.25m/s的水平速度向右移動，為了維持這個(gè)速度需要每平方米面積上的作用力為2N，求這二平板間液體的粘度。解：例二、直徑10cm的圓盤，由軸帶動在一平臺上旋轉(zhuǎn)，圓盤與平板間充有厚度的油膜間隔，當(dāng)圓盤以n=50r/min旋轉(zhuǎn)時(shí)，測得扭轉(zhuǎn)

。設(shè)油膜內(nèi)速度沿垂直方向?yàn)榫€性分布，試確定油的粘度。解：四、流體的可壓縮性1.熱膨脹性流體受熱膨脹的性質(zhì)以熱膨脹率確定，其定義式為即為當(dāng)流體的溫度變化1K時(shí)，體積的相對變化率。2.壓縮性和彈性流體受壓體積縮小的性質(zhì)以壓縮率K和體積彈性系數(shù)

（彈性模數(shù)）來確定。體積壓縮率（CoefficientofVolumeCompressibility）K為當(dāng)流體承受的壓力變化1Pa時(shí)，體積的相對變化率。體積彈性系數(shù)（BulkModulusofElasticity）注:流體的越大，越難以壓縮。流體的K，隨溫度T和壓強(qiáng)變化。不同流體K，不同。3、可壓縮與不可壓縮流體可壓縮流體（CompressibleFluid），指密度變化不能忽略不計(jì)的流體。不可壓縮流體（IncompressibleFluid）,指流體密度隨溫度和壓強(qiáng)變化很小，或其變化按工程精度要求可以不計(jì)的流體。注：（1）不可壓縮流體為人們簡化理論推導(dǎo)和工程計(jì)算的

模型。

（2）一般情況下均將液體看作不可壓縮流體。

（3）對于低速（<68m/s）氣流的計(jì)算，可按不可壓縮流

體處理。例一、20°C的2.5m3水，當(dāng)溫度升至80°C時(shí)，其體積增加多少？解:例二、使水的體積減少0.1%及1%時(shí)，應(yīng)增大壓強(qiáng)各為多少？解：例三、圓柱容器中的某種可壓縮流體，當(dāng)壓強(qiáng)為1Mpa時(shí)體積為1000cm3,若將壓強(qiáng)升高到2MPa時(shí)體積為995cm,試求它的壓縮率K。解：

例四、圖示為一壓力表校正裝置示意圖。裝置內(nèi)充滿油液，其體積壓縮系數(shù)裝置內(nèi)壓強(qiáng)由手輪絲杠和活塞造成，活塞直徑d=1cm，絲杠螺距t=2mm。無壓時(shí)裝置內(nèi)油液體積為200ml,若要形成

的壓強(qiáng)，手輪需搖多少轉(zhuǎn)？（不計(jì)殼體的變形）解：

五、表面張力液體表面由于分子受力不均衡而引起收縮趨勢的力稱為表面張力。液面上，單位長度所受拉力定義為表面張力系數(shù)，單位為N/m或10-3N/m。表面張力系數(shù)的大小受溫度、液體中所含雜質(zhì)和液體接觸的氣體種類影響。

表面張力引起的附加法向壓強(qiáng)由拉普拉斯公式確定

式中—液體曲面在互相垂直二平面上的曲率半徑。毛細(xì)現(xiàn)象液體由于表面張力作用在細(xì)管或微小縫隙中上升或下降的現(xiàn)象稱為毛細(xì)現(xiàn)象在玻璃細(xì)管中水（浸潤）和水銀（不浸潤），上升和下降的高度為式中—液面與管壁交角。如圖所示。§2-3常見的流體模型一、粘性流體與理想流體模型1.粘性流體流體的粘性是流體的一種物理特性，它表示流體各部分之間動量傳遞的難易程度，反映了流體抵抗剪切變形的能力。自然界中的實(shí)際流體都是具有粘性的，所以實(shí)際流體又稱粘性流體。流體的粘性是流體的一種物理特性，它表示流體各部分之間動量傳遞的難易程度，反映了流體抵抗剪切變形的能力。自然界中的實(shí)際流體都是具有粘性的，所以實(shí)際流體又稱粘性流體。2.理想流體模型不具有粘性的流體稱為理想流體，這是客觀世界上并不存在的一種假想的流體。在許多場合，想求得粘性流體流動的精確解是很困難的。對某些粘性不起主要作用的問題先不計(jì)粘性的影響，使問題的分析大為簡化，從而有利于掌握流體流動的基本規(guī)律。至于粘性的影響，則可根據(jù)試驗(yàn)引進(jìn)必要的修正系數(shù)，討論由理想流體得出的流動規(guī)律加以修正。此外，即使是對于粘性為主要影響因素的實(shí)際流動問題，先研究不計(jì)粘性影響的理想流體的流動，而后引入粘性影響，再研究粘性流體流動的更為復(fù)雜的情況，也是符合認(rèn)識事物由簡到繁的規(guī)律的。采用理想流體流動模型，就形成了理想流體力學(xué)理論。這一理論在解釋很多實(shí)際問題如：機(jī)翼升力、誘導(dǎo)阻力等方面，起到了重要的作用。殲-20（英文：ChengduJ-20，代號：威龍）是解放軍研制的最新一代（歐美舊標(biāo)準(zhǔn)為第四代，俄羅斯新標(biāo)準(zhǔn)為第五代）雙發(fā)重型隱形戰(zhàn)斗機(jī)，2019年10月13日，殲-20戰(zhàn)機(jī)列裝中國人民解放軍空軍王牌部隊(duì)。其研發(fā)過程便運(yùn)用到了理想流體流動模型。二、可壓縮流體與不可壓縮流體模型1.可壓縮流體模型流體的可壓縮性是在外力作用下流體的體積或密度發(fā)生改變的性質(zhì)，流體的可壓縮性通常用等溫體積壓縮系數(shù)來衡量。眾所周知，流體都是可以壓縮的，相對來說，液體的可壓縮性比較小，氣體的可壓縮性比較大?？紤]流體為可壓縮時(shí)，流體的運(yùn)動將變得復(fù)雜得多：第一，流體密度為非常變量，密度的變化不僅將引起流體熱狀況的變化，同時(shí)它又反過來影響流體的力學(xué)狀態(tài)。在數(shù)學(xué)上，方程中未知量多了一個(gè)，為求解得再引入其他方程；第二，連續(xù)性方程變?yōu)榉蔷€性的，使求解困難；第三，在某些情況下，可能產(chǎn)生物理量的間斷面，通常稱為激波。2.不可壓縮流體模型處理實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)將流體的密度近似看成不變的，即，稱為不可壓縮流體。所謂密度不變，實(shí)際上是隨著壓強(qiáng)和溫度的變化，密度僅有微小的變化。在大多數(shù)情況下，液體可以忽略壓縮性的影響，認(rèn)為液體的密度是一個(gè)常數(shù)（水擊等問題除外），而氣體一般較容易壓縮，在一些情況下，也把氣體視為不可壓縮的。采用不可壓縮流體模型，將使方程組有很大簡化，這時(shí)取密度為常數(shù)（均質(zhì)流體）方程組將減少一個(gè)未知量。三、非定常流動與定常流動模型1.非定常流動模型運(yùn)動流體中任一點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的流動參數(shù)（壓強(qiáng)和速度等）隨時(shí)間而變化的流動，稱為非定常流動。其中，除了隨時(shí)間變化極慢的流動可近似為定常流動外，都必須考慮其非定常效應(yīng)。這時(shí)不僅產(chǎn)生不定常變化頂，而且當(dāng)流動變化很快時(shí)，可能產(chǎn)生新的物理現(xiàn)象，例如管道水流突然因閥門關(guān)閉產(chǎn)生很強(qiáng)的慣性作用，水被壓縮（水常被視為不可壓縮的）形成壓力波在管中的傳播，這就是通常所稱的水錘（擊）現(xiàn)象。2.定常流動模型運(yùn)動流體中任一點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的流動參數(shù)（壓強(qiáng)和速度等）不隨時(shí)間而變化的流動，稱為定常流動。由于對定常流動的研究要簡單得多，甚至有時(shí)在定常流動的條件下，微分方程可直接積分出來，因此，定常流動是一種簡化的模型。定常流動的流場中，流體質(zhì)點(diǎn)的速度、壓強(qiáng)和密度等流動參數(shù)，僅是空間點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)而與時(shí)間無關(guān)。在供水和通風(fēng)系統(tǒng)中，只要泵和風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)速不變，運(yùn)轉(zhuǎn)穩(wěn)定，則水管和風(fēng)道中的流體流動都是定常流動。又如火電廠中，當(dāng)鍋爐和汽輪機(jī)都穩(wěn)定在某一正常情況下運(yùn)行時(shí)，主蒸汽管道和給水管道中的流體流動也都是定常流動，可見研究流體的定常流動有很大的實(shí)際意義。四、有旋流動與無旋流動模型1.有旋流動模型流場中流體質(zhì)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的流動稱為有旋流動，有旋流動在自然界是普遍存在的，如大氣中的臺風(fēng)，繞物體流動的尾渦等等，都是一種有旋運(yùn)動。表征有旋運(yùn)動的物理量稱為渦量，也即速度旋度，其大小是流體質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角速度的兩倍。渦量高度集聚的區(qū)域就是渦。如果流體是斜壓的或者作用于流體的力是非有勢的，或者流體是有粘性的，那么在流體中就將產(chǎn)生渦，這說明了渦的普遍存在，飛機(jī)翼面附近的薄層流體（邊界層）中由粘性產(chǎn)生的渦量，導(dǎo)致飛機(jī)產(chǎn)生了升力，有旋流動與大氣、海洋中的很多現(xiàn)象也密切相關(guān)。2.無旋流動模型無旋流動是流場中各質(zhì)點(diǎn)無旋轉(zhuǎn)的流體運(yùn)動。自然界中無旋運(yùn)動很難見到，因?yàn)榱黧w通常是斜壓的，有粘性的，科里奧利力（非有勢力）也可能在起作用。這都會導(dǎo)致產(chǎn)生渦，然而有一些假設(shè)下或某種近似時(shí)流動可視為無旋的，后面將會看到，無粘性止壓流體在有勢力的作用下，均勻來流繞物體的流動及從靜止開始的流動都將是無旋的。例如機(jī)翼繞流，水波運(yùn)動等都認(rèn)為是一種無旋運(yùn)動，這類流動在工程中經(jīng)常遇到，具有重要意義。在無旋的條件下，就有速度勢存在，再在流體不可壓時(shí)，得到了速度勢的拉普拉斯方程，數(shù)學(xué)上有成熟的處理方法，因此無旋運(yùn)動是一種廣泛應(yīng)用的簡化模型。五、重力流體與非重力流體模型在液體流動中，一般要考慮重力的作用，對于低速運(yùn)動的流體，慣性力較小，重力是影響流體運(yùn)動的主要因素，尤其是在海洋或大氣運(yùn)動中，更是如此。但在高速氣流運(yùn)動中，由于慣性力比重力大得多，重力常常被忽略。六、一維、二維與三維流動模型一般的流動都是在三維空間的流動，流動參數(shù)是x、y、z三個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，稱為三維流動。當(dāng)我們簡化流動參數(shù)為兩個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，這種流動為二維流動。常用兩種坐標(biāo)來討論二維流動，一種是平面流動，如平面物體繞流運(yùn)動；另一種是軸對稱流動，如子彈、水雷等軸對稱物體沿軸線方向的流動。流動參數(shù)是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)的流動，稱為一維流動，如流體在細(xì)管中的運(yùn)動，空間輻射狀流動等。You!Thank工程流體力學(xué)

第三章流體靜力學(xué)§3-1流體平衡微分方程一、流體靜壓強(qiáng)及其特性假設(shè)用平面ABCD將流體團(tuán)分為I、II兩部分，再將I部分移去，并以等效的力作用在平面ABCD上以代替它對II部分的作用。從平面ABCD上任取面積△A，設(shè)△F為部分I作用在△A上的總作用力。則將△F和△A的比值稱為△A上的平均壓強(qiáng)，以表示，即當(dāng)面積△A無限縮小到一點(diǎn)時(shí)，比值趨近于某一個(gè)極限值，此極限值稱為點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)，以表示，即流體靜壓強(qiáng)以Pa表示，1Pa=1N/m2。§3-1流體平衡微分方程一、流體靜壓強(qiáng)及其特性流體靜壓強(qiáng)有如下兩項(xiàng)特性：（1）靜壓強(qiáng)方向必然總是沿作用面的內(nèi)法線方向，即垂直并指向作用面。（2）靜止流體中任點(diǎn)處的壓強(qiáng)大小與其作用面方位無關(guān)，即同一點(diǎn)上各方向的靜壓強(qiáng)大小均相等。作用于靜止流體內(nèi)一給定點(diǎn)處不同方向的壓強(qiáng)是常數(shù)，但在不同點(diǎn)處這一值一般并不相等，因而靜止流體內(nèi)的壓強(qiáng)是位置的函數(shù)：§3-1流體平衡微分方程二、歐拉平衡方程在直角坐標(biāo)系中，設(shè)密度為ρ的流體在體積力為作用下處于平衡狀態(tài)。以流體質(zhì)點(diǎn)M為基點(diǎn)，取邊長分別為dx，dy，dz的正六面體為流體元。壓強(qiáng)在流體元上的合力是由于存在壓強(qiáng)梯度而造成的，圖中僅標(biāo)出沿x方向的壓強(qiáng)分布。在過M點(diǎn)的yoz平面上壓強(qiáng)為p，在相對的平面上壓強(qiáng)有增量。這樣作用在流體元上沿方向的壓強(qiáng)合力與體積力平衡式為§3-1流體平衡微分方程二、歐拉平衡方程上式消去dxdydz后可得壓強(qiáng)偏導(dǎo)數(shù)與體積力分量的關(guān)系式：在y、z方向，同理可得：矢量式為：上式為流體的平衡微分方程，又稱為歐拉平衡方程。一般情況下體積力分布為已知條件，壓強(qiáng)分布是需要求的。如果流體密度為常數(shù)，可對歐拉平衡方程直接積分求壓強(qiáng)分布；如果流體是可壓縮的（如大氣），還需要補(bǔ)充密度與壓強(qiáng)之間的關(guān)系式才能求解。式3-6式3-7式3-8式3-9§3-1流體平衡微分方程三、等壓面流體壓強(qiáng)在一點(diǎn)鄰域內(nèi)的空間增量可用全微分表示為將式3-6~式3-8中的壓強(qiáng)偏導(dǎo)數(shù)分別代入此式，得因?yàn)榈葔好媸菈簭?qiáng)場等值面，其壓強(qiáng)處處相等。在上式中令dp=0，可得：上式為等壓面的微分方程，若質(zhì)量已知，積分此式可得等壓面方程。式3-10式3-11§3-1流體平衡微分方程四、流體平衡的條件若將式3-6~3-8中的三個(gè)分方程式分別對坐標(biāo)交錯(cuò)求導(dǎo)，得：即：對于均質(zhì)流體，ρ=常數(shù)，壓強(qiáng)全微分式3-10變?yōu)橛故?-13成立，必須使質(zhì)量力矢量為某個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度。也就是說，若有勢，必存在一個(gè)勢函數(shù)，使式3-12式3-13§3-1流體平衡微分方程四、流體平衡的條件從而使全微分成立：即：式3-15表明，均質(zhì)流體保持平衡的條件是質(zhì)量力必須為有勢力。重力是有勢力，因此均質(zhì)流體在重力場中能保持平衡狀態(tài)。式3-15式中稱為質(zhì)量力的力勢函數(shù)。

U的物理意義：U的偏導(dǎo)數(shù)為質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸的投影，而流場中空間任意點(diǎn)均存在質(zhì)量力，此流場為有勢力場?！?-2重力場中的流體平衡設(shè)圖示的容器中靜止的液體均質(zhì)，容器上腔氣壓為。取圖所示坐標(biāo)后，可得

代入靜平衡微分方程得積分得一、流體靜力學(xué)的基本方程即：能量形式式中：gz為單位質(zhì)量流體的重力勢能，p/ρ為單位質(zhì)量流體的壓強(qiáng)勢能?！?-2重力場中的流體平衡能量形式方程可改寫為式中：z為位置水頭；為壓強(qiáng)水頭。表明：不可壓重力流體處于平衡狀態(tài)時(shí)，精水頭線C或計(jì)示精水頭線為平行于基準(zhǔn)面的水平線。一、流體靜力學(xué)的基本方程水頭形式能量形式和水頭形式，均稱為流體靜力學(xué)基本方程，也稱為靜止流體能量守恒方程。其適用條件：①均質(zhì)或不可壓縮流體；②體積力為重力；③同種流體的連通范圍內(nèi)?！?-2重力場中的流體平衡在連通的流體內(nèi)部，任取1和2兩點(diǎn)，滿足：此式表明，同種流體的密封連通器內(nèi)，任兩點(diǎn)的靜水頭高度相等。對于確定的兩點(diǎn)，一點(diǎn)的壓強(qiáng)變化必引起另一點(diǎn)壓強(qiáng)的相同變化。在密封的充滿流體的連通器內(nèi)，一點(diǎn)的壓強(qiáng)變化可瞬間傳遞到整個(gè)連通器域內(nèi)，這就是帕斯卡原理。一、流體靜力學(xué)的基本方程實(shí)用形式對于靜止流體內(nèi)部的壓強(qiáng)分布，若自由面z=z0上p=p0，則淹沒水深h=z0-z處壓強(qiáng)為?？梢娭亓鲋胁豢蓧红o止流體中壓力分布隨深度呈線性增加。§3-2重力場中的流體平衡1.密度ρ=C時(shí)：當(dāng)可壓縮流體密度為常數(shù)時(shí)，由流體平衡微分方程3-10，質(zhì)量力只有重力，fx=fy=0，fz=-g，得二、可壓縮流體中的壓強(qiáng)分布因?yàn)闅怏w的密度很小，對于一般的儀器和設(shè)備，當(dāng)高度不是很大時(shí)，重力對氣體壓強(qiáng)的影響很小，可以忽略。故可認(rèn)為各點(diǎn)的壓強(qiáng)相等，即ρ=C。例如：在儲氣罐內(nèi)的氣體，可認(rèn)為各點(diǎn)的壓強(qiáng)相等。式3-18積分上式得：§3-2重力場中的流體平衡2.密度為變量時(shí)：以大氣層為對象，研究壓強(qiáng)的分布規(guī)律。二、可壓縮流體中的壓強(qiáng)分布在對流層中，密度隨壓強(qiáng)和溫度變化，由理想氣體狀態(tài)方程式得，代入式3-18，得（1）對流層式3-20式中，溫度T隨高度變化，，T0為海平面上的熱力學(xué)溫度，0.0065K/m。于是有：§3-2重力場中的流體平衡積分上式得：整理得：二、可壓縮流體中的壓強(qiáng)分布將國際標(biāo)準(zhǔn)大氣條件海平面（平均緯度45°）上的溫度T0=288K（158）、P0=1.013×105

N/m2、R=287J/（kg·K）、β=0.0065代入上式，得到對流層標(biāo)準(zhǔn)大氣壓分布式3-21kPa式中，0≤z≤11000m。§3-2重力場中的流體平衡（2）同溫層同溫層的溫度二、可壓縮流體中的壓強(qiáng)分布同溫層最低處zd=11000m的壓強(qiáng)，由式3-21算得pa=22.6kPa,式3-22將以上條件代入式3-20并積分，便可得到同溫層標(biāo)準(zhǔn)大氣壓分布：KkPa式中，11000≤z≤25000m。§3-2重力場中的流體平衡三、浮力與穩(wěn)定性如圖所示，潛下表面abcde和上表面afcde。分析各自的壓力體，可以合成該潛體的壓力體。上表面組成的壓力體，液體與壓力體位于同側(cè)，為正壓力體；下表面組成的壓力體，液體與壓力體位于異側(cè)，為負(fù)壓力體。總壓力的垂直分力即為浮力：該式表明，沉沒在均質(zhì)流體中的物體所受浮力的大小等于排開流體的重量，此即阿基米德浮力定律?！?-2重力場中的流體平衡三、浮力與穩(wěn)定性潛體的穩(wěn)定性取決于物體重心與浮心的相對位置，如圖所示，一般有三種情形：穩(wěn)定平衡：平衡時(shí)重心c位于浮心b正下方。當(dāng)物體傾斜時(shí)，重力G與浮力Fb構(gòu)成一恢復(fù)力偶，使物體回到平衡位置。不穩(wěn)定平衡：平衡時(shí)重心位于浮心正上方。當(dāng)物體傾斜時(shí)，重力與浮力構(gòu)成一傾倒力偶，使物體傾覆。隨遇平衡：平衡時(shí)重心與浮心重合。當(dāng)物體傾斜時(shí)，既不發(fā)生恢復(fù)，也不發(fā)生傾倒。只有在均質(zhì)液體中的均質(zhì)潛體才有可能達(dá)到隨遇平衡?！?-2重力場中的流體平衡四、壓強(qiáng)的計(jì)量與測量1、絕對壓強(qiáng)絕對壓強(qiáng)是以完全真空（p=0）為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)。對于p0=pa，則靜止流體中某點(diǎn)的絕對壓強(qiáng)為；2、相對壓強(qiáng)相對壓強(qiáng)是以當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)pa為基準(zhǔn)計(jì)量的壓強(qiáng)，即高于大氣壓的壓強(qiáng)，也稱之為計(jì)示壓強(qiáng)或表壓強(qiáng)。那么，靜止流體中某點(diǎn)的相對壓強(qiáng)為；3、真空度負(fù)的計(jì)示壓強(qiáng)，稱為真空或負(fù)壓強(qiáng)，用符號pv表示。則§3-2重力場中的流體平衡四、壓強(qiáng)的計(jì)量與測量壓強(qiáng)的單位：國際單位制為帕斯卡Pa（1Pa=1N/m2）；工程單位制，采用大氣壓（at，atm）、巴（bar）、液柱高度（mH2O，mmHg）。其換算關(guān)系：1atm（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）=1.01325Pa=760mmHg=10.33mH2O1at（工程大氣壓）=1kgf/cm2=98100Pa=736mmHg=10mH2O壓強(qiáng)的測量，一般利用測壓計(jì)進(jìn)行流體靜壓強(qiáng)的測量，測壓計(jì)類型主要有金屬式、電測式、液柱式。例一、如圖所示，有一直徑d=100mm的圓柱體，其質(zhì)量m=50kg，在力F=520N的作用下，當(dāng)淹深h=0.5m時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)，求測壓管中水柱的高度H。解圓柱底面上各點(diǎn)的壓力為因測壓管下方H+h的點(diǎn)與圓柱底面在同一等壓面上，故所以§3-2重力場中的流體平衡例二、用如圖所示測壓計(jì)測量管A中水的壓力p。已知h=0.5m，h1=0.2m，h3=0.22m，酒精的密度水銀的密度，真空計(jì)度數(shù)真空度。求A中水的壓力。解在絕對靜止條件下，對連續(xù)均質(zhì)流體，有1-2、3-4、5-6等壓面關(guān)系，有由重力作用下靜止液體中壓力分布公式，得如下諸關(guān)系式§3-2重力場中的流體平衡這里不計(jì)B中空氣的質(zhì)量，為水的密度。聯(lián)立上述各式，整理得

這里是用計(jì)示壓強(qiáng)來表示的?！?-2重力場中的流體平衡§3-3流體的相對平衡相對平衡研究兩種情況，一種為等加速直線運(yùn)動，一種為等角速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。一、直線運(yùn)動容器中的液體平衡液體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律處于等加速直線運(yùn)動的靜止液體中的流體質(zhì)點(diǎn)，受有等值線性慣性力和重力的共同作用。以圖示容器和所選坐標(biāo)來分析時(shí)，有：根據(jù)壓強(qiáng)差公式3-10得積分可得利用邊界條件：坐標(biāo)原點(diǎn)x=0，z=0時(shí)壓強(qiáng)為p0，確定積分常數(shù)c=p0，故得壓強(qiáng)分布規(guī)律為式3-23上式即為等加速直線運(yùn)動容器中液體的靜壓強(qiáng)分布公式。§3-3流體的相對平衡等壓面方程由等壓面微分方程（3-11），得積分可得由此方程可以看出，等加速水平運(yùn)動中液體的等壓面是斜平面，不同的常數(shù)C代表不同的等壓面，故等壓面是一簇水平的斜面，其傾斜角為式3-24可見，等壓面與質(zhì)量力的合力相互垂直。式3-25§3-3流體的相對平衡自由液面方程自由液面是過坐標(biāo)原點(diǎn)的等壓面，當(dāng)x=0，z=0時(shí)，積分常數(shù)C=0；如果令自由液面上某點(diǎn)的垂直坐標(biāo)為zs，則自由液面方程為或?qū)⑹?-27代入流體靜壓強(qiáng)分布公式3-23，得式3-26式3-27從該式看出，液體內(nèi)任一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)等于自由液面上的壓強(qiáng)加上深度為h、密度為ρ的液體所產(chǎn)生的壓強(qiáng)。即等加速水平運(yùn)動容器中液體的靜壓強(qiáng)公式與靜止流體中的靜壓強(qiáng)公式完全相同。§3-3流體的相對平衡二、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動容器中的液體平衡如圖，盛有液體容器繞垂直軸以等角速度ω旋轉(zhuǎn)。液體被容器帶動也隨容器一起旋轉(zhuǎn)，當(dāng)容器與液體達(dá)到相對平衡后，液面呈如圖中所示的曲面。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，作用在單位質(zhì)量液體的質(zhì)量力為§3-3流體的相對平衡二、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動容器中的液體平衡1、液體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律積分，得根據(jù)壓強(qiáng)差公式（3-10），有利用邊界條件：坐標(biāo)原點(diǎn)r=0，z=0時(shí)壓強(qiáng)為p0，確定積分常數(shù)C=p0，故得壓強(qiáng)分布規(guī)律為，即：式3-28上式即為等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的靜壓強(qiáng)分布公式?！?-3流體的相對平衡二、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動容器中的液體平衡2、等壓面方程積分，得由等壓面微分方程（3-11），得不同的常數(shù)C代表不同的等壓面，由此方程可以看出，等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體相對平衡時(shí)，等壓面是一簇繞軸的旋轉(zhuǎn)拋物面。即：式3-29式3-30§3-3流體的相對平衡二、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動容器中的液體平衡3、自由液面方程自由液面是過坐標(biāo)原點(diǎn)的等壓面，

當(dāng)r=0，z=0時(shí)，積分常數(shù)C=0；如果令自由液面上某點(diǎn)的垂直坐標(biāo)為z，則自由液面方程為將式（3-32）代入流體靜壓強(qiáng)分布公式（3-28），得式3-31式3-32即：從該式看出，繞垂直軸任一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)等于自由液面上的壓強(qiáng)加上深度為h、密度為ρ的液體所產(chǎn)生的壓強(qiáng)。即等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體靜壓強(qiáng)公式與靜止流體中的靜壓強(qiáng)公式完全相同?！?-3流體的相對平衡§3-4靜止流體對平壁的總壓力1、總作用力的大小取與水平面成角平面上的面積A，并翻轉(zhuǎn)90°角如圖示，在h深處取dA上之作用力為總作用力為，若設(shè)C為A的形心，則靜力矩得得，形心壓強(qiáng)與面積的乘積。由于流體靜壓力的方向指向作用面的內(nèi)法線方向，因此只須求總作用力的大小和作用點(diǎn)。一、解析法注：1、由于過形心C的慣性矩為正值，故，即壓力作用點(diǎn)低于形心；2、各種圖形之可查有關(guān)圖標(biāo)。3、對于非對稱表面的x向位置，可以此方法推求。2、總作用力作用點(diǎn)取D為作用點(diǎn)，坐標(biāo)，淹深，則由力矩原理有由慣性矩代入可得由平行移軸原理得總作用力作用點(diǎn)為§3-4靜止流體對平壁的總壓力

例一、如圖所示，矩形閘門AB，寬b=1m，左側(cè)油深h1=1m，油液密度，水深h2=2m，閘門的傾角，求作用在閘門在液體總作用力及作用點(diǎn)的位置。解：設(shè)閘門上油水分界點(diǎn)為E，總壓力的作用點(diǎn)為D，為了便于求作用點(diǎn)的位置，將液體總壓力為P1，P2，P3三部分，如圖所示?！?-4靜止流體對平壁的總壓力上式中為水的密度。由可求得液體總壓力P為總壓力的作用點(diǎn)可由合力矩原理求得P1，P2，P3§3-4靜止流體對平壁的總壓力上式中§3-4靜止流體對平壁的總壓力

例二、示某水壩用一長方形閘門封住放水孔，閘門高L=3m，寬B=4m，閘門兩邊的水位分別為H1=5m，H2=2m。閘門垂直放置，試確定：（1）開啟閘門時(shí)繩索的拉力T（繩索與水平面夾角為）。圖中與比較很小，計(jì)算中忽略不計(jì)。（2）關(guān)閉位置時(shí)A點(diǎn)處的支撐力。解：（1）作用在閘板右側(cè)的總壓力為§3-4靜止流體對平壁的總壓力力P1的作用點(diǎn)力P2的作用點(diǎn)作用在閘板左側(cè)的總壓力為§3-4靜止流體對平壁的總壓力將閘門兩側(cè)的總壓力及繩索拉力對轉(zhuǎn)軸O取矩得到繩索拉力§3-4靜止流體對平壁的總壓力（2）閘門處于關(guān)閉狀態(tài)時(shí)，繩索上拉力為零，閘板下端支撐

于A點(diǎn)，有力PA作用。將閘板上的受力對O點(diǎn)取矩，即

可求得PA?！?-4靜止流體對平壁的總壓力§3-4靜止流體對平壁的總壓力1、靜水壓強(qiáng)分布圖根據(jù)基本方程p=p0+ρgh，直接繪在受壓面上并表示各點(diǎn)壓強(qiáng)大小和方向的圖形。使用圖解法，應(yīng)先繪制靜水壓強(qiáng)分布圖，然后據(jù)此計(jì)算靜水總壓力。二、圖解法根據(jù)壓強(qiáng)與水深呈直線變化的規(guī)律，只要定出AB面上兩端點(diǎn)的壓強(qiáng)，然后用直線連接兩線段的端點(diǎn)(pA=0,

pB=

ρgH)，即得靜水壓強(qiáng)分布圖。三角形ABC即為AB壁面上的靜水壓強(qiáng)分布圖形?！?-4靜止流體對平壁的總壓力2、靜水總壓力設(shè)底邊平行于液面的矩形ABCD,與水平面夾角為α，平面寬度為b，上下底邊的淹沒深度為h1、h2，二、圖解法總壓力的大小等于壓強(qiáng)分布圖的面積S，乘以受壓面的寬度b，即F=bSABCD式3-32總壓力的作用線通過壓強(qiáng)分布圖的形心，作用線與受壓面的交點(diǎn)，就是總壓力的作用點(diǎn)?！?-5靜止流體對曲壁的總壓力靜止流體對二維曲面壁的作用力如圖所示。ab為二維曲壁的一部分，其形心C點(diǎn)的淹沒水深為hCx，在ab上水深h處任取一面積微元dA，其水平方向投影面積dAx，鉛垂方向投影面積dAz

。作用在dA上的總壓力為dF=ρghdA，分解為一、靜止流體對二維曲壁的作用力式3-37§3-5靜止流體對曲壁的總壓力將dFx對Ax積分得總壓力的水平分力為一、靜止流體對二維曲壁的作用力式3-38上式表明，液體對曲壁總壓力的水平分力等于曲壁在該方向投影面積上的總壓力，水平分力作用線通過投影面積的壓強(qiáng)中心，方向指向曲壁，即水平分力相當(dāng)于作用在平板Ax上的總壓力。將dFZ對AZ積分得總壓力的鉛垂分力為式3-39其中稱為壓力體，它是圖中曲面ab及其投影所圍成的區(qū)域，而ρgVp則是壓力體Vp內(nèi)液體的重量?！?-5靜止流體對曲壁的總壓力一、靜止流體對二維曲壁的作用力可見，液體對曲面壁總壓力的鉛垂分力等于壓力體內(nèi)液體的重量，垂直分力的作用線通過壓力體的重心，即鉛垂分力相當(dāng)于壓力體內(nèi)的液體重力?？倝毫Υ笮椋呵姹诳倝毫Φ乃椒至ψ饔镁€與垂直分力作用線交于一點(diǎn)，總壓力作用線通過該點(diǎn)，并與鉛垂線的夾角為：值得一提的是，當(dāng)液體與壓力體位于曲壁同側(cè)時(shí)，壓力體取正，表示鉛垂壓力方向向下；而當(dāng)液體與壓力體位于曲壁異側(cè)時(shí)，壓力體取負(fù)，稱之為虛壓力體，表示鉛垂壓力方向向上?！?-5靜止流體對曲壁的總壓力二、靜止流體對三維曲壁的作用力在靜止流體中，有一任意形狀面積為A的曲面S：ABC，作用在三維曲面上的總壓力等于分別作用在S的三個(gè)坐標(biāo)投影面上的三個(gè)分力之合力。如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，浸沒于流體中的三維S，其三個(gè)投影面分別為OAB、OAC、OBC。在S上取微元面積dA=ndA，若淹沒深度為h，壓強(qiáng)p=ρgh，那么，微元上流體靜壓力為dF=p(-ndA)，靜壓力總和為:§3-5靜止流體對曲壁的總壓力二、靜止流體對三維曲壁的作用力將dF投影到坐標(biāo)軸x,y,z上，得式中：α,β,γ為微元面積的方向角dAx

,dAy,dAz為微元面積的三個(gè)投影面積，它們分別垂直于x,y,z軸。對上式三項(xiàng)分別積分，得：式3-41式3-42§3-5靜止流體對曲壁的總壓力二、靜止流體對三維曲壁的作用力式(3-42)中前兩式，h與微元面積dAx

或dAy平行，積分結(jié)果分別為對x,y軸的面積矩，ρghc為投影面積Ax、Ay的形心c處的壓強(qiáng)。第三式中水深h與微元面積dAz相垂直，因此積分

是一個(gè)純幾何體積，即壓力體體積，記為VF。一般而言，對于不規(guī)則的三維曲面壁，作用在三個(gè)投影面上的三個(gè)分力并不會相交于一點(diǎn)，而是構(gòu)成空間一般力系。若式(3-42)積分的三個(gè)分量能交于一點(diǎn)，則作用在曲面S上的總靜壓力大小為式3-43方向分別為總靜壓力的矢量作用線與曲面的交點(diǎn)即為壓力中心。式3-44You!Thank工程流體力學(xué)

第四章流體運(yùn)動學(xué)流體運(yùn)動學(xué)研究流體運(yùn)動的規(guī)律，不追究導(dǎo)致運(yùn)動的力學(xué)因素。研究流體運(yùn)動的方法一、拉格朗日法（LagrangeMethod)拉格朗日法又稱隨體法。它追蹤研究每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，綜合所有的流體質(zhì)點(diǎn)，從而得到整個(gè)流場的運(yùn)動規(guī)律，參見圖。§4-1描述流體運(yùn)動的兩種方法拉格朗日法以某時(shí)刻

t0各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置a，b，c為其標(biāo)志。因此，t時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位置可表示為式中，改變a，b，c意味著改變了不同的研究質(zhì)點(diǎn)。a，b，c稱為拉格朗日變數(shù)。由此，某時(shí)刻t流體質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度可表示為§4-1描述流體運(yùn)動的兩種方法由上述可見，采用拉格朗日法無疑是復(fù)雜和困難的。目前，采用此方法的僅限于淺水波理論、波浪研究等極少領(lǐng)域。二、歐拉法（EulerMethod）歐拉法又稱局部法。毆拉法廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)的研究中。毆拉法研究某時(shí)刻位于流場中不同空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，綜合所有的空間點(diǎn)得到整個(gè)流場的運(yùn)動規(guī)律。參見圖?！?-1描述流體運(yùn)動的兩種方法采用歐拉，某時(shí)刻空間點(diǎn)速度可表示為式中x，y，z稱為歐拉變數(shù)?！?-1描述流體運(yùn)動的兩種方法流體質(zhì)點(diǎn)某時(shí)刻t位于（x，y，z）點(diǎn)的加速度表示為或簡記為此加速度表達(dá)式稱為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。它由兩部分組成：速度隨時(shí)間的變化率，稱為時(shí)變加速度或當(dāng)?shù)丶铀俣龋↙ocalAcceleration）；速度隨位置的變化率，稱為位變加速度或遷移加速度（ConnectiveAcceleration）?！?-1描述流體運(yùn)動的兩種方法2、流線（StreamLine）（1）流線的定義：流線是某瞬時(shí)在流場中作出的一條空間曲線，該瞬時(shí)位于曲線上各點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的速度與曲線在該點(diǎn)相切,（如圖示）。一、跡線與流線1、跡線（PathLine）跡線指流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌跡，如圖所示。其方程為§4-2描述流體運(yùn)動的基本概念

（2）流線的作法：欲作流場中某瞬時(shí)過A點(diǎn)的流線，可在該瞬時(shí)作A點(diǎn)速度；在上靠近A點(diǎn)找點(diǎn)2，并在同一時(shí)刻作2點(diǎn)速度；再在上靠近2點(diǎn)找點(diǎn)3，也在同一時(shí)刻作速度；依次作到N點(diǎn)，得到折線A-2-3-…-N，當(dāng)各點(diǎn)無限靠近時(shí)得到的光滑曲線即為流線。（3）特性：a恒定流動中，流線和跡線重合；b流線不能相交；c流線不能突然折轉(zhuǎn)?！?-2描述流體運(yùn)動的基本概念

(4)流線的方程：如圖示某瞬時(shí)在過M點(diǎn)流線上取：、、；M點(diǎn)的速度：、、。由流線定義，即，同理可得該式為流線的微分方程?！?-2描述流體運(yùn)動的基本概念二、定常流與非定常流1、定常流（SteadyFlow）恒定流動又稱為定常流動。指流場中各空間點(diǎn)上的運(yùn)動參數(shù)不隨時(shí)間變化，只是坐標(biāo)的函數(shù)。如

見圖所示。恒定流動中有§4-2描述流體運(yùn)動的基本概念2、非定常流（UnsteadyFlow）非恒定流動又稱為非定常流動。指流場中各空間點(diǎn)上的運(yùn)動參數(shù)（全部或個(gè)別）隨時(shí)間變化。如圖所示，一個(gè)水桶下部開有小孔，桶內(nèi)的水流不斷向外流出，桶中的水位不斷下降，導(dǎo)致各點(diǎn)的水壓、水流流速逐漸變化，因此，桶內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動參數(shù)隨時(shí)間變化。有：§4-2描述流體運(yùn)動的基本概念三、流管、流束、流量與平均速度

流管：流場中過封閉曲線上各點(diǎn)作流線所圍成的管狀曲面，見圖。

流束：流管內(nèi)所有流線的集合為流束。

微小流束：斷面積無限小的流束。

總流：無數(shù)流束的總和。注：（1）流束表面沒有流體穿越；

（2）在微小流束斷面上，運(yùn)動參數(shù)各點(diǎn)相同；

（3）微小流束的極限是流線。§4-2描述流體運(yùn)動的基本概念過流斷面：流束或總流中，與所有流線正交的面，也稱為有效斷面，如圖示?？梢詾槠矫婊蚯妗裰埽哼^流斷面上，與固壁接觸的邊長，記為。

水力半徑：流束或總流有效斷面面積與濕周的比，記為R，即

當(dāng)量直徑：流束或總流4倍有效斷面面積與濕周的比，記為De，即§4-2描述流體運(yùn)動的基本概念常見斷面的，R，De見圖示?！?-2描述流體運(yùn)動的基本概念

流量：單位時(shí)間內(nèi)流過過流斷面的流體量。當(dāng)流體量以質(zhì)量表示時(shí)，為質(zhì)量流量，以標(biāo)記；以體積表示為體積流量，以標(biāo)記，可表示為斷面平均流速:過流斷面各點(diǎn)速度的斷面平均值,以V標(biāo)記,有

對任一點(diǎn)有§4-2描述流體運(yùn)動的基本概念四、一、二、三元流動

一、二、三元流動又稱為一、二、三維流動。一元流動（One-dimensionalFlow）：流體的運(yùn)動參數(shù)只是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，如，見圖?！?-2描述流體運(yùn)動的基本概念二元流動（Two-dimensionalFlow）：流體的運(yùn)動參數(shù)為兩個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，如，見圖。三元流動（Three-dimensionalFlow）：流體的運(yùn)動參數(shù)為三個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，如顯然，通常的流動都為三元流動，二元、一元流動是簡化的流動模型?！?-2描述流體運(yùn)動的基本概念五、均勻流、急變流與漸變流在流場中，如果任一確定流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中速度保持不變（大小和方向均不變），則將這樣的流動稱為均勻流。均勻流具有下列性質(zhì)：①各質(zhì)點(diǎn)的流速相互平行，過流斷面為一平面；②位于同一流線上的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)速度相等；③沿流程各過流斷面上流速剖面相同，因而平均速度相等，但在同一過流斷面上各點(diǎn)處的速度可以不同；④可以證明，過流斷面上壓強(qiáng)服從靜壓強(qiáng)分布規(guī)律，即同一過流斷面上各點(diǎn)的測壓管水頭相等?！?-2描述流體運(yùn)動的基本概念如果流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中速度大小或方向發(fā)生明顯變化，這樣的流動稱為急變流。在實(shí)際工程中，有些流動雖然不屬于嚴(yán)格意義上的均勻流，但是流體質(zhì)點(diǎn)的速度變化比較緩慢（例如漸擴(kuò)管或漸縮管中的流動），這樣的流動稱為漸變流。漸變流中的流線近乎平行直線，過流斷面也可以近似看成平面。上述性質(zhì)④可以推廣至漸變流斷面。§4-2描述流體運(yùn)動的基本概念例一已知流速場為其中c為常數(shù)，求流線方程。解由式得積分得：則：此外，由得

因此，流線為xoy平面上的一簇通過原點(diǎn)的直線，這種流動稱為平面點(diǎn)源流動（c＞0時(shí)）或平面點(diǎn)匯流動（c＜0時(shí)）。§4-2描述流體運(yùn)動的基本概念例二已知某平面流場流速分布為求其流線和跡線方程。解由流線方程得積分得整理得流線式中常數(shù)由跡線方程積分得整理得跡線方程§4-2描述流體運(yùn)動的基本概念例三某平面流場速度分布為試求在時(shí)過點(diǎn)的流線和跡線方程。解將速度代入流線微分方程積分得即由時(shí)過點(diǎn)得，所求流線方程為可知流線為雙曲線。由跡線微分方程得此方程通解為§4-2描述流體運(yùn)動的基本概念由時(shí)可得，于是跡線方程為消去得可見在非恒定流動中跡線為直線。若流動恒定，則流速為?？汕蟮昧骶€方程仍為。由跡線方程得即積分得由過點(diǎn)得得跡線方程為可以看出，當(dāng)流動恒定時(shí)流線和跡線重合?！?-2描述流體運(yùn)動的基本概念

連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的表達(dá)形式。一、微小流束的連續(xù)性方程在不可壓縮（密度ρ保持不變）一元恒定流場中取一微元流束，如圖。由dt時(shí)間內(nèi)流入、流出dA1、dA2流體相等可得即此式即為不可壓縮流體的連續(xù)性方程

§4-3連續(xù)性方程不難證明，沿任一元流，上述各方程也成立。即：可壓縮時(shí)：§4-3連續(xù)性方程不可壓縮時(shí)：式(4-21)式(4-22)由于斷面1、2是任意選取的，上述關(guān)系可以推廣至全部流動的各個(gè)斷面。即

流體微團(tuán)的運(yùn)動比剛體和固體復(fù)雜得多，它通常由平移，旋轉(zhuǎn)和變形三部分組成。

柯西—亥姆霍茲（Cauchy-Helmholts）定理：一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動可分解為，隨同極點(diǎn)的平移、對于通過該極點(diǎn)瞬時(shí)軸的旋轉(zhuǎn)和變形運(yùn)動。證明：取平行六面體如圖示，以A為極點(diǎn)，分析M點(diǎn)的運(yùn)動。兩點(diǎn)速度如圖示?！?-4流體運(yùn)動的分解

取單位厚度微團(tuán)ABCD，將三維簡化為二維來分析，其各點(diǎn)速度如圖（A、B、C、D）所示。1、隨極點(diǎn)平移：各點(diǎn)均有速度、。因此，dt時(shí)間內(nèi)都隨極點(diǎn)A平移了、的距離。

M點(diǎn)的速度可表示為§4-4流體運(yùn)動的分解

2、線變形運(yùn)動：由速度分布不難看出，dt時(shí)間內(nèi)，B、D二點(diǎn)較A點(diǎn)沿坐標(biāo)方向?qū)a(chǎn)生和的線變形。依次可推得，微團(tuán)上各點(diǎn)對于極點(diǎn)A都將存在線變形運(yùn)動。3、角變形和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動：圖示經(jīng)dt時(shí)間B相對A在Z方向移動D相對與A在y方向移動AB、AD轉(zhuǎn)過的角度為§4-4流體運(yùn)動的分解

規(guī)定以∠BAD平分線的轉(zhuǎn)動程度來確定微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，以∠BAD大小的變化來度量流體微團(tuán)的角變形。

一般情況下可取圖示來分析，則由x方向看的角分線轉(zhuǎn)角為

可得旋轉(zhuǎn)角速度為

推廣到三維空間可得流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度為即§4-4流體運(yùn)動的分解

流體微團(tuán)角變形速度定義為

推廣到三維空間可得

§4-4流體運(yùn)動的分解

由上式可以看出，流體微團(tuán)的運(yùn)動由三部分組成：隨極點(diǎn)的平移運(yùn)動（式右第一項(xiàng)），變形運(yùn)動（式右第二項(xiàng)，線變形加角變形）和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動（式右第三項(xiàng)）。

柯西-亥姆霍茲定理證畢。由以上分析，可將平行六面體M點(diǎn)的速度推求得§4-4流體運(yùn)動的分解注：有旋運(yùn)動和無旋運(yùn)動

當(dāng)流場中流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度或時(shí)，為有旋運(yùn)動，如圖示。

若或則為無旋運(yùn)動，又稱為有勢運(yùn)動?！?-4流體運(yùn)動的分解流場有勢與否可由下式判定例已知某二維不可壓縮流場速度分布為試確定：（1）流動是否連續(xù)？（2）流場是否有旋？（3）速度為零的駐點(diǎn)位置?！?-4流體運(yùn)動的分解解

（1）由

判斷可知流動連續(xù)。（2）因?yàn)?/p>

所以流場無旋。（3）由駐點(diǎn)解方程得駐點(diǎn)為§4-4流體運(yùn)動的分解You!Thank工程流體力學(xué)

第五章流體動力學(xué)§5-1雷諾輸運(yùn)定理一、雷諾實(shí)驗(yàn)1883年英國科學(xué)家雷諾(Reynolds)通過實(shí)驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)流體有兩種不同的流動狀態(tài)，即層流和紊流。當(dāng)管中水流速度較小時(shí)，染色水在玻璃管中保持一條直線，不與周圍的水相混，這說明流體只做軸向運(yùn)動，而無橫向運(yùn)動，此時(shí)水在管中分層運(yùn)動，各層間互不干擾、互不相混，這種流動狀態(tài)稱為層流?！?-1雷諾輸運(yùn)定理當(dāng)管中水流速度達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，水線開始呈波紋狀，流體質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)了與軸向垂直的橫向運(yùn)動，流體的運(yùn)動不再只是層狀流動，開始躍層運(yùn)動，這種狀態(tài)稱為過渡狀態(tài)。管中流速增大到一定程度，染色水線在管中劇烈波動、斷裂并混雜在許多小旋渦中，隨機(jī)地充滿整個(gè)管子截面，此時(shí)管中流體質(zhì)點(diǎn)在向前流動時(shí)，處于完全無規(guī)則的亂流狀態(tài)，這種流動狀態(tài)稱為紊流?！?-1雷諾輸運(yùn)定理二、臨界雷諾數(shù)管中流動呈何種流態(tài)，除了與流體的平均流速有關(guān)外，還與管徑d、流體的密度ρ、粘度μ等因素有關(guān)：式中的Re稱為雷諾數(shù)。上式說明雷諾數(shù)與平均速度和管徑成正比，與流體的運(yùn)動粘度成反比。如果管徑及流體運(yùn)動粘度一定，則雷諾數(shù)只隨平均速度變化。實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)流體由紊流轉(zhuǎn)變?yōu)閷恿鲿r(shí)的平均流速與由層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鲿r(shí)的平均流速不同。這兩個(gè)流速分別稱為下臨界流速

和上臨界流速，相應(yīng)的雷諾數(shù)分別稱為下臨界雷諾數(shù)Rec。及上臨界雷諾數(shù)Rec’，即§5-1雷諾輸運(yùn)定理二、臨界雷諾數(shù)雷諾通過實(shí)驗(yàn)測得上臨界雷諾數(shù)為大于4,000的不確定量，其數(shù)值受外界擾動的影響而發(fā)生變化，下臨界雷諾數(shù)為2,000。通常:屬紊流流動屬層流流動屬不穩(wěn)定狀態(tài)，可能是層流也可能是紊流在實(shí)際工程上為簡化分析起見，對于圓管中流動一般認(rèn)為，當(dāng)時(shí)流動為紊流，當(dāng)時(shí)流動為層流。而對理想流體，不存在粘性應(yīng)力，也沒有層流、紊流的概念，討論雷諾數(shù)是無意義的?！?-1雷諾輸運(yùn)定理三、雷諾運(yùn)輸方程設(shè)在某時(shí)刻的流場中，單位體積流體的物理量分布函數(shù)值為，則t時(shí)刻在流體域τ上的流體所具有的總物理量為I(t)，即設(shè)t時(shí)刻體積在空間τ(t)的位置上，在t+△t時(shí)刻該體積到達(dá)另一位置τ(t+△t)，如圖所示。由導(dǎo)數(shù)定義:式中為:§5-1雷諾輸運(yùn)定理現(xiàn)將τ(t+△t)分為兩部分，即與τ(t)重合的部分τ2和τ(t+△t)新占有的區(qū)域部分τ1，又設(shè)從τ(t)空出區(qū)域部分為τ3，故有式中，τ2+τ3即為體積τ，于是相應(yīng)的體積分為因此有：式(5-10)§5-1雷諾輸運(yùn)定理式(5-10)等號右側(cè)3項(xiàng)分別有：將上述3式帶入式(5-10)得：此式表明，某時(shí)刻一可變體積上系統(tǒng)總物理量對時(shí)間的變化率，等于該時(shí)刻所在空間域(控制體)中物理量的時(shí)間變化率以及單位時(shí)間通過該空間域邊界凈輸運(yùn)的流體物理量之和，這就是著名的雷諾(Reynolds)輸運(yùn)定理，又稱作雷諾運(yùn)輸方程。§5-2連續(xù)方程的微分和積分形式一、連續(xù)方程的積分形式根據(jù)質(zhì)量守恒定律，體系內(nèi)流體的質(zhì)量在流動過程中不隨時(shí)間而變化，則適用的連續(xù)方程為利用雷諾運(yùn)輸公式，可把式變成如下形式這就是適用于控制體的積分形式的連續(xù)方程，它說明控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增加率等于通過控制面A進(jìn)出的流體凈流入率。對于定常流，由于，則連續(xù)方程變?yōu)榛蚧蚴?5-18)對于一維定常流動，式(5-18)可寫為或式(5-17)§5-2連續(xù)方程的微分和積分形式二、連續(xù)方程的微分形式利用高斯散度定理把方程式(5-17)中的面積分項(xiàng)改寫為體積分項(xiàng)，即式(5-20)把式(5-20)代入(5-17)，于是有由于積分體積τ是任意取的，且假定被積函數(shù)連續(xù)，因此，只有當(dāng)括號內(nèi)的值處處為零時(shí)，積分才可能為零。于是就得到微分形式的連續(xù)方程，即式(5-22)將式(5-22)中項(xiàng)展開，則式(5-23)§5-2連續(xù)方程的微分和積分形式將式(5-23)代入式(5-22)，有因?yàn)閯t有這是另一種形式的微分形式連續(xù)方程，它與方程式(5-22)完全等價(jià)。對于可壓縮流體的定常流動，微分形式的連續(xù)方程為對于不可壓縮流體，因?yàn)椋瑒t有連續(xù)方程這說明不可壓縮流體在流動過程中速度V的散度，即體積膨脹率處處為零?！?-3動量方程的微分和積分形式一、動量方程的積分形式對于某瞬時(shí)占據(jù)空間固定體積τ的流體所構(gòu)成的體系，由牛頓運(yùn)動第二定律可知，體系的動量隨時(shí)間的變化率等于作用在該體系上所有外力的合力，即利用雷諾輸運(yùn)公式，則式(5-29)可寫為式(5-29)

式(5-30)式(a)§5-3動量方程的微分和積分形式

式(b)負(fù)號表示壓強(qiáng)方向與表面外法線方向相反。將式(a)與式(b)代入式(5-30)，則有對于支教坐標(biāo)系，其三個(gè)分量形式為對于定常流，式(5-31a)變?yōu)槭?5-31a)式(5-31b)§5-3動量方程的微分和積分形式二、動量方程的微分形式為了得到無粘流體的微分形式的動量方程，可采用高斯定理，把積分形式的動量方程式(5-31a)中的面積分轉(zhuǎn)換成體積分，于是壓力項(xiàng)變?yōu)槭?5-35)動量通量項(xiàng)變?yōu)閯t式(5-31a)左端變?yōu)椤?-3動量方程的微分和積分形式式(5-35)代入式(5-31a)，便有式(5-38a)因?yàn)棣邮侨我馊〉?，且假定被積函數(shù)連續(xù)，由此可知，被積函數(shù)恒為零，即或這就是理想流體的微分形式的動量方程，又稱為歐拉運(yùn)動微分方程。令Π代表粘性應(yīng)力張量，可以推出粘性流體的動量方程為或式(5-38b)式(5-37a)式(5-37b)§5-3動量方程的微分和積分形式對于無粘氣體，可以忽略質(zhì)量力，即R=0，代入式(5-38a)于是有對于定常流動，從式(5-37a)則有上述矢量形式的歐拉運(yùn)動微分方程也可改寫成直角坐標(biāo)系或其他坐標(biāo)系中的相應(yīng)形式。式(5-39)式(5-40)§5-4能量方程的微分和積分形式能量方程是熱力學(xué)第一定律應(yīng)用于流動流體時(shí)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。對于某瞬間占據(jù)空間體積τ的流體所構(gòu)成的體系，熱力學(xué)第一定律可表述如下：單位時(shí)內(nèi)外界傳給體系的熱量等于體系所儲存的總能量的增加率加上體系對外界輸出的功率，即

§5-4能量方程的微分和積分形式體系所儲存的總能量包括內(nèi)能和動能，以e代表單位質(zhì)量流體的總內(nèi)能(又稱為廣義內(nèi)能)

則整個(gè)體系所具有的總內(nèi)能E為§5-4能量方程的微分和積分形式由于外力有質(zhì)量力和表面力，故體系對外界所做的功也可分為克服質(zhì)量力和表面力所做的功兩種。規(guī)定體系對外界做功取正值，外界對體系做功取負(fù)值。設(shè)單位質(zhì)量流體所受的質(zhì)量力為R，則單位時(shí)間作用于體系上的質(zhì)量力對體系所做的功為這里所研究的是理想流體，不存在粘性剪切力，因而克服粘性剪切力所做的功為零。因此，表面力所做的功可以表示成積分號前未加負(fù)號是因?yàn)樗潜硎倔w系對外界所做的功，按規(guī)定應(yīng)為正。則體系的能量方程可以寫成式(5-43)§5-4能量方程的微分和積分形式一、能量方程的積分形式根據(jù)雷諾輸運(yùn)公式，則式(5-43)中控制體內(nèi)流體所儲存的能量隨時(shí)間的變化率項(xiàng)可以寫成

式(5-46)§5-4能量方程的微分和積分形式

把上面所得到的有關(guān)關(guān)系式代入式(5-43)，整理后得到把面積分項(xiàng)加以合并，則有式(5-49)這就是適用于控制體的積分形式能量方程式。方程式中的面積分項(xiàng)的積分面積A是指整個(gè)控制表面?！?-4能量方程的微分和積分形式

式(5-51)§5-4能量方程的微分和積分形式考慮到固體表面上不會產(chǎn)生流體的流進(jìn)和流出。因此可以把上式寫成

式(5-53a)式(5-52)式(5-54a)§5-4能量方程的微分和積分形式

式(5-53b)式(5-54b)§5-4能量方程的微分和積分形式二、能量方程的微分形式為了得到微分形式的能量方程，利用高斯定理把適用于控制體的積分形式能量方程式(5-53a)中的面積分項(xiàng)改成體積分項(xiàng)，即這時(shí)能量方程式(5-53a)變成

式(5-57)§5-4能量方程的微分和積分形式由于積分體積τ是任意取的，且假定積分號內(nèi)的各參數(shù)都是連續(xù)的，因此被積函數(shù)必然等于零，即由于把這兩個(gè)關(guān)系式代入式(5-58)，整理后得到式(5-58)式(5-61)§5-4能量方程的微分和積分形式注意到連續(xù)方程式為以及隨體導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式最后便可得到式(5-64)這就是微分形式的能量方程?！?-4能量方程的微分和積分形式對于粘性流體，令H代表總焓，e代表內(nèi)能，在不考慮勢能時(shí)則可以證明有下面兩式成立，即式中，Φ為耗散函數(shù)，其表達(dá)式為式中，?為變形率張量。如果質(zhì)量力是重力，方程式(5-64)則變成式(5-68)§5-4能量方程的微分和積分形式當(dāng)流體流動過程與外界既無熱量交換又無機(jī)械功輸入輸出，并且流動為定常流時(shí)，則式(5-68)可簡化為根據(jù)隨體導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，式(5-69)表明在絕能定常流動過程中，單位質(zhì)量流體所包含的熔值、動能與勢能之和(亦即具有的總能量)保持不變，即上式說明，在多維定常絕能流動中流體所具有的總能量沿跡線保持不變，由于定常流跡線與流線重合，因此沿流線流體總能量亦保持不變。一般情況下，不同流線的流體所具有的總能量是不相同的，只有當(dāng)起始點(diǎn)上流體所具有的總能量相等，那么在整個(gè)流場上流體所具有的總能量才處處相等，這種流動叫做均能流。式(5-70)§5-5伯努利方程及其應(yīng)用

式(5-71)由幾何關(guān)系將流體元的加速度轉(zhuǎn)換為歐拉形式的加速度，沿流線方向的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)式為式(5-75)則式(5-71)可表示為上式為無粘性流體沿流線的運(yùn)動微分方程，又稱為一維歐拉運(yùn)動方程。為將方程沿流線積分，式(5-75)兩邊乘以ds并移向，又因可得式(5-77)§5-5伯努利方程及其應(yīng)用§5-5伯努利方程及其應(yīng)用式(5-78)將式(5-77)沿流線積分式(5-78)稱為歐拉運(yùn)動方程沿流線的積分式，適合于可壓縮無粘性流體沿流線的不定常運(yùn)動。對不可壓縮流體的定常流動，式(5-78)可作進(jìn)一步簡化為式(5-79)式(5-79)稱為伯努利方程。方程中的各項(xiàng)分別代表單位質(zhì)量流體具有的動能、位置勢能