講解工科數(shù)學分析基礎總目錄資料教程

《高等數(shù)學》圖形演示系統(tǒng)高等教育出版社高等教育電子音像出版社天津大學田秀恭教授

研制《高等數(shù)學》是工科一門重要的基礎課，課程長，延續(xù)一年級上、下兩個學期，課時達176或更多。學生在學習的過程中，往往因缺乏對空間形體的想象能力，而感到學習困難。對教師來說，課程緊，內容多，一直存在黑板畫圖難的問題。怎樣才能加強這種能力的訓練和培養(yǎng)，使典型空間形式的圖像成為學生頭腦中的一種常識，確實是個很值得研究、解決的問題。

CAI課件《高等數(shù)學圖形演示系統(tǒng)》就是為解決這個問題而制作的。本課件演示的圖形形象逼真、有較強的立體感,對于復雜的空間幾何關系，能夠明確、清晰地用立體形象表達出來；同時，每一個圖形的演示都力圖包括它的基本思想和

前言形成過程，并用動畫體現(xiàn)出來。因此，它不僅可以加深印象，在相當程度上起到甚至超過教具的作用，而且會引起學生對數(shù)學的學習興趣，有利于培養(yǎng)聯(lián)想和創(chuàng)造力，也有利于自學。本圖形演示中各圖的選題，以同濟大學“高等數(shù)學”教材為線索，以比較重要的概念、定理和空間圖象較為典型而又復雜的題目為主。內容包括一元函數(shù)微分學，一元函數(shù)積分學，空間解析幾何，多元函數(shù)微分學，二重積分，三重積分，重積分應用，付立葉級數(shù)等八個部分。演示的圖形共有148個。演示的圖形構成了《高等數(shù)學》比較完整的、與文字教材基本配套的圖形系統(tǒng)。二重積分、三重積分涉及的立體區(qū)域畫圖是教與學中最大的難點。本課件以此作為重點，給出了一系列曲面與曲面相交的過程，交線的形狀。力求清晰、逼真，突破這一難點，改變講到這兒時課堂上教師畫不出、難講清、用手比劃的局面。.

本圖庫與傳統(tǒng)教材相比，適當?shù)卦龃罅诵畔⒘?。例如：常用曲線的生成、旋輪線的應用、直紋面、漸近面等。對學生普遍感興趣但一般教科書沒有涉及的少數(shù)圖形問題也做了研究和嘗試。比如，關于二重極限不存在的一個典型例題，一般都必講而且只講計算，其曲面的形狀歷來是個謎。本課件做出了該曲面的立體圖形，給出了清晰的幾何的分析。目的是啟發(fā)學生的創(chuàng)新思維，供讀者選用。希望同學們能利用形數(shù)結合的方法，從空間幾何圖形的演示與它的分析表達式二者關系的反復聯(lián)想琢磨中，認識變量怎樣刻畫運動，進一步加深對高等數(shù)學重點和難點的理解；同時得到對空間幾何圖形想象力的鍛煉，逐步學會畫圖；提高解題準確度和速度；并能理論聯(lián)系實際，提高創(chuàng)新能力。本圖庫主要用于輔助教師在課上講課，沒有配音。課件中每個圖都一步步用動畫演示，公式和簡要的計算也一步步.出現(xiàn)。每兩步的時間間隔由講課教師掌握，以便于教師的講解啟發(fā)和學生的思考練習。本課件研制了三年，在教學中使用了兩年。期間得到天津大學各級領導的大力支持，也得到了天津市教委的資助。2000年本課件榮獲“天津市CAI課件評審”一等獎。本課件先后在我校、天津市和清華大學演示了幾次，受到教師們熱烈歡迎和鼓勵。承蒙高等教育電子音像出版社的同志們大力協(xié)助，使本課件得以正式出版。作者在此一并表示感謝！由于研制者水平有限，錯誤和不足之處難免，希望讀者不吝指教.

研制者

二零零一年十二月于天津大學.

本課件是《高等數(shù)學》課程的圖形演示庫，主要為了輔助教師在課上講課（因此沒有配音），解決高等數(shù)學教師黑板畫圖難的問題，從而提高學生的空間想象能力。其中每個圖都一步步用動畫演示，公式和計算也一步步出現(xiàn)。每兩步的時間間隔由講課教師掌握，可以按鼠標左鍵，或

鍵，或者按空格鍵來控制，以便于教師的講解啟發(fā)和學生的思考。本圖庫在windows9x下正常運行。圖庫分九個部分：前言，總目錄；§1一元微分；§2一元積分；§3空間解析；§4多元微分；§5二重積分；§6三重積分；§7重積分的應用；§8付氏級數(shù)。每一部分各自設有主目錄。為便于檢索，在每一部分的主目錄中每一個圖題后建立說明書

了超級鏈接。比如：§1中的

圖8

，讀者點擊該題目后的按鈕，可立即找到需要的圖形―“8.導數(shù)的幾何意義”。為了檢索快捷，每一頁面的右下角都有返回本部分主目錄的按鈕，讀者若不想按順序看下面的圖，隨時點擊一下這個按鈕，就回到這一部分的主目錄。再按照前述方法找您需要的圖即可。若想選擇組成某個圖形的第幾張幻燈片，請單擊右鍵，再指“定位”，在下拉菜單中指“按標題”，就可以找到您需要的那張幻燈片，點擊它即可。

研制者

二零零一年十二月于天津大學.§1一元函數(shù)微分學

1函數(shù)極限的幾何解釋2函數(shù)的左極限3x

時的極限

4x趨于正無窮時的極限5數(shù)列的極限6無窮大

7

函數(shù)的連續(xù)性8數(shù)的幾何意義9微分的幾何意義對函數(shù)進行全面討論并畫圖：

§2一元函數(shù)積分學

19曲邊梯形的面積y

=

x–2arctanx111213141516總目錄17

弧微分1018曲率22曲邊扇形的面積

23旋輪線24旋輪線也叫擺線

2021求由雙紐線內部的面積。37平行截面面積已知的立體體積38半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。39求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積。40旋轉體體積(y=f(x)繞x軸)41旋轉體體積(x=g(y)繞y軸)42

旋轉體體積（柱殼法）43旋轉體的側面積33343536.25旋輪線是最速降線26心形線27星形線28圓的漸伸線29笛卡兒葉形線30

雙紐線31

阿基米德螺線32

對數(shù)螺線§3空間解析幾何44直角坐標系

45兩矢量和在軸上的投影46矢量積的分配律的證明47混合積的幾何意義48一般柱面F(x,y)=049一般柱面F(y,z)=0

50橢圓柱面

51雙曲柱面52拋物柱面53旋轉面

54雙葉旋轉雙曲面

55單葉旋轉雙曲面

56旋轉錐面

57旋轉拋物面

58環(huán)面

59橢球面60橢圓拋物面

61雙曲拋物面

62雙曲面的漸近曲面

63單葉雙曲面是直紋面64雙曲拋物面是直紋面65一般錐面66空間曲線——圓柱螺線67空間曲線在坐標面上的投影68空間曲線作為投影柱面的交線(1)

69空間曲線作為投影柱面的交線(2)70

作出平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12

和x+y+z=6所圍成的立體圖形.717372的圖形，該函數(shù)81二元函數(shù)而§4多元函數(shù)微分學74二重極限存在的例子75二重極限不存在的例子76偏導數(shù)的幾何意義

77全微分的幾何意義

78方向導數(shù)79七框圖80

多元函數(shù)的極值.85二重積分的計算：D是矩形區(qū)域

86二重積分的計算：D是曲線梯形區(qū)域87

二重積分計算的兩種積分順序§5二重積分84多元函數(shù)積分學概況8283曲頂柱體的體積88899091將二重積分化成二次積分.D:x+y=1,x–y=1，x=0所圍92

將二重積分化成二次積分3x–2y+1=0

共同圍成的區(qū)域

D:由四條直線:x

=3，x

=5,

3x–2y+4=

0,

93將二重積分換序：.95（練習）將二重積分化成二次積分96

為什么引用極坐標計算二重積分94將二重積分換序：97利用極坐標計算二重積分98怎樣用極坐標計算二重積分(1)極點位于區(qū)域D

的外部99怎樣用極坐標計算二重積分(2)極點位于區(qū)域D

的內部100102103101106將積分化為極坐標形式105將積分換序104.§6三重積分計算下列三重積分：

=[a,b;c,d;e,g]107108

為曲頂柱體109

:平面x=0,y=0,z=0，x+2y+z=1所圍成的區(qū)域.110:平面

y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12,

和x+y+z=6

所圍成的區(qū)域。111112113114117柱面坐標

118柱面坐標的坐標面119柱面坐標下的體積元素

120121計算.115計算三重積分的另一思路（對有的問題適用）