高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)同步單元測(cè)試AB卷(新高考)專題4.9數(shù)學(xué)歸納法(A)專項(xiàng)練習(xí)(原卷版+解析)

專題4.9數(shù)學(xué)歸納法(A）第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2022·北京八中高二期末）一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，已經(jīng)驗(yàn)證知時(shí)命題成立，并在假設(shè)（k為正整數(shù)）時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)時(shí)命題成立，那么綜上可知，該命題對(duì)于（

）A．一切自然數(shù)成立 B．一切正整數(shù)成立C．一切正奇數(shù)成立 D．一切正偶數(shù)成立2．（2022·上海市進(jìn)才中學(xué)高三階段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明能被31整除時(shí)，從k到添加的項(xiàng)數(shù)共有（

）項(xiàng)A．7 B．6 C．5 D．43．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是關(guān)于正整數(shù)n的命題．小明證明了命題，，均成立，并對(duì)任意的正整數(shù)k，在假設(shè)成立的前提下，證明了成立，其中m為某個(gè)固定的整數(shù)，若要用上述證明說明對(duì)一切正整數(shù)n均成立，則m的最大值為（

）．A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)命題，這里，當(dāng)，2，…，999時(shí)，成立，并且當(dāng)時(shí)它也成立，下列命題中正確的是（

）A．對(duì)于成立 B．對(duì)于每一個(gè)自然數(shù)成立C．對(duì)于每一個(gè)偶數(shù)成立 D．對(duì)于某些偶數(shù)可能不成立5．（2022·河南商丘·高二期末（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明：，，當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（

）A． B．C． D．6．（2022·四川眉山·高二期末（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由到，左邊需要添加的項(xiàng)數(shù)為（

）A．1 B．k C． D．7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明（，n為正整數(shù)）的過程中，從遞推到時(shí)，不等式左邊為（

）．A．． B．．C．． D．．8．（2022·上海市延安中學(xué)高一階段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，其中，，從到時(shí)，等式左邊需要增乘的代數(shù)式為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法B．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的第一步的初始值一定為1C．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可D．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，歸納假設(shè)一定要用上10．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知一個(gè)命題p(k)，k＝2n(n∈N*)，若當(dāng)n＝1，2，…，1000時(shí)，p(k)成立，且當(dāng)n＝1001時(shí)也成立，則下列判斷中正確的是（

）A．p(k)對(duì)k＝528成立B．p(k)對(duì)每一個(gè)自然數(shù)k都成立C．p(k)對(duì)每一個(gè)正偶數(shù)k都成立D．p(k)對(duì)某些偶數(shù)可能不成立11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論能用數(shù)學(xué)歸納法證明的是（

）A．B．C．D．12．（2021·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于不等式，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：①當(dāng)時(shí)，，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，不等式成立.則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．過程全部正確 B．的驗(yàn)證不正確C．的歸納假設(shè)不正確 D．從到的推理不正確第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明（為正整數(shù)）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式是______．14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步應(yīng)驗(yàn)證______時(shí)是否成立．15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于正奇數(shù)，都能被整除”，在假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，進(jìn)一步要對(duì)于______時(shí)，驗(yàn)證結(jié)論也成立．16．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則______，______，______，______，猜想______．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且滿足．猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．18．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足，.（1）求、；（2）猜想數(shù)列通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.19．（2021·浙江·高二課時(shí)練習(xí)）在證明，由到的變化過程中，左邊增加的部分是什么，右邊增加的部分是什么？20．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意正整數(shù)能被9整除．21．（2022·江西省信豐中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足，，試猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．22．（2022·甘肅武威·高二期中（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，那么對(duì)任何都成立．專題4.9數(shù)學(xué)歸納法(A）第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2022·北京八中高二期末）一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，已經(jīng)驗(yàn)證知時(shí)命題成立，并在假設(shè)（k為正整數(shù)）時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)時(shí)命題成立，那么綜上可知，該命題對(duì)于（

）A．一切自然數(shù)成立 B．一切正整數(shù)成立C．一切正奇數(shù)成立 D．一切正偶數(shù)成立【答案】C【分析】依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的規(guī)則去判斷即可解決【詳解】已經(jīng)驗(yàn)證知時(shí)命題成立，并在假設(shè)（k為正整數(shù)）時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)時(shí)命題成立，那么綜上可知，命題對(duì)成立即該命題對(duì)于一切正奇數(shù)成立故選：C2．（2022·上海市進(jìn)才中學(xué)高三階段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明能被31整除時(shí)，從k到添加的項(xiàng)數(shù)共有（

）項(xiàng)A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】分別寫出與時(shí)相應(yīng)的代數(shù)式，對(duì)比觀察求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則∴從k到添加的項(xiàng)數(shù)共有5項(xiàng)故選：C.3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知是關(guān)于正整數(shù)n的命題．小明證明了命題，，均成立，并對(duì)任意的正整數(shù)k，在假設(shè)成立的前提下，證明了成立，其中m為某個(gè)固定的整數(shù)，若要用上述證明說明對(duì)一切正整數(shù)n均成立，則m的最大值為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由歸納法的步驟知，我們由在假設(shè)成立的前提下，證明了成立，由此推得，對(duì)的任意整數(shù)均成立，結(jié)合小明證明了命題，，均成立，由此不難得到m的最大值．【詳解】由題意可知，對(duì)都成立，假設(shè)成立的前提下，證明了成立，由此推得，對(duì)的任意整數(shù)均成立，因此m的最大值可以為：3．故選C．4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)命題，這里，當(dāng)，2，…，999時(shí)，成立，并且當(dāng)時(shí)它也成立，下列命題中正確的是（

）A．對(duì)于成立 B．對(duì)于每一個(gè)自然數(shù)成立C．對(duì)于每一個(gè)偶數(shù)成立 D．對(duì)于某些偶數(shù)可能不成立【答案】D【分析】由題意得成立的條件，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】由題意在時(shí)命題成立，在其他情況下不確定是否成立故選：D5．（2022·河南商丘·高二期末（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明：，，當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別確定和時(shí)等式左端的式子，由此可得結(jié)果.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，等式左端為，當(dāng)時(shí)，等式左端為，兩式比較可知，增加的項(xiàng)為．故選：C．6．（2022·四川眉山·高二期末（理））用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由到，左邊需要添加的項(xiàng)數(shù)為（

）A．1 B．k C． D．【答案】D【分析】寫出時(shí)和時(shí)等式左邊式子，比較即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，等式左端為，當(dāng)時(shí)，等式左端為，所以共增加了項(xiàng).故選：D.7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明（，n為正整數(shù)）的過程中，從遞推到時(shí)，不等式左邊為（

）．A．． B．．C．． D．．【答案】C【分析】根據(jù)的式子，即可比較求解.【詳解】由，則，因此故選：C8．（2022·上海市延安中學(xué)高一階段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，其中，，從到時(shí)，等式左邊需要增乘的代數(shù)式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】按照數(shù)學(xué)歸納法類比題干條件逐項(xiàng)展開即可.【詳解】當(dāng)時(shí),左邊等于;當(dāng)時(shí),左邊等于，即左邊等于；所以左邊增乘的項(xiàng)為；故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法B．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的第一步的初始值一定為1C．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可D．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，歸納假設(shè)一定要用上【答案】CD【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的特點(diǎn)判斷.【詳解】與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明不一定只能用數(shù)學(xué)歸納法，如：證明時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法，也可使用裂項(xiàng)相消法求和，故A錯(cuò)誤；數(shù)學(xué)歸納法的第一步的初始值不一定為1，如：證明當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，能被整除.初始值為2，故B錯(cuò)誤；數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可且用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，歸納假設(shè)一定要用上，故CD正確.故選：CD.10．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知一個(gè)命題p(k)，k＝2n(n∈N*)，若當(dāng)n＝1，2，…，1000時(shí)，p(k)成立，且當(dāng)n＝1001時(shí)也成立，則下列判斷中正確的是（

）A．p(k)對(duì)k＝528成立B．p(k)對(duì)每一個(gè)自然數(shù)k都成立C．p(k)對(duì)每一個(gè)正偶數(shù)k都成立D．p(k)對(duì)某些偶數(shù)可能不成立【答案】AD【分析】直接根據(jù)已知條件判斷每一個(gè)選項(xiàng)的正確錯(cuò)誤.【詳解】由題意知p(k)對(duì)k＝2，4，6，…，2002成立，當(dāng)k取其他值時(shí)不能確定p(k)是否成立，故選AD.故選：AD11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論能用數(shù)學(xué)歸納法證明的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的定義可得出結(jié)論.【詳解】數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法，由此可知BC能用數(shù)學(xué)歸納法證明.故選：BC.12．（2021·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于不等式，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：①當(dāng)時(shí)，，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，不等式成立.則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．過程全部正確 B．的驗(yàn)證不正確C．的歸納假設(shè)不正確 D．從到的推理不正確【答案】ABC【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的基本過程可得出結(jié)論.【詳解】在時(shí)，沒有應(yīng)用時(shí)的假設(shè)，即從到的推理不正確.故選：ABC.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明（為正整數(shù)）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式是______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟，令即可得出結(jié)論.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，即，故答案為：.14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步應(yīng)驗(yàn)證______時(shí)是否成立．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，第一步驗(yàn)證使結(jié)論成立的最小正整數(shù)，由題意可得答案.【詳解】的最小值為，所以第一步應(yīng)驗(yàn)證時(shí)是否成立．故答案為：.15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于正奇數(shù)，都能被整除”，在假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，進(jìn)一步要對(duì)于______時(shí)，驗(yàn)證結(jié)論也成立．【答案】【分析】利用為正奇數(shù)，得到下一個(gè)正奇數(shù)為.【詳解】要證明的是對(duì)于正奇數(shù)，都能被整除，故的下一個(gè)正奇數(shù)為.故答案為：16．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則______，______，______，______，猜想______．【答案】

【分析】根據(jù)的表達(dá)式，即可代入值計(jì)算，進(jìn)而通過觀察規(guī)律即可得出猜想.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此猜想：,故答案為：；；；；四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且滿足．猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．【答案】【詳解】試題分析：分別令n=1，2，3，列出方程組，能夠求出求；猜想：，由可知，當(dāng)n≥2時(shí)，，所以，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；試題解析：解：分別令，得，∵，∴，猜想：，由①可知，當(dāng)時(shí)②①-②得，即當(dāng)時(shí)∵，∴，（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，,∵，∴，∴，即當(dāng)時(shí)也成立．∴，顯然時(shí)，也成立，故對(duì)于一切，均有．考點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式及數(shù)學(xué)歸納法證明18．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足，.（1）求、；（2）猜想數(shù)列通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.【答案】（1），；（2）,證明見解析.【分析】（1）依據(jù)遞推關(guān)系可求、.（2）根據(jù)（1）可猜測(cè)，按照數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟證明即可.【詳解】（1），；（2）猜想數(shù)列通項(xiàng)公式，證明如下：當(dāng)時(shí)，，，所以成立；假設(shè)時(shí)成立，即，當(dāng)時(shí)，，∴時(shí)，成立，綜上，由①②得：.【點(diǎn)睛】由數(shù)列的前若干項(xiàng)和遞推關(guān)系可猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)，然后再用數(shù)學(xué)歸納法去證明，注意數(shù)學(xué)歸納法有三個(gè)部分即歸納的起點(diǎn)、歸納假設(shè)和歸納證明，注意歸納證明的推理過程必須用到歸納假設(shè).19．（2021·浙江·高二課時(shí)練習(xí)）在證明，由到的變化過程中，左邊增加的部分是什么，右邊增加的部分是什么？【答案】；【分析】觀察首項(xiàng)，末項(xiàng)，中間的變化規(guī)律，并寫出當(dāng)和時(shí)的式子，對(duì)比得到左邊增加的部分，右邊增加的部分.【詳解】時(shí)，左邊為，時(shí)，變?yōu)?，故由到的變化過程中，左邊增加的都分是；時(shí)，右邊為，時(shí)，變?yōu)?，右邊增加的部分?故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法