高考數學二輪復習講義(新高考版)專題5培優(yōu)點16非線性回歸問題(學生版+解析)

培優(yōu)點16非線性回歸問題【方法總結】通過變量間的相關關系對兩個變量進行統(tǒng)計分析是數學的重要應用．其中非線性回歸問題具有十分重要的現實意義．【典例】二手車經銷商小王對其所經營的A型號二手汽車的使用年數x與銷售價格y(單位：萬元/輛)進行整理，得到如下數據：使用年數x234567售價y201286.44.43z＝lny3.002.482.081.861.481.10下面是z關于x的折線圖：(1)由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合z與x的關系，請用相關系數加以說明；(2)求y關于x的回歸方程，并預測當某輛A型號二手車使用年數為9年時售價約為多少；(eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))小數點后保留兩位有效數字)(3)基于成本的考慮，該型號二手車的售價不得低于7118元，請根據(2)求出的回歸方程預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數不得超過多少年．INCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數學\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數學\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數學\\word\\跟蹤演練.tif"INET【拓展訓練】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，于是對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)的數據進行了初步處理，得到如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)(xi－eq\x\to(x))2(wi－eq\x\to(w))2(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8注：表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)i.(1)根據散點圖判斷，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x與eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))＋eq\o(d,\s\up6(^))eq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程模型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(1)的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；(3)已知這種產品的年利潤z與x，y之間的關系為eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2y－x，根據(2)的結果回答下列問題．①當年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？培優(yōu)點16非線性回歸問題【方法總結】通過變量間的相關關系對兩個變量進行統(tǒng)計分析是數學的重要應用．其中非線性回歸問題具有十分重要的現實意義．【典例】二手車經銷商小王對其所經營的A型號二手汽車的使用年數x與銷售價格y(單位：萬元/輛)進行整理，得到如下數據：使用年數x234567售價y201286.44.43z＝lny3.002.482.081.861.481.10下面是z關于x的折線圖：(1)由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合z與x的關系，請用相關系數加以說明；(2)求y關于x的回歸方程，并預測當某輛A型號二手車使用年數為9年時售價約為多少；(eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))小數點后保留兩位有效數字)(3)基于成本的考慮，該型號二手車的售價不得低于7118元，請根據(2)求出的回歸方程預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數不得超過多少年．【解析】解(1)由題意，知eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，eq\x\to(z)＝eq\f(1,6)×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，又izi＝47.64，＝4.18，＝1.53，∴r＝eq\f(47.64－6×4.5×2,4.18×1.53)＝－eq\f(6.36,6.3954)≈－0.99，∴z與x的相關系數大約為－0.99，說明z與x的線性相關程度很高．(2)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(47.64－6×4.5×2,139－6×4.52)＝－eq\f(6.36,17.5)≈－0.36，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(z)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝2＋0.36×4.5＝3.62，∴z與x的線性回歸方程是eq\o(z,\s\up6(^))＝－0.36x＋3.62，又z＝lny，∴y關于x的回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝e－0.36x＋3.62.令x＝9，得eq\o(y,\s\up6(^))＝e－0.36×9＋3.62＝e0.38，∵ln1.46≈0.38，∴eq\o(y,\s\up6(^))≈1.46.即預測當某輛A型號二手車使用年數為9年時售價約為1.46萬元．(3)當eq\o(y,\s\up6(^))≥0.7118，即e－0.36x＋3.62≥0.7118＝eln0.7118≈e－0.34時，則有－0.36x＋3.62≥－0.34，解得x≤11，因此，預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數不得超過11年．【方法總結】非線性回歸方程的求法(1)根據原始數據作出散點圖．(2)根據散點圖，選擇恰當的擬合函數．(3)作恰當變換，將其轉化成線性函數，求線性回歸方程．(4)在(3)的基礎上通過相應變換，即可得非線性回歸方程．INCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數學\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數學\\word\\跟蹤演練.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\周飛燕\\2020\\二輪\\數學\\word\\跟蹤演練.tif"INET【拓展訓練】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，于是對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)的數據進行了初步處理，得到如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)(xi－eq\x\to(x))2(wi－eq\x\to(w))2(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8注：表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)i.(1)根據散點圖判斷，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x與eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))＋eq\o(d,\s\up6(^))eq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程模型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(1)的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；(3)已知這種產品的年利潤z與x，y之間的關系為eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2y－x，根據(2)的結果回答下列問題．①當年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？【解析】解(1)由散點圖可以判斷，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))＋eq\o(d,\s\up6(^))eq\r(x)適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程模型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關于w的線性回歸方程．由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y關于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y關于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當x＝49時，年銷售量y的預報值為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利潤z的預報值為eq\o(z,\s