2021屆遼寧省部分重點高中高二下學期期中考試數(shù)學試題解析版

2021-2021學年遼寧省局部重點高中高二下學期期中考試數(shù)學試題一、單項選擇題1．等比數(shù)列中，，前三項之和，那么公比的值為〔〕A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)條件列關于首項與公比的方程組，即可解得公比，注意等比數(shù)列求和公式使用條件.【詳解】等比數(shù)列中，，前三項之和，假設，，，符合題意；假設，那么，解得，即公比的值為1或，應選：C【點睛】此題考查等比數(shù)列求和公式以及根本量計算，考查根本分析求解能力，屬根底題.2．2021年1月，教育部出臺?關于在局部高校開展根底學科招生改革試點工作的意見?(簡稱“強基方案〞)，明確從2021年起強基方案取代原有的高校自主招生方式.如果甲?乙兩人通過強基方案的概率分別為，那么兩人中恰有一人通過的概率為〔〕A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，甲乙兩人通過強基方案是相互獨立的事件，可確定甲乙兩人中恰有一人通過的事件為甲通過乙不通過和甲不通過乙通過.【詳解】由題意，甲乙兩人通過強基方案的事件是相互獨立的，那么甲乙兩人中恰有一人通過的概率為.應選：D.3．利用獨立性檢驗的方法調查高中生性別與愛好某項運動是否有關，通過隨機調查200名高中生是否愛好某項運動，利用列聯(lián)表，由計算可得，參照下表：得到的正確結論是〔〕A．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關〞B．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關〞C．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關"D．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關〞【答案】B【分析】由的，比照臨界值表可得答案【詳解】解：因為，所以有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關〞.應選：B.4．過原點作曲線的切線，那么切線的斜率為〔〕A．e B． C．1 D．【答案】B【分析】先設出切點坐標為，那么由導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率為，從而可得切線方程為，再將原點坐標代入可得切點的縱坐標，再將代入曲線方程中可求出的值，進而可得切線的斜率【詳解】解：設切點坐標為，由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，因為切線過原點，所以，得，因為切點在曲線上，所以，解得，所以切線的斜率為，應選：B5．設函數(shù)在定義域內可導，的圖象如下圖，那么導函數(shù)的圖象為〔〕A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)原函數(shù)圖像，由導函數(shù)與原函數(shù)圖像之間關系，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】由圖可知，函數(shù)在上單調遞減，所以在上恒成立，排除選項B和D；函數(shù)在上先遞減后遞增再遞減，所以在上應為負、正、負的趨勢，即選項A錯誤，C正確；應選：C．【點睛】此題主要考查導數(shù)與原函數(shù)圖像之間關系的判定，屬于根底題型.6．那么〔〕A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件概率的定義，利用條件分別求得和，從而求得.【詳解】由題知，，，，又，那么.應選：C【點睛】關鍵點點睛：利用條件概率的定義分別求得事件同時發(fā)生的概率，再利用求得.7．數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足假設對任意的，都有成立，那么實數(shù)的取值范圍是〔〕A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意，對任意的，都有成立，即，利用數(shù)列的單調性可得，即可求解.【詳解】由，對任意的，都有成立，即，即，又數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，，且是單調遞增數(shù)列，當時，，，即，解得.應選：B.【點睛】關鍵點睛：此題考查等差數(shù)列通項公式及數(shù)列單調性的應用，解題的關鍵是要利用數(shù)列的單調性結合條件得到.8．定義在的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足成立，那么以下不等式成立的是〔〕A． B．C． D．【答案】B【分析】構造函數(shù)，求導后可確定其單調性，利用單調性比擬大小可判斷各選項．【詳解】設，那么，所以在上是減函數(shù)，所以，即，A錯；，即，B正確；，即，C錯；的正負不確定，因此與大小不確定，D不能判斷．應選：B．【點睛】關鍵點點睛：此題考查比擬大小問題，解題關鍵是構造新函數(shù)，由導數(shù)確定其單調性，從而可比擬函數(shù)值大?。?、多項選擇題9．為等差數(shù)列，其前項和，，那么以下結論一定正確的選項是〔〕A．假設，那么公差 B．假設，那么最小C． D．【答案】AD【分析】對于等差數(shù)列，最重要的是根本量，根據(jù)每一個選項的條件再結合根本量來分析，就可以作出判斷.【詳解】當時，因為，所以，故A正確；當，時，滿足，無最小值，故B錯誤；當，，且滿足時，，此時，當，，且滿足時，的符號無法確定，故C無法確定；，故D正確．應選：AD.10．由樣本數(shù)據(jù)點集合，求得的回歸直線方程為，且，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)據(jù)點(1.2，2.2)和(4.8，誤差較大，去除后重新求得的回歸直線的斜率為1.2，那么〔〕A．變量與具有正相關關系B．去除后的估計值增加速度變快C．去除前方程為D．去除后相應于樣本點的殘差平方為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意可得原始數(shù)據(jù)中，，由兩個數(shù)據(jù)點(1.2，2.2)和(4.8，7.8)的平均數(shù)為3和5，因此可得到，仍然成立，代入直線方程求得，接著依次判斷選項即可.【詳解】由樣本數(shù)據(jù)點集合，回歸直線方程為，且，得到，去除掉兩個數(shù)據(jù)點(1.2，2.2)和(4.8，7.8)，因為，所以去除掉兩個數(shù)據(jù)點后，，仍然成立，因為直線方程，將，代入求得；故A選項正確；因為，所以B選項錯誤；由上知C選項正確；去除后，當，相應于樣本點的殘差平方為，故D選項正確；應選：ACD.【點睛】一是回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否那么，求出的線性回歸方程毫無意義．二是根據(jù)回歸方程進行預報，僅是一個預報值，而不是真實發(fā)生的值．11．〔多項選擇〕函數(shù)及其導數(shù)，假設存在，使得，那么稱是的一個“巧值點〞．以下函數(shù)中，有“巧值點〞的是〔〕A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用“巧值點〞的定義，逐個求解方程判斷即可【詳解】在A中，假設，那么，那么，這個方程顯然有解，故A符合要求；在B中，假設，那么，即，此方程無解，故B不符合要求；在C中，假設，那么，由，令，〔〕，作出兩函數(shù)的圖像如下圖，由兩函數(shù)圖像有一個交點可知該方程存在實數(shù)解，故C符合要求；在D中，假設，那么，由，可得，故D符合要求．應選：ACD．12．假設數(shù)列滿足，那么稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.在現(xiàn)代物理?準晶體結構，化學等領域，斐波那契數(shù)列都有直接的應用.那么以下結論成立的是〔〕A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義計算，判斷A，由遞推公式判斷BCD．【詳解】由題意，A正確；,B正確；，又，所以，C正確；，D錯．應選：ABC．【點睛】關鍵點點睛：此題考查數(shù)列的遞推公式，解題關鍵是利用遞推公式求數(shù)列的項，對數(shù)列的項進行變形．如BD在變形以最后一項時要注意是哪一項．三、填空題13．從生物學中我們知道，生男生女的概率根本是相等的，某個家庭中先后生了兩個小孩，兩個小孩中有男孩，那么兩個小孩中有女孩的概率為___________.【答案】【分析】求出在兩個小孩中有男孩的情況下兩個小孩的性別情況，再得出兩個小孩中有女孩的情況，即可求出概率.【詳解】由，兩個小孩中有男孩，那么這兩個小孩的性別情況有{男，男}，{男，女}，{女，男}共3種，其中兩個小孩中有女孩的情況有{男，女}，{女，男}共2種，那么兩個小孩中有女孩的概率為.故答案為：.14．將正整數(shù)數(shù)列1，2，3，4，5，...的各項按照上小下大?左小右大的原那么寫成如下的三角形數(shù)表.數(shù)表中的第8行所有數(shù)字的和為___________.【答案】【分析】首先確定第8行的數(shù)字，再進行求和即可.【詳解】根據(jù)數(shù)表可得：第1行共1個數(shù)，第2行共2個數(shù)，第3行共3個數(shù)，，第8行共8個數(shù)，前7行共，所以第8行依次是：29,30,31,32,33,34,35,36；所以第8行所有數(shù)字的和為，故答案為：.15．多項選擇題給出的四個選項中會有多個選項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，局部選對的得3分.假設選項中有3個選項符合題目要求，隨機作答該題時(至少選擇一個選項，最多項選擇三項)，所得的分數(shù)為隨機變量，那么___________.【答案】【分析】可求出總共的選擇有14種，的可能值為0，3，5，求出取不同值時的概率，即可求出均值.【詳解】由題，隨機作答該題時(至少選擇一個選項，最多項選擇三項)，總共的選擇有種，所得的分數(shù)的可能值為0，3，5，那么，，，.故答案為：.16．函數(shù)有最大值，那么實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】當時，的值域為，無最大值，故當時，有最大值，且最大值不小于，即可求出的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)，當時，的值域為，無最大值，故當時，有最大值，且最大值不小于.由，知，當時，在上單調遞增，，令，解得；當時，或，令或，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：當時，的值域為，無最大值，故問題轉化為：當時，有最大值，且最大值不小于是此題的解題關鍵.四、解答題17．等差數(shù)列的公差，且，的前項和為.〔1〕求的通項公式；〔2〕假設、、成等比數(shù)列，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕.【分析】〔1〕根據(jù)題意得出和的方程組，解出這兩個量，然后求解等差數(shù)列的通項公式；〔2〕求出，利用、、成等比數(shù)列，列出方程，即可求解正整數(shù)的值．【詳解】〔1〕因為，解得，因此，；〔2〕，又，，因為、、成等比數(shù)列，所以，即，整理得，，解得.【點睛】此題考查等差數(shù)列的通項公式的計算以及等比數(shù)列定義的應用，考查計算能力，屬于根底題.18．函數(shù)在時有極值為〔1〕求實數(shù)的值；〔2〕求當時，的最大值和最小值.【答案】〔1〕；〔2〕最大值，最小值.【分析】〔1〕求導之后，根據(jù)函數(shù)在時有極值為，所以和，求解得的值，然后分別代入檢驗是否在時有極值；〔2〕由〔1〕知，函數(shù)在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，分別計算出，可得最大值與最小值.【詳解】解：〔1〕由可得又為極值點，所以又極值為，即，那么可得：或當時，，↗極大值↘極小值↗當時，所以在上單調遞增，無極值，綜上.〔2〕由〔1〕知，和時，為增函數(shù)，時，為減函數(shù)，又因為，因此時，最大值，最小值.【點睛】解決此題的關鍵在于可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是，且在左側與右側的符號不同．19．2021年某地在全國志愿效勞信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人．2021年7月份以來，共完成1931個志愿效勞工程，8900多名志愿者開展志愿效勞活動累計超過150萬小時．為了了解此地志愿者對志愿效勞的認知和參與度，隨機調查了500名志愿者每月的志愿效勞時長〔單位：小時〕，并繪制如下圖的頻率分布直方圖．〔1〕求這500名志愿者每月志愿效勞時長的樣本平均數(shù)和樣本方差〔同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表〕；〔2〕由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月效勞時長服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．一般正態(tài)分布的概率都可以轉化為標準正態(tài)分布的概率進行計算：假設，令，那么，且．〔ⅰ〕利用直方圖得到的正態(tài)分布，求；〔ⅱ〕從該地隨機抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿效勞時長超過10小時的人數(shù)，求〔結果精確到0.001〕以及的數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：，．假設，那么．【答案】〔1〕9，1.64；〔2〕〔ⅰ〕0.7734，〔ⅱ〕0.994，4.532.【分析】〔1〕根據(jù)平均數(shù)和方差的公式直接求解即可.

〔2〕〔ⅰ〕由〔1〕可得由題知，，所以，那么可得答案.

〔ⅱ〕〔ⅰ〕知,那么從而可得答案.【詳解】解：〔1〕．．〔2〕〔ⅰ〕由題知，，所以，．所以．〔ⅱ〕由〔ⅰ〕知，可得．．故的數(shù)學期望．【點睛】關鍵點睛：此題考查根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)和方差以及根據(jù)正態(tài)分布求概率和二項分布問題，解答此題的關鍵是將問題“從該地隨機抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿效勞時長超過10小時的人數(shù)〞，轉化為得到，屬于中檔題.20．等差數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，滿足.〔1〕求數(shù)列與的通項公式；〔2〕設，求.【答案】〔1〕，；〔2〕.【分析】〔1〕設公差為，由列式即可求出首項和公差，得出通項公式，利用可得為等比數(shù)列，即可求出通項公式；〔2〕利用錯位相減法可求出.【詳解】〔1〕設數(shù)列的公差為d，那么，解得，所以，對于數(shù)列，當時，，所以.當時，由，即，故{bn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.〔2〕①②①-②得，，.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：〔1〕對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；〔2〕對于結構，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；〔3〕對于結構，利用分組求和法；〔4〕對于結構，其中是等差數(shù)列，公差為，那么，利用裂項相消法求和.21．上饒市正在創(chuàng)立全國文明城市，我們簡稱創(chuàng)文.全國文明城市是極具價值的無形資產(chǎn)和重要城市品牌.創(chuàng)文期間，將有創(chuàng)文檢查人員到學校隨機找學生進行提問，被提問者之間答復以下問題相互獨立、互不影響.對每位學生提問時，創(chuàng)文檢查人員將從規(guī)定的5個問題中隨機抽取2個問題進行提問.某日，創(chuàng)文檢查人員來到校，隨機找了三名同學甲、乙、丙進行提問，其中甲只能答對這規(guī)定5個問題中的3個，乙能答對其中的4個，而丙能全部答對這5個問題.計一個問題答對加10分，答錯不扣分，最終三人得分相加，總分值60分，到達50分以上〔含50分〕時該學校為優(yōu)秀.〔1〕求甲、乙兩位同學共答對2個問題的概率；