2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.7 定積分的簡單應(yīng)用（教師用書）教案 新人教A版選修2-2

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.7定積分的簡單應(yīng)用（教師用書）教案新人教A版選修2-2課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：單位：一、教學(xué)內(nèi)容2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.7定積分的簡單應(yīng)用，主要包括以下內(nèi)容：

1.定積分在幾何中的應(yīng)用，如求平面圖形的面積、曲線圍成的面積等；

2.定積分在物理中的應(yīng)用，如求解變力做功、物體運(yùn)動(dòng)的路程等問題；

3.定積分在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的消費(fèi)者剩余、生產(chǎn)者剩余等。

本節(jié)課將結(jié)合教材實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生理解定積分的物理意義和幾何意義，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。教學(xué)中注重聯(lián)系實(shí)際，讓學(xué)生在實(shí)際問題中感受數(shù)學(xué)的魅力，提高解決問題的能力。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要包括邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析三個(gè)方面。通過學(xué)習(xí)定積分的簡單應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生：

1.運(yùn)用邏輯推理能力，理解定積分的定義及其性質(zhì)，推導(dǎo)出定積分在幾何和物理中的應(yīng)用公式；

2.培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用定積分解決幾何和物理問題；

3.提高數(shù)據(jù)分析能力，通過對(duì)實(shí)例的分析，讓學(xué)生掌握定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用方法，并能對(duì)結(jié)果進(jìn)行合理推測和解釋。

在教學(xué)過程中，注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。三、教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

（1）理解定積分的定義及其性質(zhì)，掌握定積分的計(jì)算方法；

（2）運(yùn)用定積分求解幾何圖形的面積、物理學(xué)中的變力做功等問題；

（3）通過實(shí)例分析，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力。

舉例：以求解曲線圍成的面積為例，重點(diǎn)講解定積分的計(jì)算步驟，強(qiáng)調(diào)積分上下限的確定和被積函數(shù)的選擇。

2.教學(xué)難點(diǎn)

（1）定積分在幾何和物理中的應(yīng)用公式的推導(dǎo)，尤其是積分上下限的確定；

（2）將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，理解定積分在實(shí)際問題中的意義；

（3）對(duì)于定積分結(jié)果的解釋和分析，如物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

舉例：在求解物理學(xué)中的變力做功問題時(shí)，難點(diǎn)在于如何將變力轉(zhuǎn)化為定積分的形式，以及如何確定積分的上下限。此時(shí)，教師應(yīng)通過圖示和實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生理解變力做功與定積分之間的關(guān)系，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。四、教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：通過講解定積分的定義、性質(zhì)和計(jì)算方法，為學(xué)生奠定堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)；

2.討論法：針對(duì)定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，激發(fā)學(xué)生的思考和分析能力；

3.實(shí)驗(yàn)法：利用數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra、MATLAB等）進(jìn)行定積分計(jì)算實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握方法。

教學(xué)手段：

1.多媒體設(shè)備：運(yùn)用PPT、動(dòng)畫等展示定積分的計(jì)算過程和幾何意義，提高學(xué)生的直觀理解；

2.教學(xué)軟件：利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行課堂演示和課后練習(xí)，提高教學(xué)互動(dòng)性和學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；

3.網(wǎng)絡(luò)資源：提供相關(guān)教學(xué)視頻和拓展閱讀材料，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，拓寬視野。五、教學(xué)過程首先，讓我們一起來回顧一下定積分的基本概念。在之前的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道了定積分可以用來求解曲邊圖形的面積，以及物理學(xué)中的一些問題。今天，我們將進(jìn)一步探討定積分在實(shí)際問題中的簡單應(yīng)用。

1.導(dǎo)入新課

（1）通過PPT展示一些實(shí)際問題，如物體在變力作用下的運(yùn)動(dòng)、曲線圍成的圖形面積等，引導(dǎo)學(xué)生思考如何運(yùn)用定積分來解決這些問題。

（2）邀請(qǐng)幾名學(xué)生分享他們對(duì)這些問題的看法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.知識(shí)講解

（1）首先，我們來看定積分在幾何中的應(yīng)用。以曲線圍成的圖形為例，解釋如何確定積分的上下限和被積函數(shù)。

（2）通過圖示和公式推導(dǎo)，講解定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用，如變力做功、物體運(yùn)動(dòng)的路程等。

（3）強(qiáng)調(diào)定積分在解決問題時(shí)的步驟：建立數(shù)學(xué)模型，確定積分公式，計(jì)算定積分。

3.課堂探究

（1）組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，探討以下問題：

a.定積分在幾何和物理問題中的聯(lián)系和區(qū)別是什么？

b.如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為定積分的形式？

c.在求解定積分時(shí)，如何確定積分的上下限？

（2）每個(gè)小組派代表進(jìn)行分享，總結(jié)討論成果。

4.課堂練習(xí)

（1）發(fā)放練習(xí)題，要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成。練習(xí)題包括幾何和物理兩類問題，旨在鞏固所學(xué)知識(shí)。

（2）邀請(qǐng)部分學(xué)生上臺(tái)展示解題過程，講解思路。

（3）針對(duì)學(xué)生的解答，進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和指導(dǎo)，強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn)。

5.知識(shí)拓展

（1）介紹定積分在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的消費(fèi)者剩余、生產(chǎn)者剩余等。

（2）通過實(shí)例分析，讓學(xué)生了解定積分在實(shí)際問題中的廣泛應(yīng)用。

6.總結(jié)反饋

（1）對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)定積分的幾何和物理意義，以及解決實(shí)際問題的方法。

（2）邀請(qǐng)學(xué)生分享學(xué)習(xí)心得，了解他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中遇到的困難和問題。

（3）針對(duì)學(xué)生的反饋，給予針對(duì)性的指導(dǎo)和鼓勵(lì)。

7.課后作業(yè)

（1）布置課后作業(yè)，要求學(xué)生完成一定數(shù)量的定積分計(jì)算題和應(yīng)用題。

（2）鼓勵(lì)學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra、MATLAB等）進(jìn)行實(shí)踐操作，提高計(jì)算能力。六、學(xué)生學(xué)習(xí)效果1.知識(shí)掌握：

-學(xué)生理解并掌握了定積分的定義、性質(zhì)和計(jì)算方法，能夠熟練地運(yùn)用定積分求解幾何圖形的面積。

-學(xué)生能夠?qū)⑽锢韺W(xué)中的變力做功等問題轉(zhuǎn)化為定積分的形式，并正確地確定積分的上下限。

-學(xué)生掌握了定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，能夠?qū)?shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，并利用定積分進(jìn)行求解。

2.思維能力：

-學(xué)生通過小組討論和課堂探究，提高了邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的能力，能夠獨(dú)立分析問題，找到解決問題的思路。

-學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)會(huì)了如何將復(fù)雜問題簡化，逐步培養(yǎng)了解決問題的策略和技巧。

3.實(shí)踐技能：

-學(xué)生通過使用數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra、MATLAB等）進(jìn)行定積分的計(jì)算實(shí)驗(yàn)，提高了數(shù)學(xué)實(shí)踐操作技能。

-學(xué)生在課后作業(yè)和課堂練習(xí)中，通過大量的計(jì)算和實(shí)際問題求解，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)計(jì)算能力和應(yīng)用能力。

4.學(xué)習(xí)態(tài)度：

-學(xué)生對(duì)定積分的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了濃厚的興趣，表現(xiàn)出積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

-學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，愿意主動(dòng)探索、提問和分享，形成了積極向上的課堂氛圍。

5.合作交流：

-學(xué)生在小組討論和課堂分享中，學(xué)會(huì)了傾聽他人意見，提高了團(tuán)隊(duì)合作和交流能力。

-學(xué)生在討論中互相學(xué)習(xí)，互相啟發(fā)，共同解決了許多疑難問題，增強(qiáng)了集體解決問題的能力。

6.自主學(xué)習(xí)：

-學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提高了自主學(xué)習(xí)的能力，能夠獨(dú)立完成課后作業(yè)和拓展閱讀。

-學(xué)生在課后能夠主動(dòng)復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí)，通過自我檢測和總結(jié)，不斷鞏固和提高定積分的應(yīng)用能力。七、反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.在教學(xué)中，我嘗試將實(shí)際問題引入課堂，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用定積分知識(shí)解決具體問題，提高了學(xué)生的應(yīng)用能力。

2.利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行課堂演示和實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在直觀感受中加深對(duì)定積分幾何和物理意義的理解，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（二）存在主要問題

1.在教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)定積分的應(yīng)用仍然感到困惑，特別是在將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型方面。

2.在課堂組織方面，部分學(xué)生的參與度不高，影響了課堂氛圍和教學(xué)效果。

（三）改進(jìn)措施

針對(duì)上述問題，我計(jì)劃進(jìn)行以下改進(jìn)：

1.針對(duì)學(xué)生對(duì)定積分應(yīng)用方面的困惑，我將在今后的教學(xué)中增加更多實(shí)際案例，讓學(xué)生有更多的實(shí)踐機(jī)會(huì)，提高他們解決實(shí)際問題的能力。

2.為了提高課堂參與度，我將調(diào)整教學(xué)方法，如增加小組合作、角色扮演等互動(dòng)環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們更積極地參與到課堂教學(xué)中來。

3.加強(qiáng)課堂監(jiān)控，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并解決他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中遇到的問題，以提高教學(xué)效果。八、重點(diǎn)題型整理八、重點(diǎn)題型整理

1.幾何面積計(jì)算：利用定積分