正方形的性質(zhì)與判定 數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊

第一章特殊平行四邊形3正方形的性質(zhì)與判定初中數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊第1課時正方形的性質(zhì)矩形變正方形一組鄰邊相等菱形變正方形一個角是90°探究新知，經(jīng)歷過程圖中的四邊形都是特殊的平行四邊形.觀察這些特殊的平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？你能總結(jié)出正方形的定義嗎？正方形定義：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.議一議（1）正方形是矩形嗎？是菱形嗎？（2）你認(rèn)為正方形具有哪些性質(zhì)？與同伴交流.正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形與菱形的所有性質(zhì).你能利用下圖理清下面四個特殊的四邊形之間的關(guān)系嗎？有一個角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角相關(guān)圖形性質(zhì)的關(guān)系平行四邊形的性質(zhì)對邊平行且相等對角相等對角線互相平分菱形的性質(zhì)四條邊相等對角線互相垂直四個角都是直角對角線相等矩形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)定理：正方形的四個角都是直角，四條邊相等.定理：正方形的對角線相等并且互相垂直平分.AB=BC=CD=DA∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°AO=BO=CO=DO，AC⊥BD想一想正方形有幾條對稱軸？正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.正方形有4條對稱軸.

例1如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長線上一點(diǎn)，且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）.∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.

例1如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長線上一點(diǎn)，且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由.（2）延長BE交DF于點(diǎn)M.∵△BCE≌△DCF.∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°.∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.議一議平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有么關(guān)系？你能用一個你喜歡的方式直觀地示它們之間的關(guān)系嗎？與同伴交流.平行四邊形矩形菱形正方形如圖，在正方形ABCD

中，對角線AC

與BD

相交于點(diǎn)O，圖中有多少個等腰三角形？【選自教材P21隨堂練習(xí)】鞏固練習(xí)，深化提高解：圖中共有8個等腰三角形.△OAB、△OBC、△OCD、△ODA、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB2.如圖，在正方形ABCD

中，點(diǎn)F為對角線AC

上一點(diǎn)，

連接BF,DF。你能找出圖中的全等三角形嗎？選擇其

中一對進(jìn)行證明.解：圖中的全等三角形共有3對，分別是△ADC

與△ABC,△FCD與△FCB,△FAD與△FAB．【選自教材P21隨堂練習(xí)】2.如圖，在正方形ABCD

中，點(diǎn)F為對角線AC

上一點(diǎn)，

連接BF,DF。你能找出圖中的全等三角形嗎？選擇其

中一對進(jìn)行證明.選擇△FAD≌△FAB證明，過程如下：∵正方形ABCD,∴AD=AB,∠DAF=∠BAF,又∵AF=AF，∴△FAD≌△FAB.【選自教材P21隨堂練習(xí)】【選自教材P22習(xí)題1.7第1題】3.對角線長為2cm的正方形，邊長是多少？解：∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°△ABC是等腰直角三角形，AB2+BC2=AC2=4，∴AB=【選自教材P22習(xí)題1.7第2題】4.如圖，四邊形ABCD

是正方形，△CBE是等邊三角形，

求∠AEB

的度數(shù).證明:∵△BEC是等邊三角形，∴BE=EC=BC=AB，∴△ABE

是等腰三角形，∴∠ABE=90°-60°=30°∴∠AEB==75°【選自教材P22習(xí)題1.7第3題】5.如圖，A，B，C，D

四家工廠分別坐落在正方形城鎮(zhèn)的四

個角上.倉庫P

和Q

分別位于AD和DC

上，且PD=QC.

證明兩條直路BP=AQ且BP⊥AQ.證明:如圖,AQ

與BP

交于點(diǎn)O．在正方形ABCD

中,∵PD

＝QC,∴DQ＝AP．又∵AB＝AD,∠D

＝∠PAB＝90°,∴△ABP≌△DAQ．∴BP

＝AQ,∠DAQ＝∠ABP

．∵∠ABP＋∠APB＝90°＝∠DAQ＋∠APB．∴∠AOP

＝90°．∴BP

＝AQ且BP⊥AQ．6.在一個正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條

直的小路將花壇分成大小、形狀完全相同的四部分（不考慮道路的寬度）.你有幾種方法？【選自教材P22習(xí)題1.7第4題】課堂小結(jié)這節(jié)課你們都學(xué)會了哪些知識？狀元成才路正方形的定義正方形的性質(zhì)正方形的對角線相等并且互相垂直平分.有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形，叫做正方形.正方形的四個角都是直角，四條邊相等.第一章特殊平行四邊形3正方形的性質(zhì)與判定初中數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊第2課時正方形的判定創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課正方形的定義正方形的性質(zhì)正方形的對角線相等并且互相垂直平分.有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形，叫做正方形.正方形的四個角都是直角，四條邊相等.將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開.怎樣剪才能剪出一個正方形？探究新知，經(jīng)歷過程提示：剪口線與折痕成45°角即可。有一個角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角對角線相等對角線垂直如何判定一個四邊形是正方形，一般思考方法是什么？判斷四邊形是正方形有哪些方法？1.先說明它是平行四邊形，再說明有一組鄰邊相等，有一個角是直角.（定義法）2.先說明它是矩形，再說明這個矩形有一組鄰邊相等.3.先說明它是菱形，再說明這個菱形有一個角是直角.定理：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.已知：ABCD

是矩形，且AB=BC，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.定理：對角線互相垂直的矩形是正方形.已知：ABCD

是矩形，AC

⊥

BD，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD又∵AC⊥

BD，∴△AOB≌△AOD（SAS）∴AB=AD∴ABCD是正方形（正方形的定義）.定理：有一個角是直角的菱形是正方形.已知：ABCD

是菱形，∠A=90°，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.定理：對角線相等的菱形是正方形.已知：ABCD

是菱形，AC=BD，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形對角線互相垂直）又∵AC=BD

，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定義）.

例2

已知：如圖，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求證：四邊形BECF

是正方形.證明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四邊形BECF

是平行四邊形.∵四邊形ABCD

是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°.∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC.∴□BECF

是菱形（菱形的定義）.在△EBC

中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°.∴菱形BECF

是正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）.

例2

已知：如圖，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求證：四邊形BECF

是正方形.三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．如圖，在△ABC中，EF為△ABC的中位線，①若∠BEF=30°，則∠A=______.②若EF=8cm,則AC=______.你還記得三角形的中位線定理嗎？30°16cm一般四邊形的中點(diǎn)四邊形如圖，任意畫一個四邊形，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個新四邊形，這個新四邊形的形狀有什么特征？任意四邊形的中點(diǎn)四邊形

是平行四邊形.幾何畫板.GSP

如果四邊形

ABCD

變?yōu)樘厥獾乃倪呅?，中點(diǎn)四邊形

EFGH會有怎樣的變化呢？原四邊形中點(diǎn)四邊形一般四邊形平行四邊形平行四邊形？矩形？菱形？正方形？平行四邊形的中點(diǎn)四邊形平行四邊形的中點(diǎn)四邊形會是什么形狀？平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.你能試著證明這個結(jié)論嗎？（提示：連接AC、BD）幾何畫板.GSP矩形的中點(diǎn)四邊形矩形的中點(diǎn)四邊形會是什么形狀？矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形.你能試著證明這個結(jié)論嗎？幾何畫板.GSP已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H

分別是矩形ABCD

各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH

為菱形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB

和BC邊中點(diǎn)，∴EF∥AC且EF=AC，同理可證HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且FG=BD.∴四邊形EFGH為平行四邊形.又∵四邊形ABCD

是矩形∴AC=BD（矩形的對角線相等），∴EF=EH∴四邊形EFGH是菱形（菱形的定義）菱形的中點(diǎn)四邊形菱形的中點(diǎn)四邊形會是什么形狀？菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形.幾何畫板.GSP你能試著證明這個結(jié)論嗎？已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H

分別是菱形ABCD

各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH

為矩形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB

和BC邊中點(diǎn)，∴EF∥AC，同理可證HG∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四邊形EFGH，PFQO為平行四邊形.又∵四邊形ABCD

是菱形∴AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四邊形EFGH是矩形（矩形的定義）正方形的中點(diǎn)四邊形正方形的中點(diǎn)四邊形會是什么形狀？幾何畫板.GSP原四邊形中點(diǎn)四邊形一般四邊形平行四邊形平行四邊形平行四邊形矩形菱形菱形矩形正方形？先猜一猜，再證明.已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H

分別是正方形ABCD

各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH

為正方形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB

和BC邊中點(diǎn)，∴EF∥AC且EF=AC，同理可證HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且FG=BD.∴四邊形PFQO為平行四邊形.又∵四邊形ABCD

是正方形，∴AC=BD（正方形的對角線相等）

AC⊥BD（正方形的對角線互相垂直），∴EF=FG=HG=EH，∠1=90°.∴四邊形EFGH是菱形（四邊相等的四邊形是菱形），∠2=90°.∴四邊形EFGH

為正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）.已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H

分別是正方形ABCD

各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH

為正方形.思考：決定中點(diǎn)四邊形形狀的關(guān)鍵因素是什么？對角線不垂直，不相等平行四邊形對角線不垂直，不相等平行四邊形對角線相等菱形對角線垂直矩形對角線相等且垂直正方形歸納

決定中點(diǎn)四邊形

EFGH

的形狀的主要因素是原四邊形

ABCD的對角線的長度和位置關(guān)系。原四邊形對角線關(guān)系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直中點(diǎn)四邊形形狀平行四邊形菱形矩形正方形已知：如圖，E，F(xiàn)

是正方形ABCD

的對角線BD

上的兩點(diǎn)，且BE=DF.求證：四邊形AECF

是菱形.【選自教材P25習(xí)題1.8第2題】鞏固練習(xí)，深化提高證明:在正方形ABCD

中,BE

＝DF,易證△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD,即CE

＝AE

＝AF

＝FC,∴四邊形AECF是菱形．2.如圖，在正方形ABCD

中，E，F(xiàn)，G，H

分別在它的

四條邊上，且AE=BF=CG=DH.四邊形EFGH是

什么特殊四邊形？你是如何判斷的？解：四邊形EFGH

是正方形.∵在正方形ABCD

中，AE=BF=CG=DH，易證△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE,即EH

＝HG＝GF＝FE,且∠AHE＝∠DGH

．∵∠DGH

＋∠DHG＝