2022-2023學(xué)年人教A版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講義拓展一：利用空間向量計(jì)算空間中距離的四種類型(詳解版)

拓展一：利用空間向量計(jì)算空間中距離的四種類型

三目標(biāo)導(dǎo)航

空間距離包括空間中點(diǎn)到點(diǎn)的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線與直線之間的距離、直線到

平面的距離、平面到平面的距離.有些空間距離問題較為復(fù)雜，僅根據(jù)立體幾何中的公式、定理、性質(zhì)，很

難快速求得空間距離.此時(shí)，我們可根據(jù)立體幾何圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得各個(gè)點(diǎn)

的坐標(biāo)、線段的方向向量、平面的法向量，便可快速求得空間距離.

善,高頻考點(diǎn)

、工知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1空間中距離的定義及分類

1、定義

(1)點(diǎn)到點(diǎn)的距離，是指兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度.

(2)點(diǎn)到直線的距離，是指點(diǎn)與直線之間垂線段的長(zhǎng)度.

(3)兩條平行直線之間的距離，是指其中一條直線上任意一點(diǎn)與另一直線之間垂線段的長(zhǎng)度.

(4)點(diǎn)到平面的距離，是指點(diǎn)與平面之間垂線段的長(zhǎng)度.

(5)相互平行的直線與平面之間的距離，是指直線上任意一點(diǎn)與平面之間垂線段的長(zhǎng)度.

(6)兩個(gè)平行平面之間的距離，是指其中一個(gè)平面上任意一點(diǎn)與另一平面之間垂線段的長(zhǎng)度.

(7)異面直線之間的距離，是指兩條異面直線之間公垂線段的長(zhǎng)度.

注：①和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線;②公垂線與兩條直線相交的點(diǎn)所形

成的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段；③兩條異面直線公垂線段的長(zhǎng)度叫做這兩條異面直線的距離.

④公垂線段是異面直線上任意兩點(diǎn)的最小距離

2、分類情況(1)點(diǎn)到點(diǎn)的距離；

(2)點(diǎn)到直線的距離，包括點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線之間的距離；

(3)點(diǎn)到平面的距離，包括點(diǎn)到平面的距離、相互平行的直線與平面之間的距離以及兩個(gè)平行平面之間的

距離；

(4)異面直線之間的距離.

知識(shí)點(diǎn)2利用空間向量計(jì)算空間中距離的四種類型及方法

(1)點(diǎn)到點(diǎn)的距離

方法：由已知兩點(diǎn)分別作為起點(diǎn)和終點(diǎn)得出向量，計(jì)算該向量的模，即為點(diǎn)到點(diǎn)的距離

具體步驟：①確定點(diǎn)A為起點(diǎn)，點(diǎn)B為終點(diǎn)，得出向量A分；

②計(jì)算|通|：

③距離d=|而|

(2)點(diǎn)到直線的距離

方法1：過點(diǎn)P向直線/作垂線，垂足為點(diǎn)Q,計(jì)算I及I即為點(diǎn)P到直線/的距離

具體步驟：①在直線上作點(diǎn)Q,使得PQ_L/；②作出可；③計(jì)算I而I；④距離"=|無|

P

--------3----------/一

。方法2：作直線上的一個(gè)方向向量AB,計(jì)算AP在方向向量AB上的投影，

在通過勾股定理計(jì)算出尸。的長(zhǎng)度，即為點(diǎn)尸到直線/的距離

具體步驟：①在直線上取定兩點(diǎn)A,B,得出向量4后，AP-,

②計(jì)算A戶在AA上的投影竺型；③利用勾股定理計(jì)算|可|；④距離"=|而|

一\AB\

點(diǎn)到平面的距離

QB

方法：如圖，在平面內(nèi)取點(diǎn)A得出向量/，計(jì)算平面的一個(gè)法向量〃，再計(jì)算正在〃上的投影的絕對(duì)值，

即為點(diǎn)到平面的距離具體步驟：①在平面內(nèi)取點(diǎn)A的出向量而；②利用平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量,

AP^ARAP-AR

計(jì)算出平面的一個(gè)法向量〃；③計(jì)算而在〃上的投影:f;④”=|I

\AB\

(4)異面直線之間的距離

如圖，設(shè)4,4是異面直線，〃是4,4的公垂線段A3的方向向量，又分別是4,4上的任意兩點(diǎn)，則而

在〃上投影的絕對(duì)值即為6到4之間的距離.

具體步驟：①在直線4上取點(diǎn)A,c,在直線上取點(diǎn)B,D;②通過恁和8萬計(jì)算公垂

線段的方向向量〃；③計(jì)算而在〃上的投影生二；④1=|邁二|

1?11?1

注：在立體幾何中，求點(diǎn)到平面的距離、異面直線的距離、直線到平面的距離

也句,其中兩點(diǎn)A,B分別在

（此時(shí)直線與平面不相交）、兩個(gè)平行平面的距離有一個(gè)統(tǒng)一的公式4=

兩個(gè)圖形上，〃指平面的一個(gè)法向量（求兩條異面直線的距離時(shí)，〃與這兩條異面直線的方向向量均垂直）.

考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一點(diǎn)到點(diǎn)的距離

【例1-1】如圖，正方體A8CD-ABCQ的棱長(zhǎng)為1,M是棱A4的中點(diǎn)，。是8。的中點(diǎn).求證：QW分

別與異面直線AA，8口垂直，并求0M的長(zhǎng).

【例1-2】如圖，正方體ABC。-A4GR的棱長(zhǎng)等于4,點(diǎn)E是棱。。的中

點(diǎn)?

(1)求直線AE與直線S.C所成的角余弦值;

(2)若底面A8CD上的點(diǎn)尸滿足尸。，平面AEG，求線段OP的長(zhǎng)度.

考點(diǎn)二點(diǎn)到直線的距離

【例2-1】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(1,2,0),8(0,1,0),P(2,2,2),則p到直線A8的距離為

變式1：已知在正方體ABCD-A罔CQ中，棱長(zhǎng)為2,E為四的中點(diǎn).則點(diǎn)E到直線A2的距離為一.

變式2：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為矩形，側(cè)棱底面ABC。，AB=5BC=l,PA=2,

E為P￡)的中點(diǎn).

(1)求異面直線AC與PB間的夾角的余弦值:

(2)在側(cè)面叢8找一點(diǎn)N,找平面尸AC,并求出N到AC的距離.

變式3：如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正方形ABAC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且。E=及,

ED//AF且NDAF=90°.

⑴求和面BEF所成的角的正弦;

(2)求點(diǎn)C到直線8。的距離；

變式4：如圖，正方形ABC。的中心為。，四邊形08防為矩形，平面O8EF，平面ABC。，點(diǎn)G為A8的

中點(diǎn),

(1)求證：EG//平面APF；

(2)求二面角O-EF—C的正弦值；

(3)求點(diǎn)。到直線EG的距離；

考點(diǎn)三點(diǎn)到平面的距離

【例3-1］已知經(jīng)過點(diǎn)A(l,2,3)的平面a的法向量為3=,則點(diǎn)尸(-2,3,1)到平面a的距離為()

A.GB.2C-2&D.2百

【例3-2】如圖，已知四棱錐P-ABCZ)中，PA_L平面ABC。，AD//BC,ADLCD,且A8_LAC,

AB=AC=PA=2,E是BC的中點(diǎn).

(1)求異面直線AE與PC所成角的大小;

(2)求點(diǎn)D到平面PAC的距離.

變式1：在二棱柱ABC-AAG中,平面ACGA，平面ABC,8A_LAC,四邊形ACC,A,為菱形,且ZA,AC=60°,

E,F分別是棱8C,四的中點(diǎn)，4C=2A8=2.

(1)求異面直線AB和E尸所成角的余弦值;

(2)求G到平面AEF的距離.

變式2：如圖，三棱柱A8C-ABC中，面筋。_1面44,608_14。,441=48=4。=2,ZA,AC=60.過

AA的平面交線段5c于點(diǎn)E(不與端點(diǎn)重合)，交線段8c于點(diǎn)尸.

(1)求證：四邊形AAE尸為平行四邊形;

(2)若8到平面AFC,的距離為0,求直線AG與平面"C所成角的正弦值.

變式3：如圖，在四棱錐P-A3CZ)中，AD^BC,ZADC=ZPAB=9Q°,BC=8=；4。=1,￡：為邊4。的

中點(diǎn)，異面直線以與以＞所成的角為90。.

⑴在直線抬上找一點(diǎn)用，使得直線CM//平面P8E,并求嘿的值;

(2)若直線CD到平面PBE的距離為乎，求平面P8E與平面夾角的余弦值.

考點(diǎn)四異面直線之間的距離

【例4-1］定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在長(zhǎng)

方體ABC。-48c〃中，AB=\,BC=2,M=3,則異面直線AC與BC,之間的距離是()A.4

B.立C.漁D.9

767

變式1:如圖所示的多面體是由底面為A3CD的長(zhǎng)方體被截面4EFG所截而得，其中A8=4,BC=1,BE=3,

CF=4,若如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.

(1)求異面直線EF與AO所成的角:

(2)求點(diǎn)C到截面田G的距離.

變式2：如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體AB8-ABCQ中，M為4G的中點(diǎn)，E為人￡與。陽的交點(diǎn)，F(xiàn)為BM

與cq的交點(diǎn).

⑴求證：BR^AG，BRJ.BC.

(2)求證：EF是異面直線AG與B。的公垂線段.

⑶求異面直線AG與8c的距離.

分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1、長(zhǎng)方體ABCO-ABCR中，/W=A￡>=2,。。=4,則點(diǎn)B到平面的距離為

2、如圖，在正方體AB8-ABCA中，棱長(zhǎng)為2,E為的中點(diǎn).

⑴求BG到平面A。E的距離.

(2)若A"面AEQ=M,求空.

CM

3、設(shè)在直三棱柱ABC-A8C中，AB=AC=AA]=2,ABAC=90°,E,F依次為CG，BC的中點(diǎn).

(1)求異面直線a&EF所成角。的大小(用反三角函數(shù)表示)

(2)求點(diǎn)C到平面AEF的距離.

4、在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=AAt=2,ZBAC=90,點(diǎn)E,尸分別為BC,CC,的中點(diǎn).

AB,±EF.

(2)求直線AB｝與平面AEF所成的角；

⑶求點(diǎn)4到平面AEF的距離.

5、在如圖所示的幾何體中，四邊形A3Q)為矩形，AFlYffiABCD,EF//AB,")=2,AB=AF=2EF=l,

點(diǎn)P為棱。尸的中點(diǎn).//卜\

BC

(1)求證：8尸〃平面APC；

(2)求直線?！昱c平面8b所成角的正弦值；

(3)求點(diǎn)E到平面APC的距離.

6、如圖，在四棱錐P-ABC￡＞中，以，平面A8CD,AC±AD,AB1BC,ZBAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

P

\\

/：、'\(1)求4到平面PCZ)的距離；

D

(2)求平面PAC與平面PC。夾角的余弦值；

(3)設(shè)E為棱3上的點(diǎn)，滿足異面直線8E與。。所成的角為30。求AE的長(zhǎng).

7、如圖，AABC內(nèi)接于。。，A8為。。的直徑，45=10,BC=6,8=8,且CDJ_平面ABC,E為AD

D

⑴求證：平面BCEJ_平面的＞；

⑵求異面直線BE與AC所成的角；

(3)求點(diǎn)A到平面BCE的距離.

8、在直三棱柱ABC-A4G中，ABVAC,AB=AC=2,AA=4,點(diǎn)。是8C的中點(diǎn).

(1)求異面直線AG所成角的余弦值;

(2)求直線AB|與平面GA。所成角的正弦值;

(3)求異面直線48與A/)的距離.

9、如圖，在三棱柱ABC-A4G中，平面ABC,AB=2y/3,AC=2BC=4,且。為線段AB的中點(diǎn),

BCLA.D.

(2)若B｝到直線AC的距離為M,求平面與AC與平面\CD夾角的余弦值.

題組B能力提升練

1、平行四邊形ABC。所在的平面與直角梯形ABE尸所在的平面垂直，BE^AF,AB=8E=；AF=1,且

=為"的中點(diǎn).

(1)求證：ACYEF；

BE

(2)求點(diǎn)P到平面BCE的距離；

⑶若直線EF上存在點(diǎn)H,使得直線CR3H所成角的余弦值為半，求直線與平面ADF成角的大小.

2、如圖，梯形ABC。，A8EF所在的平面互相垂直，AB\\CD,AB\\EF,CD=EF=\,AB=AD=AF=2,

rr

ZBAD=ZBAF=-,點(diǎn)M為棱8E的中點(diǎn).

⑴求證：平面ABC。；

(2)求二面角C-OF-8的余弦值；

⑶判斷直線AM與平面。CE尸是否相交，如果相交，求出A到交點(diǎn)H的距離；如果不相交，求直線AM到

平面。CEF的距離.

3、如圖，在四棱柱ABC￡)-AB|CQ中，側(cè)棱例"L底面A8CRA8J_403=1,40=44,=2,AD=CD=6，

且￡是。Q的中點(diǎn).

⑴求點(diǎn)。倒平面做C的距離;

(2)設(shè)尸為棱A蜴上的點(diǎn)，若直線EF和平面ABC。所成角的正弦值為。，求線段AF的長(zhǎng).

4、如圖，在四棱錐/M8CZ)中，底面ABC。為矩形，側(cè)棱融團(tuán)底面48C。，AB=6,8c=1,PA=2,E為

P。的中點(diǎn).

(1)求異面直線AC與PB間的距離;

(2)在側(cè)面R18內(nèi)找一點(diǎn)N,使平面PAC,并求出N到48和AP的距離.

___…JT

5、如圖，在四棱錐P-AB8中，底面ABCZ)為菱形，且AB=2,ZABC=2乙BAD,ZPDC=-,點(diǎn)M為

棱OP的中點(diǎn).

(1)在棱8C上是否存在一點(diǎn)N,使得CM〃平面PAN,并說明理由;

(2)若P8_LAC,二面角。的余弦值為逅時(shí)，求點(diǎn)A到平面BCM的距離.

6

題組C培優(yōu)拔尖練1、【多選】如圖，四棱錐中，底面ABCD是正方形，54，平面回。,&4=48,

0,尸分別是ACSC的中點(diǎn)，M是棱SO上的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是(

OM1PA

B.存在點(diǎn)M,使。M//平面SBC

C.存在點(diǎn)M,使直線0M與AB所成的角為30。

D.點(diǎn)M到平面ABCD與平面SAB的距離和為定值

2、如圖，在三棱錐S-ABC中，SA=SB=BC=AC=y[5,SC=AB=2,E,尸分別為A8,SC的中點(diǎn).

s

F

，弋(1)求直線BF與平面ABC所成角的正弦值；

B

(2)給出以下定義：與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，公垂線被這兩條異

面直線截取的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段.兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條異面

直線的距離.根據(jù)以上定義可知，公垂線段的長(zhǎng)度也可以看作是兩條異面直線上任意兩點(diǎn)連線的方向向量

在公垂線的方向向量上的投影向量的長(zhǎng)度.

請(qǐng)根據(jù)以上定義和理解，求異面直線SE,〃尸的距離d.

3、在三棱錐S—ABC中，SA=BC=2,SC=AB=0SB=AC=石.記BC的中點(diǎn)為M,弘的中點(diǎn)為N,

則異面直線AM與CN的距離為.

4、如圖，將邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC沿與邊8c平行的直線E尸折起，使得平面但'_L平面8CEF,。為

E尸的中點(diǎn).

(1)求平面尸與平面AE3所成角的余弦值;

(2)若8E1平面AOC,試求折痕E尸的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)°到平面A8C距離最大時(shí)，求折痕EF的長(zhǎng).

拓展一：利用空間向量計(jì)算空間中距離的四種類型

三目標(biāo)導(dǎo)航

空間距離包括空間中點(diǎn)到點(diǎn)的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線與直線之間的距離、直線到

平面的距離、平面到平面的距離.有些空間距離問題較為復(fù)雜，僅根據(jù)立體幾何中的公式、定理、性質(zhì)，很

難快速求得空間距離.此時(shí)，我們可根據(jù)立體幾何圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得各個(gè)點(diǎn)

的坐標(biāo)、線段的方向向量、平面的法向量，便可快速求得空間距離.

善,高頻考點(diǎn)

、工知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1空間中距離的定義及分類

1、定義

(1)點(diǎn)到點(diǎn)的距離，是指兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度.

(2)點(diǎn)到直線的距離，是指點(diǎn)與直線之間垂線段的長(zhǎng)度.

(3)兩條平行直線之間的距離，是指其中一條直線上任意一點(diǎn)與另一直線之間垂線段的長(zhǎng)度.

(4)點(diǎn)到平面的距離，是指點(diǎn)與平面之間垂線段的長(zhǎng)度.

(5)相互平行的直線與平面之間的距離，是指直線上任意一點(diǎn)與平面之間垂線段的長(zhǎng)度.

(6)兩個(gè)平行平面之間的距離，是指其中一個(gè)平面上任意一點(diǎn)與另一平面之間垂線段的長(zhǎng)度.

(7)異面直線之間的距離，是指兩條異面直線之間公垂線段的長(zhǎng)度.

注：①和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線;②公垂線與兩條直線相交的點(diǎn)所形

成的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段；③兩條異面直線公垂線段的長(zhǎng)度叫做這兩條異面直線的距離.

④公垂線段是異面直線上任意兩點(diǎn)的最小距離

2、分類情況(1)點(diǎn)到點(diǎn)的距離；

(2)點(diǎn)到直線的距離，包括點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線之間的距離；

(3)點(diǎn)到平面的距離，包括點(diǎn)到平面的距離、相互平行的直線與平面之間的距離以及兩個(gè)平行平面之間的

距離；

(4)異面直線之間的距離.

知識(shí)點(diǎn)2利用空間向量計(jì)算空間中距離的四種類型及方法

(1)點(diǎn)到點(diǎn)的距離

方法：由已知兩點(diǎn)分別作為起點(diǎn)和終點(diǎn)得出向量，計(jì)算該向量的模，即為點(diǎn)到點(diǎn)的距離

具體步驟：①確定點(diǎn)A為起點(diǎn)，點(diǎn)B為終點(diǎn)，得出向量A分；

②計(jì)算|通|：

③距離d=|而|

(2)點(diǎn)到直線的距離

方法1：過點(diǎn)P向直線/作垂線，垂足為點(diǎn)Q,計(jì)算I及I即為點(diǎn)P到直線/的距離

具體步驟：①在直線上作點(diǎn)Q,使得PQ_L/；②作出可；③計(jì)算I而I；④距離"=|無|

P

--------3----------/一

。方法2：作直線上的一個(gè)方向向量AB,計(jì)算AP在方向向量AB上的投影，

在通過勾股定理計(jì)算出尸。的長(zhǎng)度，即為點(diǎn)尸到直線/的距離

具體步驟：①在直線上取定兩點(diǎn)A,B,得出向量4后，AP-,

②計(jì)算A戶在AA上的投影竺型；③利用勾股定理計(jì)算|可|；④距離"=|而|

一\AB\

點(diǎn)到平面的距離

QB

方法：如圖，在平面內(nèi)取點(diǎn)A得出向量/，計(jì)算平面的一個(gè)法向量〃，再計(jì)算正在〃上的投影的絕對(duì)值，

即為點(diǎn)到平面的距離具體步驟：①在平面內(nèi)取點(diǎn)A的出向量而；②利用平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量,

AP^ARAP-AR

計(jì)算出平面的一個(gè)法向量〃；③計(jì)算而在〃上的投影:f;④”=|I

\AB\

(6)異面直線之間的距離

如圖，設(shè)4,4是異面直線，〃是4,4的公垂線段A3的方向向量，又分別是4,4上的任意兩點(diǎn)，則而

在〃上投影的絕對(duì)值即為6到4之間的距離.

具體步驟：①在直線4上取點(diǎn)A,c,在直線上取點(diǎn)B,D;②通過恁和8萬計(jì)算公垂

線段的方向向量〃；③計(jì)算而在〃上的投影生二；④1=|邁二|

1?11?1

注：在立體幾何中，求點(diǎn)到平面的距離、異面直線的距離、直線到平面的距離

也句,其中兩點(diǎn)A,B分別在

（此時(shí)直線與平面不相交）、兩個(gè)平行平面的距離有一個(gè)統(tǒng)一的公式4=

兩個(gè)圖形上，〃指平面的一個(gè)法向量（求兩條異面直線的距離時(shí)，〃與這兩條異面直線的方向向量均垂直）.

考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一點(diǎn)到點(diǎn)的距離

【例1-1】如圖，正方體A8CD-ABCQ的棱長(zhǎng)為1,M是棱A4的中點(diǎn)，。是8。的中點(diǎn).求證：QW分

別與異面直線AA，8口垂直，并求0M的長(zhǎng).

/1'

4

【解析】

M

%U一------

AB

如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則。（m），M（i，Q；），A（i，O'O）,A（i，o，i），B（i,i,o）,q（o,o,i）,

---11——.——.

所以O(shè)M=（不,一5,0）,的=（0,0,1）,BR=（-1,-1,1）,

因?yàn)榧凑?0,訴.西=0,

所以O(shè)M_LAVOW

【例1-2】如圖，正方體ABC。-AMGR的棱長(zhǎng)等于％點(diǎn)E是棱。。的中點(diǎn).

(1)求直線AE與直線8c所成的角余弦值;

(2)若底面A8C3上的點(diǎn)?滿足PQ1平面REG，求線段OP的長(zhǎng)度.

【解析】⑴如圖以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D4,￡)C,OA為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

貝！］A(4,0,4),E(0,0,2),B,(4,4,4),C(0,4,0),

所以戲=(T.0,-2),耳C=(-4.0,T),

設(shè)直線AE與直線8c所成的角為e(0,

星包I243M

貝［］cos0=

14sH鴕「2石*4a-10,

(2)假設(shè)在底面ABC。上存在點(diǎn)P,使得PRJ?平面AEG，設(shè)P(a,A,0),

因?yàn)镚(0,4,4),0(0,0,4),

所以隔=(Y,4,0),匿=(0,4,2),即=?。,^),

由麻_L前，郎_L羽得，郎?而=0,印乓=0,

-4a+4b=0/、

即4,-8=0*解得〃=2斤2,即相,2,。)，

所以而=(2,2,0),|DP|=V22+22+02=2>/2,

故線段。尸的長(zhǎng)度為2立.

考點(diǎn)二點(diǎn)至！j直線的距離【例2-1】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(l,2,0)，W0』,0),P(2,2,2),貝！|戶至

直線A8的距離為

【解析】依題意得通=(TTO),麗=(1,0,2)

則P到直線AB的距離為4=，而2

故答案為：孚

變式1:已知在正方體ABC。-A4CQ中，棱長(zhǎng)為2,E為84的中點(diǎn).則點(diǎn)E到直線AQ的距離為.

【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

則42,0,0),刀(0,0,2),￡(2,2,1),故A6=(-2,0,2),AZ=(0,2/)，

—>—?

AD?AE2__>/10

..cosND、AE=-2^}——-^―

瓜.亞-10'

\AD}\^\AE\

2

sinND\AE=Jl-cosZDtAE=,

???點(diǎn)E到直線4。的距離為|AE|-sinZD.AE=石=羋

故答案為：孚

變式2：如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面A8CQ為矩形，側(cè)棱PA,底面ABC。，AB=6BC=\,PA=2,

E為PO的中點(diǎn).

(1)求異面直線AC與所間的夾角的余弦值：

(2)在側(cè)面以8找一點(diǎn)N,找NEJ_平面PAC,并求出N到AC的距離.

【解析】(1)分別以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP為x、y、z建立空間直角坐標(biāo)系.

可得8(6,0,0),C(在1,0),可OJO),P(0,0,2),

MMAC=(V3,1,0),方=(也,0,-2),設(shè)衣與麗的夾角為。，有：

八ACPB33不3、萬

cos6

=即.網(wǎng)=￡"=工"所以異面直線AC與PB間的夾角的余弦值為詈

(2)由于N點(diǎn)在面R記中，故設(shè)其坐標(biāo)為N*,0,z).

則詆=\x,g,I-z).由Nfl面PAC得：

MEAP=2(z-l)=0

NEAC=-^3x+-=0

2

所以而=,令麗與祕(mì)得夾角為夕

AN-ACV391-----------------口而

則cosO=2?sin?=Jl-cos,。=----

2652

因此N到AC的距離/i=|^V|-sin6?=

變式3：如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正方形A3尸C和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且=

ED//AF且/ZMF=90°.

(1)求8。和面3￡F所成的角的正弦;

(2)求點(diǎn)C到直線8。的距離；

【解析】(1)因?yàn)锳C、AD.A3兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系,

則8(2,0,0),0(0,0,2),￡(1,1,2),尸(2,2,0),C(0,2,0),則

麗=(2,0,-2),B￡=(-l,l,2),BF=(0,2,0)

設(shè)平面的法向量”=(x,y,z),

則爆二V令z=L則2,尸。，所以―

2.2+0-2x/10

向量麗和?=(2,0,1)所成角的余弦為

MR>/22+12722+(-2)2Io",

即8。和面8砂所成的角的正弦值為畫.

10

(2)因?yàn)辂?(2,0,-2),就=(-2,2,0),所以由沅=2x(-2)+0x2+0x(_2)=Y,同=2夜，困=2后,

所以點(diǎn)C到直線的距離d=J前/一=#

變式4：如圖，正方形ABCD的中心為。，四邊形O8E尸為矩形，平面平面ABC。，點(diǎn)G為AB的

中點(diǎn)，AB=BE=2.

(1)求證：￡G〃平面ADF;

CD

(2)求二面角O-EF-C的正弦值；

(3)求點(diǎn)。到直線EG的距離；

【解析】(1)證明：取A。的中點(diǎn)/,連接/7,GI,

因?yàn)樗倪呅蜲3E尸為矩形，

則EF//OB且EF=OB,

因?yàn)镚,/分別是AB,A。的中點(diǎn)，則G///%)且G/=；BC,

又。是正方形ABC。的中心，

則08=38。，

所以EF//GIS.EF=GI,

則四邊形EF1G是平行四邊形,

故EG//FI,

又尸/u平面4)尸，EG(Z平面4)「，

故￡G//平面ADF;

(2)解：以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則網(wǎng)0,-60）,C（V2,O,O）,￡（0,-V2,2）,*0,0,2）,所

以方=（0,夜,0）,CF=（-72,0,2）,

設(shè)平面CEF的法向量為"=(x,y,z),

n-EF=0__二2z=。'不妨令則""M，

則—,即

n-CF=o

因?yàn)?C，平面OEF,

則平面O所的一個(gè)法向量為而=（1,0,0）,

m-n=①=逅

所以卜=j,則二面角O-￡F-C的正弦值為

!||n83"3'

（3）解：因?yàn)槠撸?,一夜,2）,D（0,V2,0）,G-T^T'7

貝I］瓦5=(0,2&,-2),EG=

2'2'

715

所以cos（麗，網(wǎng)=EDEG2+4

阿國(guó)一嬴n~r~

x.1-+—+4

V22

所以點(diǎn)O到直線EG的距離為d=\ED\sm（ED,EG）=2^xJ|=3空

考點(diǎn)三點(diǎn)到平面的距離

【例3-1】已知經(jīng)過點(diǎn)A（l,2,3）的平面a的法向量為石=（1,fl）,則點(diǎn)P（-2,3,1）到平面a的距離為（）

A.6B.2C.2&D.273

【解析】依題意，而―，所以點(diǎn)P到平面&的距離為公哥|-3xl+lx(-l)+(-2)xl|_2

Vi2+(-i)2+i2

故選：D

【例3-2】如圖，已知四棱錐P-A3CZ）中，抬_L平面ABC￡>,AD//BC,AD±CD,且A8_LAC,

AB=AC=PA=2,E是BC的中點(diǎn).

（1）求異面直線AE與PC所成角的大小;（2）求點(diǎn)D到平面PAC的距離.

【解析】（1）如圖所示，以A點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-型，

則3（2,0,0）,C（0,2,0）,尸（0,0,2）,故E（l,l,0）,荏=（1,1,0）,PC=（0,2-2）

cos（正定?藺向=g,即（福鳴=60"

故異面直線AE與尸C所成角為60;

在平面ABC。中，13AB=AC=2,ABLAC,ZABC=ZACB=45',

^ADHBC,0ZDAC=ZACB=45,由RfAAC。得A。=C￡>=&,

0D（-1,1,O）,又12c（0,2,0）,ECD=（-l,-l,0）,又回A3_L平面尸AC,

ABCD\

田通=（2,0,0）是平面PAC的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)D到平面PAC的距離d==1

變式1：在二棱柱ABC-A^C,中,平面ACGA，平面ABC,BAA.AC,四邊形ACC,A為菱形,且幺AC=60。,

（2）求G到平面AEF的距離.【解析】取AC的中點(diǎn)。，連接A。，\C,OE,貝IJOE〃/3,又84_LAC,

所以O(shè)ELAC,

由題意知AA/C為等邊三角形，又點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，所以AOLAC.

因?yàn)槠矫鍭CGAJ"平面ABC,平面ACGACl平面ABC=AC,4。＜=平面4。64,

所以A。J?平面ABC,又OEu平面ABC,所以AOLOE,4分

所以。A，OE,OC兩兩垂直，分別以O(shè)E,OC,。4所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）,

J.1⑥

則A（0,0,百），A（o,—1,0）,S（l,-l,0）,￡6,0,0,C,（0,2,V3）,

.—-x+y=0,

[n-AE=02

⑵設(shè)平面詆的法向量為3=（x,%z）,貝！]_-；BPr-

'7[n-AF=0,J「

x+-y+—z=0,

令y=l,得x=-2,z=M，所以3=卜2,1,6）,

.uuirr.

A”63>/2

所以點(diǎn)C1到平面AE/的距離"==[方=』.

變式2：如圖，三棱柱ABC-A8c中，面ABC,面AAGC,AB_L4C,AA=A8=AC=2,ZA,/1C=60.過

4A的平面交線段BC于點(diǎn)E(不與端點(diǎn)重合)，交線段BC于點(diǎn)尸.

(1)求證：四邊形AAEF為平行四邊形;

⑵若B到平面AFC,的距離為72,求直線AG與平面”G所成角的正弦值.

【解析】⑴在三棱柱ABC-ABC中，網(wǎng)，平面BBCC，AA<Z平面BqCC，則AA,//平面

BB?C,又平面AAEFc平面88CC=EF，441U平面44也尸，于是得的〃￡尸，

而平面ABC//平面AAG，平面AAEFc平面ABC=Af,平面A^EFc平面AgG=Ag,貝IJAE//A尸,

所以四邊形AAEF為平行四邊形.

(2)在平面MCC內(nèi)過點(diǎn)A作上，AC,因平面A8CL平面A4CC，平面ABCD平面A4CC=AC,

于是得Az,平面ABC,又ABLAC,以點(diǎn)4為原點(diǎn)，建立如圖所以的空間直角坐標(biāo)系，

因/L4,=AB=4C=2,ZAtAC=60,則

B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,1,G),G(0,3,?

AB=(2,0,0),AC^=(0,3,6)，函=(2,-2,0),AC=(0,2,0),

AF=AC+CF=AC+/CB=(0,2,0)+f(2,-2,0)=⑵,2-2f,0)(0<r<l),

設(shè)平面AFG的法向量〃=(”z),貝!]]無空=：)'+fz：。令丫=乙得3=(一,「向，點(diǎn)8到平面

n-AF=2tx+(2-2t)y=0

\n-AB\2(17)2(1-r)

AFG的距離”=S解得

l?I4_1)2+產(chǎn)+(_煬2J(1)2+4產(chǎn)

因此，?3b而和=(0，2，°)，設(shè)直線AG與平面4FG所成角為e.

2

3

內(nèi)I祠I

所以直線AC與平面AFG所成角的正弦值為正.

4

變式3：如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD^BC,ZADC=ZPAB=9Q°,BC=CQ=gAD=l,E為邊AO的

中點(diǎn)，異面直線PA與C。所成的角為90。.

p

⑴在直線以上找一點(diǎn)M,使得直線CM//平面PBE,并求黑的值

/\1

（2）若直線CO到平面P8E的距離為平，求平面P5E與平面P8C夾角的余弦值.

【解析】（1）AO團(tuán)8C,NADC=/E4B=90。，8c=C￡>=gAO=l,E為邊4）的中點(diǎn)，所以四邊形3CDE是

正方形,

因?yàn)镹PAB=90。,異面直線抬與。所成的角為90。,

所以

又因?yàn)锳3,CD在平面ABC。內(nèi)相交,

所以PAJ_平面A3CD,建立如圖所示的坐標(biāo)系：

設(shè)P(0,0"),把=4,則M(0,0,勿),

AP

令，〃=Q,0,l),

因?yàn)镋B,m=0，EP?m-0，

所以而是平面PBE的法向量.

要使CM〃平面PBE,

只需GZ石=-2/+力=0,

解得：A=2；

(2)￡0=(1,0,0),

因?yàn)镃O團(tuán)BE,

又因?yàn)锽Eu平面PBE,CDN平面PBE,

所以CD回平面PBE,

所以C/)到平面PBE的距離等于點(diǎn)D到平面PBE的距離,

/H|ED-m\t2石

于是?~~=/、=--,

\m\J廠+15

解得：t=2,

所以第=(1,0,0),麗=(-1,-1,2),

令A(yù)=(0,2,1),

因?yàn)槎?0,而^方二。，所以工是平面PBC的法向量，

由(1)可知平面PBE的法向量m=(7,0,1)=(2,0,1),

因?yàn)槠矫鍮BC與平面P8E的夾角為銳角，

|m?n|_1_1

所以平面PBE與平面P8C夾角的余弦值為:

ImHn|5/5*755

考點(diǎn)四異面直線之間的距離

【例4-1］定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在長(zhǎng)

方體ABCD-AACQ中，43=1，BC=2,M=3,則異面直線AC與8G之間的距離是()

A.立B.五C.邁D.9

5767

【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,0,01C(0,1,0),8(2,1,0)<(0,1,3),

則衣=(—2,1,0),南=(-2,0,3),

設(shè)藍(lán)和灰^的公垂線的方向向量3=(x,y,z),

nl(n-AC=0nn[-2x+y=0

則\,即《令無=3,則〃=(3,6,2),

n-BC,=0[-2x+3z=0

vAB=(O,l,O),

變式1：如圖所示的多面體是由底面為ABC。的長(zhǎng)方體被截面4EFG所截而得，其中A8=4,HC=l,BE=3,

CF=4,若如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.

(1)求異面直線EF與AO所成的角;

(2)求點(diǎn)C到截面板G的距離.

【解析】(1)由題意知A(1,O,O),8(1,4,0),E(l,4,3),F(0,4,4),

0EF=(-l,O,l),而=(-1,0,0)

爐而=1，|而四=1,

團(tuán)cos(麗,AD)=M竺|=理,

團(tuán)異面直線E尸與AO所成的角為45.

(2)設(shè)平面AEFG的一個(gè)法向量八=(x,y,z),

n-EA=0-4y-3z=0人,

0￡4=（0,-4,-3）,EF=（-1,0,1）,4_=-xz=0令"4,則）'=一3'z=4,

n^EF=0+

0n=(4,-3,4),

又團(tuán)C(O,4,O),0AC=(-1,4,O),

團(tuán)點(diǎn)C到平面小對(duì)的距離底言LAC-Z?=質(zhì)1-4-出121=1一4、宙

41

變式2：如圖，在棱長(zhǎng)為〃的正方體ABC。-AqGA中,M為4G

的中點(diǎn)，E為AG與RM的交點(diǎn)，F(xiàn)為BM與CBi的交點(diǎn).

⑴求證：BR上A￡,BDtlBtC.

（2）求證：EF是異面直線AG與BC的公垂線段.

⑶求異面直線AC）與8。的距離.

【解析】（1）以。為原點(diǎn)，班反，函分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則。（0,0,0）,A（a,0,0）,3（a,a,0）,C（0,<2,0）,Q（0,0,4）,A（a,0,a）,B\a,a,a）,0（0,a,a）,M^,a,a

'F（gM彳1?所以明，4G=（-a,a,0），BXC=（-a,G,a）.

因?yàn)槲?福=42一〃+0=0,所以西_1_而，即

因?yàn)槲?麻=儲(chǔ)+0一儲(chǔ)=0,所以西_￡鴕，即BRLBC；

(2)因?yàn)榍?信5，-熱，祠=(—a,a,O),品=(—a,O,a).

y

22

所以喬?扃=一女+(~+0=0,所以喬，而