2022屆陜西省高三下學(xué)期二模預(yù)測數(shù)學(xué)理試題解析版

2022屆陜西省高三下學(xué)期二模預(yù)測數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．且 C． D．【答案】D【分析】分別解一元二次不等式以及分式不等式得集合A，B，再進(jìn)行并集運算即可.【詳解】因為，，所以，故選：D.2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】設(shè)且，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念寫出，利用復(fù)數(shù)相等及乘法運算求出參數(shù)a、b，即可得.【詳解】令，則，且，所以，則，所以，可得，即，所以.故選：C3．命題，命題，則下列命題為真命題的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過恒能成立問題分別判斷命題的真假，結(jié)合復(fù)合命題的真假性即可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，為假命題，故命題為假，為真；當(dāng)時，成立，故命題為真命題，為假；所以為假，為假，為真，為假，故選：C.4．若的展開式中的系數(shù)為12，則實數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由二項式定理寫出展開式通項，根據(jù)乘積形式確定含的項，結(jié)合其對應(yīng)系數(shù)求出參數(shù)m.【詳解】由的展開式通項為，含的項包含了和兩項，所以含的項為，即，可得.故選：B5．已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（

）A． B．8 C．6 D．【答案】B【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】由奇函數(shù)的性質(zhì)，可得.故選：B6．把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用倍角余弦公式可得，根據(jù)函數(shù)平移寫出的解析式，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求的減區(qū)間，結(jié)合已知區(qū)間求a的最大值即可.【詳解】由題設(shè)，，則，又上遞減，即上遞減，由在上是減函數(shù)，則，故a的最大值為.故選：A7．如圖，在直三棱柱中，，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】是中點，連接，易知為直線與所成角的平面角，根據(jù)已知條件及余弦定理求其余弦值，即可得的大小.【詳解】若是中點，連接，直三棱柱中且，則為平行四邊形，所以，故直線與所成角即為，令，又，則且，則，又，故，又，所以.故選：A8．高三（1）班舉行英語演講比賽，共有六名同學(xué)進(jìn)入決賽，在安排出場順序時，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用分類分步計數(shù)，結(jié)合捆綁法、排列組合數(shù)求甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法數(shù)，再由全排列求六位同學(xué)任意安排的方法數(shù)，應(yīng)用古典概率的求法求概率即可.【詳解】1、將除甲丙丁外的其它三名同學(xué)作排列有種；2、丙丁捆綁，插入三名同學(xué)成排的4個空中，分兩種情況：當(dāng)插入前2個空有種，再把甲插入五名同學(xué)所成排的5個空中后3個空有種；當(dāng)插入后2個空有種，再把甲插入有種；所以，甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法有種，而六位同學(xué)任意安排的方法數(shù)為種，所以甲排在后三位且丙、丁排在一起的概率為.故選：B9．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，則邊上的中線長為（

）A．49 B．7 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)面積公式結(jié)合已知數(shù)據(jù)，即可求得，根據(jù)余弦定理即可求得，結(jié)合中線的向量表達(dá)即可求得中線長度.【詳解】因為，故可得，根據(jù)余弦定理可得，故，不妨取中點為，故，故.即邊上的中線長為.故選：.10．已知圓，P為直線上的動點，過點P作圓C的切線，切點為A，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先確定的面積最小時點坐標(biāo)，再由是直角三角形求出外接圓的圓心和半徑，即可求出外接圓方程.【詳解】由題可知，，半徑，圓心，所以，要使的面積最小，即最小，的最小值為點到直線的距離，即當(dāng)點運動到時，最小，直線的斜率為，此時直線的方程為，由，解得，所以，因為是直角三角形，所以斜邊的中點坐標(biāo)為，而，所以的外接圓圓心為，半徑為，所以的外接圓的方程為.故選：C.11．已知拋物線，過焦點的直線l與C交于A，B兩點，若以為直徑的圓與C的準(zhǔn)線切于點，則l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)直線聯(lián)立拋物線并應(yīng)用韋達(dá)定理求出、、、關(guān)于k的表達(dá)式，根據(jù)求出k值，即可寫出直線方程.【詳解】由題設(shè)，直線l的斜率存在且不為0，令，聯(lián)立拋物線并整理得：，則，，所以，，又，綜上，，可得，故直線，即.故選：D12．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點時，（其中m，n為正實數(shù)），則的最小值為（

）A．9 B．7 C． D．4【答案】A【分析】將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的圖象與零點的關(guān)系可得的值，最后由基本不等式即可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，∴，當(dāng)時，為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)，∴，即，當(dāng)時，恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴，由此作出函數(shù)的草圖如下所示，由函數(shù)恰有三個零點可得，即，所以，即的最小值為9，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，故選：A.二、填空題13．已知向量與的夾角為，且，，則________．【答案】1【分析】求出，再利用給定等式及向量夾角，結(jié)合數(shù)量積運算律列式計算作答.【詳解】依題意，，則有，由兩邊平方得：，即，解得：，所以.故答案為：114．已知為銳角，若，則_________．【答案】【分析】由誘導(dǎo)公式可得，再由平方關(guān)系求得，最后應(yīng)用差角余弦公式求目標(biāo)函數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，，即，又為銳角，則，而.故答案為：.15．已知是雙曲線C的左右焦點，P為C上一點，，且，則C的離心率為_________．【答案】【分析】由雙曲線定義及已知條件可得，再應(yīng)用余弦定理構(gòu)造a、c的齊次方程即可求離心率.【詳解】由題設(shè)，，又，則，而，所以，則，所以，故.故答案為：16．在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，，則以該四棱錐外接球的球心為球心且與平面相切的球的體積為________________．【答案】【分析】先確定四棱錐外接球的球心，再利用等體積法求球體的半徑即可求解問題.【詳解】將四棱錐放入如下圖所示的正四棱柱中，可知其外接球的球心為與的交點，因此以該四棱錐外接球的球心為球心且與平面相切，其半徑為點到平面的距離.由題意可知，此正四棱柱的高，即為等腰直角三角形斜邊上的高，此高為，所以由，即，解得，所以此球的體積為.故答案為：三、解答題17．已知正項等比數(shù)列的前n項和為，且，數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)記為數(shù)列的前n項和，證明：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）利用等比數(shù)列的基本量求得以及，結(jié)合已知條件求得，利用等差數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）根據(jù)（1）中所求求得，利用裂項求和法求得，根據(jù)其單調(diào)性即可容易證明.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，故，解得或（舍），故，，因為，故，又，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.(2)因為，故，又是單調(diào)增函數(shù)，且，又當(dāng)時，，故，即證.18．隨著人民生活水平的日益提高，汽車普遍進(jìn)入千家萬戶，尤其在近幾年，新能源汽車涌入市場，越來越受到人們喜歡．某新能源汽車銷售企業(yè)在2017年至2021年的銷售量y（單位：萬輛）數(shù)據(jù)如表所示．年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代號x12345銷售量y/萬輛1718202223參考數(shù)據(jù)：含，，，．參考公式：相關(guān)系數(shù)，，，其中為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為．(1)根據(jù)數(shù)據(jù)資料，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)計2022年該新能源汽車銷售企業(yè)的銷售量為多少萬輛？【答案】(1)答案見解析；(2)24.8【分析】（1）由參考數(shù)據(jù)及公式得相關(guān)系數(shù)，由非常接近1，可得結(jié)論；（2）由表中的數(shù)據(jù)求得：，，及，，得所求y關(guān)于x的回歸直線方程為，再由由2017年為第1年，則2022年為第6年，將代入線性回歸方程中可預(yù)計2022年新能源汽車銷量.【詳解】(1)解：由參考數(shù)據(jù)及公式得相關(guān)系數(shù)，顯然非常接近1，故y與x有很好的相關(guān)關(guān)系，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；(2)解：由表中的數(shù)據(jù)得：，，設(shè)y關(guān)于x的線性回歸方程為，則，而，所以所求的回歸直線方程為，由2017年為第1年，則2022年為第6年，將代入線性回歸方程中得：，由此預(yù)計2022年新能源汽車銷量約為24.8萬輛.19．如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為和的中點，P為棱上的動點．(1)是否存在點P使平面？若存在，求出滿足條件時的長度并證明；若不存在，請說明理由；(2)當(dāng)為何值時，平面與平面所成銳二面角的正弦值最小．【答案】(1)存在，；(2).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理計算作答.（2）利用（1）中坐標(biāo)系，借助空間向量計算銳二面角的余弦值，推理判斷作答.【詳解】(1)在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因E，F(xiàn)分別為和的中點，P為棱上的動點，則，設(shè)，，，顯然，，即，由得，此時有，而，且平面，因此，平面，所以存在點P(0,0,2)，使平面，.(2)在（1）的空間直角坐標(biāo)系中，，令平面的法向量為，則，令，得，而平面的法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，因此，當(dāng)，即時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以當(dāng)，即時，平面與平面所成銳二面角的正弦值最小.20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)【分析】（1）直接求導(dǎo)，先確定導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性及零點，即可確定的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，參變分離得，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得，再構(gòu)造函數(shù)確定單調(diào)性后，即可求出實數(shù)a的取值范圍．【詳解】(1)當(dāng)時，，，易得在上遞增，又，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)當(dāng)時，不等式恒成立，可得；當(dāng)時，由恒成立可得恒成立，設(shè)，則，可設(shè)，可得，設(shè)，由，可得恒成立，可得在遞增，即在遞增，所以，即恒成立，即在遞增，所以，再令，可得，當(dāng)時，，在上遞增，當(dāng)時，，在遞減，所以，所以；綜上可得.【點睛】本題關(guān)鍵點在于參變分離構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)后，通過因式分解將導(dǎo)數(shù)變?yōu)椋侔逊肿拥囊蚴綐?gòu)造成函數(shù)，確定后，即得的正負(fù)，進(jìn)而求解.21．已知橢圓的四個頂點圍成的四邊形的面積為，橢圓C的左、右焦點分別為，且到直線的距離為，若直線l與C有且只有一個公共點P，且點P不在x軸上，過點作l的垂線，垂足為Q，(1)求橢圓C的方程；(2)求面積的最大值．【答案】(1)；(2)2.【分析】（1）根據(jù)已知條件，求得的方程組，求解即可得到橢圓的方程；（2）根據(jù)題意，設(shè)出直線方程，根據(jù)其與橢圓相切求得關(guān)系，分類討論直線斜率是否存在，當(dāng)斜率存在時求得點的坐標(biāo)以及其對應(yīng)的軌跡，結(jié)合三角形的面積公式即可求得其最大值.【詳解】(1)由四個頂點圍成的四邊形的面積為可得：，由到直線的距離為可得：，結(jié)合可得：，故橢圓方程為：.(2)根據(jù)題意，直線的斜率存在，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得：，因為直線與橢圓只有一個交點，故，整理得：.又因為與直線垂直，故當(dāng)斜率不存在時，已知點，故的面積；當(dāng)其直線斜率存在時，斜率為，又其過點，故直線的方程為：，聯(lián)立可得：，，故點的坐標(biāo)為，此時有，故點的軌跡是以以原點為圓心，半徑為2的圓，則，故的面積；綜上所述，面積的最大值為.【點睛】本題考察橢圓方程的求解，以及橢圓中三角形面積的范圍問題，其中解決第二問的關(guān)鍵是求得點的軌跡方程，屬綜合困難題.22．在直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t是參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．(1)求l的極坐標(biāo)方程和C的直角坐標(biāo)方程；(2)若l與C交于A，B兩點，求的值．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式即可求解作答.（2）由（1）的結(jié)論，聯(lián)立直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程，求出點A，B的極徑即可計算作答.【詳解】(1)消去直線l參數(shù)方程中的參數(shù)t得：，顯然