必修二課件第一章立體幾何初步1.2.4第3課時(shí)

第3課時(shí)兩平面垂直的性質(zhì)第1章

平面與平面的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質(zhì)定理.2.能運(yùn)用性質(zhì)定理解決一些簡單的問題.3.了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)定理思考

黑板所在的平面與地面所在的平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？答案容易發(fā)現(xiàn)墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直，因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線，則所畫的直線必與地面垂直.答案梳理文字語言

如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在

垂直于它

們

的直線

于另一個(gè)平面符號語言α⊥β，α∩β＝l，

，

?a⊥β圖形語言一個(gè)平面內(nèi)交線垂直a?αa⊥l題型探究例1

如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形.側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn).求證：(1)BG⊥平面PAD；類型一平面與平面垂直的性質(zhì)定理證明證明由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)AD⊥PB.證明由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG.又PB?平面PBG，所以AD⊥PB.證明當(dāng)題目條件中有面面垂直的條件時(shí)，往往要由面面垂直的性質(zhì)定理推導(dǎo)出線面垂直的條件，進(jìn)而得到線線垂直的關(guān)系.因此見到面面垂直條件時(shí)要找準(zhǔn)兩平面的交線，有目的地在平面內(nèi)找交線的垂線.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.證明證明如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于點(diǎn)D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.例2

如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為CD的中點(diǎn).將△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到幾何體D—ABCE.類型二立體幾何中的折疊問題證明求證：BE⊥平面ADE.證明在△ADE中，AE2＝AD2＋DE2＝12＋12＝2，在△BCE中，BE2＝BC2＋CE2＝12＋12＝2，故在△AEB中，∵AE2＋BE2＝AB2，∴BE⊥AE.又平面ADE⊥平面ABCE，且平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE?平面ABCE，∴BE⊥平面ADE.(1)抓住折疊前后的不變量與變化量，同在半平面內(nèi)的兩個(gè)元素之間的關(guān)系保持不變，而位于兩個(gè)半平面內(nèi)的兩個(gè)元素之間關(guān)系改變.(2)特別要有意識地注意折疊前后不變的垂直性和平行性.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

如圖①所示，在平面四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠C＝135°.沿對角線AC將四邊形折成直二面角，如圖②所示.證明求證：平面ABD⊥平面BCD.證明∵∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC.由已知得二面角B—AC—D是直二面角，過B作BO⊥AC，垂足為O，由AB＝BC知，O為AC的中點(diǎn)，作OE⊥AC交AD于E，則∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.而OE∩AC＝O，∴BO⊥平面ACD.∵CD?平面ACD，∴BO⊥CD.又AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴AB⊥CD.由已知∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.而BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.又∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.證明因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD.例3

如圖，在四棱錐P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證：(1)PA⊥底面ABCD；類型三線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用證明(2)BE∥平面PAD；證明證明因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE∥AD.又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)平面BEF⊥平面PCD.證明因?yàn)锳B⊥AD，而且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.證明(1)線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化：反思與感悟(2)在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，這樣把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直.跟蹤訓(xùn)練3

如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為SC的中點(diǎn).求證：(1)EF⊥CD；證明證明連結(jié)AC、AF、BF.∵SA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴SA⊥AC.又∵四邊形ABCD是正方形，∴BC⊥AB.而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA.又SA∩AB＝A.∴CB⊥平面SAB.∵SB?平面SAB，∴CB⊥SB，∴△AFB為等腰三角形，∵E為AB的中點(diǎn)，∴EF⊥AB.又CD∥AB，∴EF⊥CD.(2)平面SCD⊥平面SCE.證明證明由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE，∴SE＝EC，即△SEC是等腰三角形，∴EF⊥SC.又∵EF⊥CD，且SC∩CD＝C，∴EF⊥平面SCD.又EF?平面SCE，∴平面SCD⊥平面SCE.當(dāng)堂訓(xùn)練1.給出下列四個(gè)說法：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.其中正確的是________.(填序號)答案2341②④5解析解析①中若兩直線平行，則結(jié)論錯(cuò)誤；②正確；在空間中③錯(cuò)誤；④正確.234152.已知平面α⊥平面β，直線a∥α，則直線a與β的位置關(guān)系可能是________.(填序號)①a⊥β；②a∥β；③a與β相交.答案23415①②③3.若將邊長為2的正方形ABCD沿AC折疊成直二面角，則B，D兩點(diǎn)間的距離為______.答案2341254.如圖，在三棱錐P—ABC內(nèi)，側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝___.2341答案解析5解析∵側(cè)面PAC⊥底面ABC，交線為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，5.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝

a，AC∩BD＝E，將其沿對角線BD折成直二面角.2341證明5

求證：(1)AB⊥平面BCD；23415∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面BCD.(2)平面ACD⊥平面ABD.23