高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（北師大版）第5章第2節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)平面向量基本定理與坐標(biāo)表示2016·全國(guó)卷Ⅱ·T3·5分向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的充要條件數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查主要以向量的坐標(biāo)表示為工具，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線、垂直的坐標(biāo)表示等.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P65)1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)__不共線__向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，__存在唯一__一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我們把不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組__基底__.2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__，a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__，λa＝__(λx1，λy1)__，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝__(x2－x1，y2－y1)__.3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?__x1y2－x2y1＝0__.提醒：1．辨明三個(gè)易誤點(diǎn)(1)注意能作為基底的兩個(gè)向量必須是不共線的．(2)注意運(yùn)用兩個(gè)向量a，b共線坐標(biāo)表示的充要條件應(yīng)為x1y2－x2y1＝0.(3)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息．2．有關(guān)平面向量的兩類本質(zhì)平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解．向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底．()(2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).()(5)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2．(教材習(xí)題改編)已知向量a＝(2,3),b＝(x,6)共線，則實(shí)數(shù)x的值為()A．3 B．－3C．4 D．－4解析：選C因?yàn)橄蛄縜＝(2,3)，b＝(x,6)共線，所以2×6－3x＝0,即x＝4.3．已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)解析：選Aeq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故選A．4．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，則c等于()A．3a＋b B．3aC．－a＋3b D．a(chǎn)＋3b解析：選B由已知可設(shè)c＝xa＋yb(x，y∈R)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝4，,x＋y＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.))故選B．5．(教材習(xí)題改編)已知?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________.解析：設(shè)D(x，y)，則由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))答案：(1,5)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P66)平面向量基本定理的應(yīng)用[明技法]用平面向量基本定理解決問題的一般思路(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便．另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理．[提能力]【典例】在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)t的值為________.解析：如圖所示，因?yàn)閑q\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以3eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，即2eq\o(CP,\s\up6(→))－2eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→))，所以2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→)).即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近A點(diǎn))，又因?yàn)锳，M，Q三點(diǎn)共線，設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→)).所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ－2,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))＝t(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(t,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(AC,\s\up6(→)).故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＝\f(t,3)，,\f(λ－2,2)＝－t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝\f(3,4)，,λ＝\f(1,2).))故t的值是eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)[母題變式1]本例中，試用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))表示eq\o(CP,\s\up6(→)).解：因?yàn)閑q\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以3eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，即2eq\o(CP,\s\up6(→))－2eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→))，2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)).[母題變式2]本例中，試問點(diǎn)M在AQ的什么位置？解：由本例的解析eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ－2,2)eq\o(AC,\s\up6(→))及λ＝eq\f(1,2)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(CQ,\s\up6(→))知，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λ(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＋eq\f(2－λ,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CQ,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(\o(CQ,\s\up6(→))＋\o(CA,\s\up6(→)),2).因此點(diǎn)M是AQ的中點(diǎn)．[刷好題](金榜原創(chuàng))在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)F，若eq\o(EF,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))(m，n∈R)，則eq\f(m,n)的值是________.解析：方法一根據(jù)題意可知△AFE∽△CFB，所以eq\f(EF,FB)＝eq\f(AE,CB)＝eq\f(1,2)，故eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\f(m,n)＝eq\f(\f(1,3),－\f(1,6))＝－2.方法二如圖，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋(2n＋1)eq\o(AE,\s\up6(→))，因?yàn)镕，E，B三點(diǎn)共線，所以m＋2n＋1＝1，所以eq\f(m,n)＝－2.答案：－2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算[明技法]平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解，并注意方程思想的應(yīng)用．[提能力]【典例】(1)(2018·紹興模擬)已知點(diǎn)M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up6(→))＝－3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為()A．(2,0) B．(－3,6)C．(6,2) D．(－2,0)解析：選Aeq\o(MN,\s\up6(→))＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，設(shè)N(x，y)，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0.))(2)(2018·西安模擬)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝__________.解析：以向量a和b的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，令每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位，則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以a＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1,1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6,2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1,－3)．由c＝λa＋μb可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝－λ＋6μ，,－3＝λ＋2μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－\f(1,2)，))所以eq\f(λ,μ)＝4.答案：4[刷好題]1．(2018·邵陽檢測(cè))在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，則eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．(－2,7) B．(－6,21)C．(2，－7) D．(6，－21)解析：選Beq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝3(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))＝6eq\o(PQ,\s\up6(→))－3eq\o(PA,\s\up6(→))＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．2．(2018·濰坊檢測(cè))如圖，正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ的值為()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．1 D．－1解析：選A方法一由題意得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴λ＝－eq\f(1,2)，μ＝1，∴λ＋μ＝eq\f(1,2)，故選A．方法二利用坐標(biāo)法，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,1)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))＝λ(1,0)＋μ(1,1)，∴λ＋μ＝eq\f(1,2).平面向量共線的坐標(biāo)表示[明技法]向量共線的坐標(biāo)表示中的乘積式和比例式(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0，這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決平面向量共線問題的優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少了未知數(shù)的個(gè)數(shù)，而且它使問題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)和程序化的特征．(2)當(dāng)x2y2≠0時(shí)，a∥b?eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，即兩個(gè)向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例，這種形式不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤．(3)公式x1y2－x2y1＝0無條件x2y2≠0的限制，便于記憶；公式eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)有條件x2y2≠0的限制，但不易出錯(cuò)．所以我們可以記比例式，但在解題時(shí)改寫成乘積的形式．[提能力]【典例】已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋2b共線；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋