山東省濟(jì)寧市鄒城市北大新世紀(jì)高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)考試學(xué)數(shù)學(xué)試題含解析

2024年新高二開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算可得結(jié)果.詳解】由可得，所以.故選：B2.有一組樣本數(shù)據(jù)：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，則這組樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是（）A.11 B.12 C.16 D.17【答案】D【解析】【分析】將樣本數(shù)據(jù)由小到大排列，結(jié)合上四分位數(shù)的定義可求得這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù).【詳解】將樣本數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，因?yàn)樯纤姆治粩?shù)是第分位數(shù)，則，所以這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為.故選：D.3.從裝有3個(gè)黃球和4個(gè)藍(lán)球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，下列事件中與事件“至少有一個(gè)黃球”互為對(duì)立的是（）A.都藍(lán)球 B.都是黃球 C.恰有一個(gè)藍(lán)球 D.至少有一個(gè)藍(lán)球【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)立事件的意義判斷即可.【詳解】事件“至少有一個(gè)黃球”的對(duì)立事件是“沒(méi)有黃球”，即都是“都是藍(lán)球”，所以與事件“至少有一個(gè)黃球”互為對(duì)立的是“都是藍(lán)球”.故選：A4.已知向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量的公式求解.【詳解】根據(jù)題意，在上的投影向量為：.故選：A5.已知向量在基底下的坐標(biāo)是，則在基底下的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可知，設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量基本定理列方程組即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，所以，所以，所以在基底下的坐標(biāo)為.故選：A6.如圖，已知四棱錐，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)相等且為4，E為CD的中點(diǎn)，則異面直線CM與AE所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取有中點(diǎn)，利用幾何法，結(jié)合余弦定理求出異面直線夾角的余弦.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，由E為CD的中點(diǎn)，得，，則是異面直線CM與AE所成的角或其補(bǔ)角，正方形中，，在中，，，，于是，所以異面直線CM與AE所成的角的余弦值為.故選：D7.某學(xué)校興趣學(xué)習(xí)小組從全年級(jí)抽查了部分男生和部分女生的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)，并算得這部分同學(xué)的平均分以及男生和女生各自的平均分，且男女生的平均分不相等，由于記錄員的疏忽把人數(shù)弄丟了，則據(jù)此可確定的是（）A.這部分同學(xué)是高分人數(shù)多還是低分人數(shù)多B.這部分同學(xué)是男生多還是女生多C.這部分同學(xué)的總?cè)藬?shù)D.全年級(jí)是男生多還是女生多【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)意義可判斷A；利用分層平均數(shù)公式可求出女生所占比例，可判斷BC；分析題中樣本的抽取方式可判斷D.【詳解】對(duì)于A，平均數(shù)描述平均水平，所以無(wú)法判斷高分和低分人數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)這部分同學(xué)的平均分為，其中有男生人，女生人，平均分分別為，根據(jù)分層平均數(shù)公式有，整理得，即，即根據(jù)兩個(gè)平均數(shù)可求出這部分同學(xué)中女生所占比例，故B正確；對(duì)于C，由B可知，只能求出男女生所占比例，無(wú)法確定總?cè)藬?shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)轭}干并沒(méi)有告訴這部分學(xué)生的抽取是否按照比例抽取，所以無(wú)法全年級(jí)是男生多還是女生多，D錯(cuò)誤.故選：B8.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式得到，進(jìn)而得到，然后利用正弦定理和三角恒等變換，由求解.【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得，由余弦定理得，即，由正弦定理得，又，所以，所以，又，，則，所以或，即或（舍去），則，所以解得，則．所以，，，即的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是得到，從而利用確定角B的范圍，由此得解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.體育教學(xué)是學(xué)校開(kāi)展素質(zhì)教育不可缺少的重要內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的發(fā)展有著不可忽視的重要作用.某校為了培養(yǎng)學(xué)生的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)和進(jìn)取精神，舉行籃球定點(diǎn)投籃比賽.甲、乙兩名同學(xué)每次各自投10個(gè)球，每人8次機(jī)會(huì)，每次投籃投中個(gè)數(shù)記錄如下：同學(xué)第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲（投中個(gè)數(shù)）67564389乙（投中個(gè)數(shù)）84676575記甲、乙兩名同學(xué)每次投籃投中個(gè)數(shù)的平均數(shù)分別為、，方差分別為、.則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定的數(shù)據(jù)，利用平均數(shù)、方差的定義計(jì)算判斷即可.【詳解】依題意，，，所以，A錯(cuò)誤，B正確；，，所以，C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD10.如圖，在正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（）A.存在點(diǎn)Q，使得 B.存在點(diǎn)Q，使得平面C.三棱錐的體積是定值 D.二面角的余弦值為【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由推出平面，矛盾；B選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，證明出，，得到線面垂直，進(jìn)而當(dāng)Q為的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)平面，故B正確；C選項(xiàng)，假設(shè)體積為定值，得到平面，求出平面的法向量，證明出平面不成立，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值.【詳解】對(duì)于A，若，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，矛盾，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，因?yàn)?，，故，，故，，因?yàn)椋矫?，故平面，?dāng)Q為的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)平面，故B正確．對(duì)于C，Q在線段上運(yùn)動(dòng)，若三棱錐的體積為定值，則平面，，DA=2,0,0設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，解得，令得，故，故，故與不垂直，故平面不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，二面角即二面角，連接BP，DP，BD，由于為等邊三角形，則，，所以為所求二面角的平面角，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則的棱長(zhǎng)為，故，，由余弦定理可得，二面角的余弦值為，故D正確．故選：BD11.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，設(shè)“第一次骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，“第二次骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，“兩次骰子點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次骰子點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，則（）A.C與D互為對(duì)立事件 B.A與D相互獨(dú)立C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)對(duì)立事件的定義即可求解A，利用列舉法，求解對(duì)應(yīng)事件包含的樣本點(diǎn)，即可根據(jù)古典概型的概率公式求解CD，結(jié)合獨(dú)立事件的定義即可求解B.【詳解】對(duì)于A,事件與事件不能同時(shí)發(fā)生，且并起來(lái)是全部的樣本空間，故互為對(duì)立事件，A正確；對(duì)于B，拋擲一枚骰子兩次的樣本點(diǎn)數(shù)共36種，事件A的樣本點(diǎn)為共18種，事件的樣本點(diǎn)為,共有18種，事件的樣本點(diǎn)為共有9種，所以,由于，故相互獨(dú)立，B正確，對(duì)于C，事件的樣本點(diǎn)為共9種，故,C正確，對(duì)于D，事件的樣本點(diǎn)為共27種，故，故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.文以載道，數(shù)以忘憂，本學(xué)期某校學(xué)生組織數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)答（滿分），并從中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)?yōu)闃颖荆殖?，得到如圖所示頻率分布直方圖：估計(jì)該校高二學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為_(kāi)__________.【答案】##【解析】【分析】由頻率分布直方圖的面積和為求出，再根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式求解即可.【詳解】由頻率分布直方圖的面積和為得，解得，所以該校高二學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為.故答案為：.13.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，動(dòng)點(diǎn)，分別在棱，上，且滿足，當(dāng)?shù)捏w積最小時(shí)，與平面所成角的正弦值是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合等積法，可求出當(dāng)?shù)捏w積最小時(shí)，，分別是所在棱的中點(diǎn)；法一，根據(jù)，可求出點(diǎn)到平面的距離為，結(jié)合直線與平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求解.【詳解】設(shè)，則．由等體積法，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以當(dāng)?shù)捏w積最小時(shí)，，分別是所在棱的中點(diǎn)．方法一易知，，．由余弦定理，得，所以，所以．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．根據(jù)，得，解得．所以與平面所成角的正弦值為．方法二以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，，．設(shè)平面法向量為n=x,y,z，則即令，得，，則．設(shè)與平面所成的角為，則．故答案為：14.如圖，在四邊形中，的面積為，記的面積為，，設(shè)，，若存在常數(shù)，使成立，則的值為_(kāi)__________【答案】【解析】【分析】利用余弦定理及三角形面積公式，求得的值，得的大小，再設(shè)，利用正弦定理得關(guān)于的代數(shù)式，解出，利用三角形面積公式，求出的值.【詳解】在中，由余弦定理，，因?yàn)?，所以，即，又因，所?設(shè)，則，，，在中，由正弦定理，，在中，由正弦定理，，兩式作商，得，即，因?yàn)?，所以，，，，假設(shè)，所以，解得.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知平行四邊形中，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義即可求解，（2）根據(jù)向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】，，，，即，解得：.16.已知函數(shù).（1）若，求在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）參變分離可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】若，，，令，因?yàn)?，所以，令，，則在12,1上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以，，所以，；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵谏虾愠闪?，即在上恒成立，又，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即的取值范圍是.17.已知在中，的面積為．（1）求角的度數(shù)；（2）若是上的動(dòng)點(diǎn)，且始終等于，記．當(dāng)取到最小值時(shí)，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)，則求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式結(jié)合正弦定理得到，根據(jù)角的范圍求解即可．【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，又，因此，由為的內(nèi)角，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，又，則，因此，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，，顯然，則有，因此當(dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)，即，所以的值.18.已知，其中，.（1）若，函數(shù)y=fx的最小正周期T為，求函數(shù)y=fx的單調(diào)減區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)y=fx的部分圖象如圖所示，其中，，求函數(shù)的最小正周期T，并求y=fx的解析式.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）根據(jù)求出，求出的解析式，利用整體代換法計(jì)算即可求解；（2）由圖可知，，利用平面向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示求出，進(jìn)而求，將點(diǎn)D代入解析式計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題，，解得，故.令，所以的單調(diào)減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由題，可得，，因此，，又，得.由，得.再將代入y=fx，即.由，解得.因此y=fx的解析式為.19.已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù).（1）求在處的切線方程；（2）若在上的最大值是0，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）按分類，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，確定最值情況即可.（3）把代入，等價(jià)變