高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)教師用書第七章第五節(jié)直線平面垂直的判定及其性質(zhì)

第七章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))立體幾何第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.()(2)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.()(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面．()答案：(1)×(2)×(3)×2．若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面α，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B∵m⊥α，若l∥α，則必有l(wèi)⊥m，即l∥α?l⊥m.但l⊥m?/l∥α，∵l⊥m時，l可能在α內(nèi)．故“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的必要不充分條件．3．設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β()A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m解析：選A∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正確．4．設(shè)m，n表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，下列命題為真命題的是()A．若m⊥α，α⊥β，則m∥βB．若m∥α，m⊥β，則α⊥βC．若m⊥n，m⊥α，則n∥αD．若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n解析：選B對于A，m可以在β內(nèi)，故A錯；對于C，n可以在α內(nèi)，故C錯誤；對于D，m與n可以平行，故D錯．5．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對．解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PDC，共7對．答案：7eq\a\vs4\al(考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì))eq\a\vs4\al(題點多變型考點——追根溯源)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)是每年高考的必考內(nèi)容，題型多為解答題，難度適中，屬中檔題.,常見的命題角度有：1證明直線與平面垂直；2利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直.[題點全練]角度(一)證明直線與平面垂直1．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，?PD＝AD，E是PB的中點，F(xiàn)是DC上的點，且DF＝eq\f(1,2)AB，?PH為△PAD中AD邊上的高．求證：(1)PH⊥平面ABCD；eq\o(,,\s\do4(?))(2)EF⊥平面PAB.eq\o(,,\s\do4(?))[學(xué)審題]①想到AB與平面PAD內(nèi)所有的直線垂直；②想到△PAD為等腰三角形，可取PA的中點得垂線；③可證PH與平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線垂直；④可利用線面垂直的判定定理證明，也可以轉(zhuǎn)化為與EF平行的某條直線與平面PAB垂直的證明．證明：(1)因為AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，所以PH⊥AB.因為PH為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD.因為AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.(2)如圖，取PA的中點M，連接MD，ME.因為E是PB的中點，所以ME綊eq\f(1,2)AB.又因為DF綊eq\f(1,2)AB，所以ME綊DF，所以四邊形MDFE是平行四邊形，所以EF∥MD.因為PD＝AD，所以MD⊥PA.因為AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因為PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.[題型技法]證明線面垂直的4種方法(1)線面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.(2)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.(3)性質(zhì)：①a∥b，b⊥α?a⊥α，②α∥β，a⊥β?a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l?l⊥γ.(客觀題可用)角度(二)利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直2.(2017·江蘇高考)如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.證明：(1)在平面ABD內(nèi)，因為AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因為EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因為AD?平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因為AC?平面ABC，所以AD⊥AC.[題型技法]證明線線垂直的4種方法(1)以算代證法：先平移到相交位置，再證明所構(gòu)成的三角形的三邊滿足勾股定理．(2)利用線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b.(3)三垂線定理(垂影?垂斜)及其逆定理(垂斜?垂影)．(4)a∥b，b⊥c?a⊥c.[題“根”探求]證明直線與平面垂直與利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直的通法是線面垂直的判定定理的應(yīng)用，其思維流程為：第一步：找相交直線在一個平面內(nèi)找到兩條相交直線第二步：證線線垂直證明平面外的直線與這兩條相交直線都垂直第三步：證線面垂直利用直線與平面垂直的判定定理證得線面垂直第四步：證線線垂直由線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直[沖關(guān)演練]1.如圖，S是Rt△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.證明：(1)如圖所示，取AB的中點E，連接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分別為AC，AB的中點．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D為AC的中點，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，則BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.2.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.證明：(1)在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.eq\a\vs4\al(考點二面面垂直的判定與性質(zhì))eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)面面垂直的判定與性質(zhì)是高考的重點，主要考查平面與平面垂直的證明，題型為解答題，難度適中，屬于中檔題.[典題領(lǐng)悟]如圖，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝eq\o(,,\s\do4(??))2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點．求證：eq\o(,,\s\do4(?))(1)CE∥平面PAD；eq\o(,,\s\do4(?))(2)平面EFG⊥平面EMN.eq\o(,,\s\do4(?))[學(xué)審題]①想到線面垂直的判定，可證線面垂直；或想到轉(zhuǎn)化為證與其中一直線的平行線垂直；②想到平行公理，可轉(zhuǎn)化為一直線與另一直線的平行線平行；③想到連中點得三角形中位線，可證線線平行；④要證CE∥平面PAD想到證CE與平面PAD中的一條直線平行，或證CE所在平面與平面PAD平行；⑤要證平面EFG⊥平面EMN想到證其中一平面內(nèi)的直線與另一平面垂直．證明：(1)法一：如圖，取PA的中點H，連接EH，DH.因為E為PB的中點，所以EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB.又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD，EH＝CD，因此四邊形DCEH是平行四邊形．所以CE∥DH.又DH?平面PAD，CE?平面PAD，所以CE∥平面PAD.法二：如圖，連接CF.因為F為AB的中點，所以AF＝eq\f(1,2)AB.又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形．因此CF∥AD.又CF?平面PAD，AD?平面PAD，所以CF∥平面PAD.因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA.又EF?平面PAD，PA?平面PAD，所以EF∥平面PAD.因為CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因為E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可證AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分別為PD，PC的中點，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.[解題師說]1．證明面面垂直的2種方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決．2．三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化eq\x(線線垂直)eq\o(,\s\up7(判定),\s\do5(性質(zhì)))eq\x(線面垂直)eq\o(,\s\up7(判定),\s\do5(性質(zhì)))eq\x(面面垂直)[沖關(guān)演練](2017·北京高考)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點．(1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；(3)當(dāng)PA∥平面BDE時，求三棱錐E-BCD的體積．解：(1)證明：因為PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC.又因為BD?平面ABC，所以PA⊥BD.(2)證明：因為AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.因為BD?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因為PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因為D為AC的中點，所以DE＝eq\f(1,2)PA＝1，BD＝DC＝eq\r(2).由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.所以三棱錐E-BCD的體積V＝eq\f(1,6)BD·DC·DE＝eq\f(1,3).eq\a\vs4\al(考點三平面圖形的翻折問題)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)此類問題主要考查折疊前后線線位置關(guān)系的變化量和不變量，以此證明空間中的線面、面面位置關(guān)系，題型既有選擇題或填空題，也有解答題，難度中檔.[典題領(lǐng)悟](2018·廣州綜合測試)如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).(1)求證：DE∥平面BCF；(2)求證：CF⊥平面ABF；(3)當(dāng)AD＝eq\f(2,3)時，求三棱錐F-DEG的體積．[學(xué)審題]折疊前折疊后AD＝AE?DE∥BCDG∥BF，GE∥FC，DE∥BCF是中點?AF⊥BCAF⊥BF，AF⊥FCAF是高線?AG⊥DEAG⊥GD，AG⊥GE解：(1)證明：在折疊后的圖形中，因為AB＝AC，AD＝AE，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，所以DE∥BC.因為DE?平面BCF，BC?平面BCF，所以DE∥平面BCF.(2)證明：在折疊前的圖形中，因為△ABC為等邊三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，則在折疊后的圖形中，AF⊥BF，AF⊥CF.又BF＝CF＝eq\f(1,2)，BC＝eq\f(\r(2),2)，所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF.又BF∩AF＝F，BF?平面ABF，AF?平面ABF，所以CF⊥平面ABF.(3)由(1)知，平面DEG∥平面BCF，由(2)知，AF⊥BF，AF⊥CF，又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF，所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG.在折疊前的圖形中，AB＝1，BF＝CF＝eq\f(1,2)，AF＝eq\f(\r(3),2).由AD＝eq\f(2,3)，知eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，又DG∥BF，所以eq\f(DG,BF)＝eq\f(AG,AF)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，所以DG＝EG＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)，AG＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)，所以FG＝AF－AG＝eq\f(\r(3),6).故三棱錐F-DEG的體積V＝eq\f(1,3)S△DEG·FG＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\f(\r(3),6)＝eq\f(\r(3),324).[解題師說]平面圖形翻折為空間圖形問題的解題關(guān)鍵是看翻折前后線面位置關(guān)系的變化，根據(jù)翻折的過程找到翻折前后線線位置關(guān)系中沒有變化的量和發(fā)生變化的量，這些不變的和變化的量反映了翻折后的空間圖形的結(jié)構(gòu)特征．解決此類問題的步驟為：[沖關(guān)演練]1．(2018·合肥二檢)如圖1，在平面五邊形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝eq\r(7)，cos∠EDC＝eq\f(5,7).將△CDE沿CE折起，使點D到P的位置，且AP＝eq\r(3)，得到如圖2所示的四棱錐P-ABCE.(1)求證：AP⊥平面ABCE；(2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l，求證：AB∥l.證明：(1)在△CDE中，∵CD＝ED＝eq\r(7)，cos∠EDC＝eq\f(5,7)，由余弦定理得CE＝2.連接AC，∵AE＝2，∠AEC＝60°，∴AC＝2.又AP＝eq\r(3)，∴在△PAE中，PA2＋AE2＝PE2，即AP⊥AE.同理，AP⊥AC.∵AC∩AE＝A，AC?平面ABCE，AE?平面ABCE，∴AP⊥平面ABCE.(2)∵AB∥CE，且CE?平面PCE，AB?平面PCE，∴AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE＝l，∴AB∥l.2．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1-BCDE.(1)證明：CD⊥平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1-BCDE的體積為36eq\r(2)，求a的值．解：(1)證明：在圖1中，連接EC(圖略)，因為AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a，∠BAD＝90°，AD∥BC，E是AD的中點，所以四邊形ABCE為正方形，所以BE⊥AC，即在圖2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，又A1O∩OC＝O，從而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可知A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱錐A1-BCDE的高，由圖1知，A1O＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)a，平行四邊形BCDE的面積S＝BC·AB＝a2，從而四棱錐A1-BCDE的體積V＝eq\f(1,3)×S×A1O＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),6)a3，由eq\f(\r(2),6)a3＝36eq\r(2)，解得a＝6.(一)普通高中適用作業(yè)A級——基礎(chǔ)小題練熟練快1．設(shè)α，β為兩個不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A依題意，由l⊥β，l?α可以推出α⊥β；反過來，由α⊥β，l?α不能推出l⊥β.因此“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件，故選A.2．設(shè)α為平面，a，b為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是()A．若a∥α，b∥α，則a∥b B．若a⊥α，a∥b，則b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，則b∥α D．若a∥α，a⊥b，則b⊥α解析：選B若a∥α，b∥α，則a與b相交、平行或異面，故A錯誤；易知B正確；若a⊥α，a⊥b，則b∥α或b?α，故C錯誤；若a∥α，a⊥b，則b∥α或b?α或b與α相交，故D錯誤．3．(2018·廣州一模)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A．若m?β，α⊥β，則m⊥αB．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥βC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n解析：選BA中m與α的位置關(guān)系不能確定，故A錯誤；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正確；若m⊥n，m?α，n?β，則α與β的位置關(guān)系不確定，故C錯誤；若α∥β，m?α，n?β，則m與n平行或異面，故D錯誤．選B.4．(2018·天津模擬)設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析：選B對于A，若l∥α，l∥β，則α∥β或α與β相交，故A錯；易知B正確；對于C，若α⊥β，l⊥α，則l∥β或l?β，故C錯；對于D，若α⊥β，l∥α，則l與β的位置關(guān)系不確定，故D錯．選B.5.如圖，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：選C因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選C.6.(2018·廣州模擬)如圖是一個幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B畫出該幾何體，如圖所示，①因為E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點，所以EF∥AD，所以EF∥BC，直線BE與直線CF是共面直線，故①不正確；②直線BE與直線AF滿足異面直線的定義，故②正確；③由E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因為EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以直線EF∥平面PBC，故③正確；④因為BE與PA的關(guān)系不能確定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正確．所以正確結(jié)論的個數(shù)是2.7.如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有____________；與AP垂直的直線有________．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，又∵AP?平面PAC，∴AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB.答案：AB，BC，ACAB8．若α，β是兩個相交平面，m為一條直線，則下列命題中，所有真命題的序號為________．①若m⊥α，則在β內(nèi)一定不存在與m平行的直線；②若m⊥α，則在β內(nèi)一定存在無數(shù)條直線與m垂直；③若m?α，則在β內(nèi)不一定存在與m垂直的直線；④若m?α，則在β內(nèi)一定存在與m垂直的直線．解析：對于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，則在平面β內(nèi)存在與m平行的直線，故①錯誤；對于②，若m⊥α，則m垂直于平面α內(nèi)的所有直線，故在平面β內(nèi)一定存在無數(shù)條直線與m垂直，故②正確；對于③④，若m?α，則在平面β內(nèi)一定存在與m垂直的直線，故③錯誤，④正確．答案：②④9．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α與棱AB，AC，A1C1，A1B1分別交于點E，F(xiàn)，G，H，且直線AA1∥平面α.有下列三個命題：①四邊形EFGH是平行四邊形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面解析：如圖所示，因為AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四邊形EFGH是平行四邊形，故①正確；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②錯誤；由AA1⊥平面BCFE，結(jié)合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH?平面α答案：①③10．(2018·武漢調(diào)研)在矩形ABCD中，AB<BC，現(xiàn)將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折的過程中，給出下列結(jié)論：①存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直；②存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直；③存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直．其中正確結(jié)論的序號是________．解析：①假設(shè)AC與BD垂直，過點A作AE⊥BD于E，連接CE.則eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AE⊥BD,AC⊥BD,AE∩AC＝A))?BD⊥平面AEC?BD⊥CE，而在平面BCD中，EC與BD不垂直，故假設(shè)不成立，①錯誤．②假設(shè)AB⊥CD，∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB<BC可知，存在這樣的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假設(shè)成立，②正確．③假設(shè)AD⊥BC，∵DC⊥BC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC，即△ABC為直角三角形，且AB為斜邊，而AB<BC，故矛盾，假設(shè)不成立，③錯誤．答案：②B級——中檔題目練通抓牢1.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部解析：選A連接AC1(圖略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上．2．如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A-BCD，則在三棱錐A-BCD中，下列結(jié)論正確的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：選D∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，則CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD?平面ADC，CD?平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB?平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.3.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1FA.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2解析：選A設(shè)B1F＝x，因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝eq\r(2)，設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f(1,2)h.又2×eq\r(2)＝heq\r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),6).由面積相等得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)x，解得x＝eq\f(1,2).4.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足______時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)解析：連接AC，則AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)5．(2018·蘭州實戰(zhàn)考試)α，β是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一個條件，就能得出BD⊥EF.現(xiàn)有下列條件：①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF.其中能成為增加條件的序號是________．解析：由題意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四點共面．①中，∵AC⊥β，EF?β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF?α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正確；②不能得到BD⊥EF，故②錯誤；③中，由AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上可知平面ABCD⊥β，又AB⊥α，AB?平面ABCD，∴平面ABCD⊥α.∵平面ABCD⊥α，平面ABCD⊥β，α∩β＝EF，∴EF⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，∴BD⊥EF，故③正確；④中，由①知，若BD⊥EF，則EF⊥平面ABCD，則EF⊥AC，故④錯誤，故填①③.答案：①③6．(2017·全國卷Ⅰ)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P-ABCD的體積為eq\f(8,3)，求該四棱錐的側(cè)面積．解：(1)證明：由∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.因為AB∥CD，所以AB⊥PD.又AP∩PD＝P，所以AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)如圖所示，在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD，垂足為E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD.設(shè)AB＝x，則由已知可得AD＝eq\r(2)x，PE＝eq\f(\r(2),2)x.故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD＝eq\f(1,3)AB·AD·PE＝eq\f(1,3)x3.由題設(shè)得eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)，故x＝2.從而PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝2eq\r(2).可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f(1,2)PA·AB＋eq\f(1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2sin60°＝6＋2eq\r(3).7．(2017·山東高考)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，E為AD的中點，A1E⊥平面ABCD(1)證明：A1O∥平面B1CD1；(2)設(shè)M是OD的中點，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1.證明：(1)取B1D1的中點O1，連接CO1，A1O1，因為ABCD-A1B1C1D1所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1O∥O1C因為O1C?平面B1CD1，A1O?平面B1CD1所以A1O∥平面B1CD1.(2)因為E，M分別為AD，OD的中點，所以EM∥AO.因為AO⊥BD，所以EM⊥BD.又A1E⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以A1E⊥BD，因為B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，又A1E?平面A1EM，EM?平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM，又B1D1?平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.C級——重難題目自主選做1.(2018·湖北七市(州)聯(lián)考)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為直角三角形的直棱柱稱為塹堵，將底面為矩形的棱臺稱為芻童．在如圖所示的塹堵ABM-DCP與芻童ABCD-A1B1C1D1的組合體中，AB＝AD，A1B1＝A1D1.臺體體積公式：V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h，其中S′，S分別為臺體上、下底面的面積，h為臺體的高．(1)證明：直線BD⊥平面MAC；(2)若AB＝1，A1D1＝2，MA＝eq\r(3)，三棱錐A-A1B1D1的體積V′＝eq\f(2\r(3),3)，求該組合體的體積．解：(1)證明：由題意可知ABM-DCP是底面為直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，∴AD⊥MA.又MA⊥AB，AD∩AB＝A，AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴MA⊥平面ABCD，∴MA⊥BD，又AB＝AD，∴四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC.又MA∩AC＝A，MA?平面MAC，AC?平面MAC，∴BD⊥平面MAC.(2)設(shè)芻童ABCD-A1B1C1D1的高為h則三棱錐A-A1B1D1的體積V′＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×h＝eq\f(2\r(3),3)，∴h＝eq\r(3)，故該組合體的體積V＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×1＋eq\f(1,3)×(12＋22＋eq\r(12×22))×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(7\r(3),3)＝eq\f(17\r(3),6).2.如圖，已知三棱柱ABC-A′B′C′的側(cè)棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，點M，N分別為A′B和B′C′的中點．(1)證明：MN∥平面AA′C′C；(2)設(shè)AB＝λAA′，當(dāng)λ為何值時，CN⊥平面A′MN，試證明你的結(jié)論．解：(1)證明：如圖，取A′B′的中點E，連接ME，NE.因為M，N分別為A′B和B′C′的中點，所以NE∥A′C′，ME∥AA′.又A′C′?平面AA′C′C，AA′?平面AA′C′C，所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，又因為ME∩NE＝E，所以平面MNE∥平面AA′C′C，因為MN?平面MNE，所以MN∥平面AA′C′C.(2)連接BN，設(shè)AA′＝a，則AB＝λAA′＝λa，由題意知BC＝eq\r(2)λa，CN＝BN＝eq\r(a2＋\f(1,2)λ2a2)，因為三棱柱ABC-A′B′C′的側(cè)棱垂直于底面，所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C.因為AB＝AC，點N是B′C′的中點，所以A′B′＝A′C′，A′N⊥B′C′，所以A′N⊥平面BB′C′C，所以CN⊥A′N，要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，所以CN2＋BN2＝BC2，即2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,2)λ2a2))＝2λ2a2，解得λ＝eq\r(2)，故當(dāng)λ＝eq\r(2)時，CN⊥平面A′MN.(二)重點高中適用作業(yè)A級——保分題目巧做快做1．(2017·全國卷Ⅲ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CDA．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC解析：選C法一：由正方體的性質(zhì)，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B所以BC1⊥平面A1B1CD.又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.法二：∵A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，∴B、D錯；∵A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1C⊥BC∴A1E⊥BC1，故C正確；(證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1又A1E?平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1.)∵A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯．2.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P為△ABC所在平面外一點，PA⊥平面ABC，則四面體P-ABC中直角三角形的個數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1解析：選A由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC為直角三角形，故四面體P-ABC中共有4個直角三角形．3．(2018·吉林實驗中學(xué)測試)設(shè)a，b，c是空間的三條直線，α，β是空間的兩個平面，則下列命題中，逆命題不成立的是()A．當(dāng)c⊥α?xí)r，若c⊥β，則α∥βB．當(dāng)b?α?xí)r，若b⊥β，則α⊥βC．當(dāng)b?α，且c是a在α內(nèi)的射影時，若b⊥c，則a⊥bD．當(dāng)b?α，且c?α?xí)r，若c∥α，則b∥c解析：選BA的逆命題為：當(dāng)c⊥α?xí)r，若α∥β，則c⊥β，由線面垂直的性質(zhì)知c⊥β，故A正確；B的逆命題為：當(dāng)b?α?xí)r，若α⊥β，則b⊥β，顯然錯誤，故B錯誤；C的逆命題為：當(dāng)b?α，且c是a在α內(nèi)的射影時，若a⊥b，則b⊥c.由三垂線逆定理知b⊥c，故C正確；D的逆命題為：當(dāng)b?α，且c?α?xí)r，若b∥c，則c∥α.由線面平行判定定理可得c∥α，故D正確．4.(2018·貴陽監(jiān)測考試)如圖，在三棱錐P-ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：選BA中，因為AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A能證明AP⊥BC；C中，因為平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，又AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C能證明AP⊥BC；由A知D能證明AP⊥BC；B中條件不能判斷出AP⊥BC，故選B.5．(2018·唐山一模)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么，在這個空間圖形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF解析：選B根據(jù)折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變，得AH⊥平面EFH，B正確；∵過A只有一條直線與平面EFH垂直，∴A不正確；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF?平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，過H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，∴C不正確；由條件證不出HG⊥平面AEF，∴D不正確．故選B.6.如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命題的序號是________．解析：①AE?平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA?AE⊥BC，故①正確，②AE⊥PC，AE⊥BC，PB?平面PBC?AE⊥PB，AF⊥PB，EF?平面AEF?EF⊥PB，故②正確，③若AF⊥BC?AF⊥平面PBC，則AF∥AE與已知矛盾，故③錯誤，由①可知④正確．答案：①②④7．(2018·蘭州實戰(zhàn)考試)α，β是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一個條件，就能得出BD⊥EF.現(xiàn)有下列條件：①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF.其中能成為增加條件的序號是________．解析：由題意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四點共面．①中，∵AC⊥β，EF?β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF?α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正確；②不能得到BD⊥EF，故②錯誤；③中，由AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上可知平面ABCD⊥β，又AB⊥α，AB?平面ABCD，∴平面ABCD⊥α.∵平面ABCD⊥α，平面ABCD⊥β，α∩β＝EF，∴EF⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，∴BD⊥EF，故③正確；④中，由①知，若BD⊥EF，則EF⊥平面ABCD，則EF⊥AC，故④錯誤，故填①③.答案：①③8．如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結(jié)論正確的是________．①A′C⊥BD；②∠BA′C＝90°；③四面體A′BCD的體積為eq\f(1,6).解析：∵BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′D.∵AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，∴A′C＝eq\r(2)，BC＝eq\r(3)，∴A′B2＋A′C2＝BC2，∴A′B⊥A′C，即∠BA′C＝90°，四面體A′BCD的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×12×1＝eq\f(1,6).答案：②③9．(2017·全國卷Ⅰ)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P-ABCD的體積為eq\f(8,3)，求該四棱錐的側(cè)面積．解：(1)證明：由∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.因為AB∥CD，所以AB⊥PD.又AP∩PD＝P，所以AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)如圖所示，在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD，垂足為E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD.設(shè)AB＝x，則由已知可得AD＝eq\r(2)x，PE＝eq\f(\r(2),2)x.故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD＝eq\f(1,3)AB·AD·PE＝eq\f(1,3)x3.由題設(shè)得eq\f(1,3)x3＝eq\f(8,3)，故x＝2.從而PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝2eq\r(2).可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為eq\f(1,2)PA·PD＋eq\f(1,2)PA·AB＋eq\f(1,2)PD·DC＋eq\f(1,2)BC2sin60°＝6＋2eq\r(3).10．如圖①，△ABC為等腰直角三角形，∠B＝90°，將△ABC沿中位線DE翻折，得到如圖②所示的空間圖形(∠ADB為銳角)．(1)求證：BC⊥平面ABD；(2)若BC＝2，當(dāng)三棱錐A-BCE的體積為eq\f(\r(3),6)時，求∠ABD的大?。猓?1)證明：在等腰直角△ABC中，AB⊥BC，又DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，∴DE⊥AB.由翻折，可知DE⊥AD，DE⊥DB，又AD∩DB＝D，∴DE⊥平面ABD.又BC∥DE，∴BC⊥平面ABD.(2)由(1)知，平面ABD⊥平面BCED，交線為BD，如圖，作AO⊥BD于點O，則AO⊥平面BCED，則三棱錐A-BCE的高為AO，S△BCE＝eq\f(1,2)·BC·DB＝eq\f(1,2)×2×1＝1，由VA-BCE＝eq\f(1,3)×S△BCE×AO＝eq\f(1,3)×1×AO＝eq\f(\r(3),6)，可得AO＝eq\f(\r(3),2).∴在Rt△ADO中，sin∠ADO＝eq\f(AO,AD)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ADO＝∠ADB＝60°，又AD＝DB，∴△ADB是等邊三角形，∴∠ABD＝60°.B級——拔高題目穩(wěn)做準做1.如圖，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：選C因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選C.2.(2018·廣州模擬)如圖是一個幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B畫出該幾何體，如圖所示，①因為E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點，所以EF∥AD，所以EF∥BC，直線BE與直線CF是共面直線，故①不正確；②直線BE與直線AF滿足異面直線的定義，故②正確；③由E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因為EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以直線EF∥平面PBC，故③正確；④因為BE與PA的關(guān)系不能確定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正確．所以正確結(jié)論的個數(shù)是2.3.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且