專題06切線公切線與切線逼近型歸類

專題06切線、公切線與切線逼近型歸類目錄TOC\o"11"\h\u題型一：有切點(diǎn)切線方程 1題型二：無切點(diǎn)型切線關(guān)系 3題型三：“在點(diǎn)”型切線求參 5題型四：“過點(diǎn)”型切線方程 8題型五：“過點(diǎn)”型切線條數(shù)判斷 10題型六：“過點(diǎn)”型切線條數(shù)求參 13題型七：三角函數(shù)型切線綜合應(yīng)用 17題型八：函數(shù)公切線 22題型九：函數(shù)公切線求參數(shù)范圍 25題型十：函數(shù)公切線條數(shù)判斷 30題型十一：公切線綜合 34題型十二：切線逼近求零點(diǎn) 39題型十三：雙切線存在性 43題型十四：切線逼近：不等式整數(shù)解求參 46題型一：有切點(diǎn)切線方程若已知函數(shù)若已知函數(shù)與切點(diǎn)，不知斜率。此時,利用點(diǎn)斜式寫出切線方程1：求，得切點(diǎn)；2：求導(dǎo)數(shù)，得；3：寫切線方程.1.（2023·全國·三模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，若曲線在處切線的斜率為4，則曲線在處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，得出，再由得出函數(shù)的最小正周期為，由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)具有相同的周期性可得函數(shù)的最小正周期為，由此可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，因?yàn)?，，兩式相減可得，，故，故；因?yàn)?，故所求切線方程為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，以及導(dǎo)函數(shù)的周期性，求原函數(shù)的切線問題，屬于較難題.2．（2122高三下·福建莆田·階段練習(xí)）函數(shù)的圖象在點(diǎn)切的切線分別交軸，軸于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】求導(dǎo)得到，計算切線方程為，故，，代入向量計算得到答案.【詳解】，，故，，，故切線方程為：，故，.，即，解得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了切線方程，向量運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.3．（2122高三上·河南·階段練習(xí)）已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，滿足，則在處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由是定義在上的單調(diào)函數(shù)，滿足，可得為一固定的數(shù)，可設(shè)，則有，可得函數(shù)的解析式，求解出切線斜率和切點(diǎn)，可得答案.【詳解】由題意可得為一固定的數(shù)，設(shè)，則有.由可得，當(dāng)時，有，解得.，．，又．∴曲線在處的切線方程為，即．故選：A．4．（2024·海南海口·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，當(dāng)時，，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性求出時的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則，當(dāng)時，，，，則，，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率為2.故選：C.5．（2324高二下·山西運(yùn)城·開學(xué)考試）定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【分析】明確函數(shù)的周期性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在某點(diǎn)出的切線方程.【詳解】因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，且，所以，所以，即為周期函數(shù)，且周期為4.設(shè)，則，由；設(shè)，則，由.當(dāng)時，.所以：，.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該問題的解決方法可以有兩種思路：（1）求出函數(shù)在區(qū)間上的解析式，可得和，進(jìn)而求出所求的切線方程；（2）利用函數(shù)的對稱性和周期性，先求得到切點(diǎn)，再根據(jù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則關(guān)于軸對稱，所以得切線斜率，可得所求切線方程.題型二：無切點(diǎn)型切線關(guān)系若已知函數(shù)若已知函數(shù)與斜率，不知切點(diǎn)。此時設(shè)切點(diǎn)，此時解出，再將代入解出,此時利用點(diǎn)斜式寫出切線方程1：求導(dǎo)數(shù)，令，求解得；2：求，得切點(diǎn)；3：寫切線方程.1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）設(shè)，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，，則可轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)之間的距離與到直線的距離之和，據(jù)此利用導(dǎo)數(shù)和三角形不等式即可求解.【詳解】令，，則點(diǎn)在函數(shù)圖象上，在函數(shù)的圖象上，容易知道圖象是拋物線圖象的上半部分，記拋物線焦點(diǎn)為，過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，如圖所示：

則，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時，取最小值.設(shè)這時點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以有，解得，即該點(diǎn)為，所以，因此.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于數(shù)形結(jié)合，將的值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離之和的問題.2．（2020·北京·二模）點(diǎn)P在函數(shù)y＝ex的圖象上．若滿足到直線y＝x+a的距離為的點(diǎn)P有且僅有3個，則實(shí)數(shù)a的值為（）A． B． C．3 D．4【答案】C【解析】要滿足到直線y＝x+a的距離為的點(diǎn)P有且僅有3個，則需要直線與函數(shù)y＝ex的圖象相交，而且點(diǎn)P在函數(shù)y＝ex的圖象上滿足在直線一側(cè)一個點(diǎn)到直線距離為，另外一側(cè)兩個點(diǎn)到直線距離為．于是就涉及到切線問題，需要求導(dǎo)數(shù)，求切點(diǎn)．從而解決問題．【詳解】過函數(shù)y＝ex的圖象上點(diǎn)P（x0，y0）作切線，使得此切線與直線y＝x+a平行y′＝ex，于是，則x0＝0，y0＝1∴P（0，1），于是當(dāng)點(diǎn)P到直線y＝x+a的距離為時，則滿足到直線y＝x+a的距離為的點(diǎn)P有且僅有3個，∴，解得a＝﹣1或a＝3又當(dāng)a＝﹣1時，函數(shù)y＝ex的圖象與直線y＝x﹣1相切，從而只有兩個點(diǎn)到直線距離為，所以不滿足；故a＝3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線切點(diǎn)，以及曲線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，難度較大.3．（2122高三·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若在和處切線平行，則A． B． C． D．【答案】D【解析】求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而利于導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線斜率，列方程化簡，結(jié)合基本不等式可得解.【詳解】由，得，∴，整理得：，則，∴，則，∴，∵，∴.∴.故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及基本不等式，屬于難題.4．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知三次函數(shù)有三個零點(diǎn)，，，且在點(diǎn)處切線的斜率為，則.【答案】0【分析】令，其中，，，互不相等，對求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】令，其中，，，互不相等.則..故答案為：0.5．（2324高二下·北京·期中）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，若，，均不相等，且，則.【答案】/【分析】先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分別得到的值，代入整理即可求得的值.【詳解】.由，則，即，又，，由于，，均不相等，則故答案為：題型三：“在點(diǎn)”型切線求參若已知函數(shù)若已知函數(shù)與平面上一點(diǎn)，不知切點(diǎn)與斜率。設(shè)切點(diǎn)，此時,由切點(diǎn)與斜率寫出切線方程，再將點(diǎn)代入，解出切點(diǎn).1：設(shè)切點(diǎn)；2：求導(dǎo)數(shù)，得；3：寫切線方程；4：將代入步驟3，解得；5：將代入步驟3，得切線方程.1．（2223高二下·廣東廣州·期末）已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線只有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C． D．【答案】B【分析】求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，由題意將切線與曲線只有一個公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有且只有一正解，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識求解即可.【詳解】由題意得，則，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，而切線與曲線只有一個公共點(diǎn)，即有且只有一正解，即有且只有一正解，令，則，由于，故，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，且，，即在上存在唯一零點(diǎn)，即有且只有一正解；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，由于的最小值為，故當(dāng)趨向于0時，可取到負(fù)值，且，故在上存在唯一零點(diǎn)，即有且只有一正解；當(dāng)時，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，故，令，則在上單調(diào)遞增，且，此時要使有且只有一正解，故需，綜合以上可知或，故選：B【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線的切線方程，要保證切線與曲線只有一個公共點(diǎn)，關(guān)鍵就是轉(zhuǎn)化為有且只有一正解，從而構(gòu)造函數(shù)，分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)解決問題.2．（2022·山西晉城·一模）已知函數(shù)，的圖像在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)與軸垂直的直線與軸交于點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)點(diǎn)，∵，∴，∴，∴切線的方程為，令，得，故，又點(diǎn)，∴線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，設(shè)，則，故當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．∴．選D．3．（2022·湖北·一模）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若直線在軸上的截距恒小于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)答案分析此題可用特殊值法：取a=1,根據(jù)題意可得函數(shù)的切線方程為：，故在y軸的截距為：，所以恒成立（m>1）,故令恒成立，，顯然當(dāng)a取1時，，故在單調(diào)遞增，，故恒成立，故a取1成立，所以排除ACD，選B點(diǎn)睛：對于12題這種壓軸選擇題，我們掌握一些做題技巧，巧借答案可根據(jù)備選答案去分析通過排除法輕而易舉得出結(jié)論4．（2122高二上·河南商丘）設(shè)直線分別是函數(shù)圖象上點(diǎn)、處的切線，與垂直相交于點(diǎn)，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)時，；當(dāng)時，，討論點(diǎn)、的位置，可得，進(jìn)而有，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩切線方程，聯(lián)立切線方程求出交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從而由對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：設(shè)，，，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，若，則，不合題意；若，則，不合題意；∴，的斜率，的斜率，∵與垂直，∴，即，∵直線：，：，∴聯(lián)立兩直線和方程可得交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，∴，∵函數(shù)在上為減函數(shù)，且，∴，則，∴．∴點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為．故選：A．5．（2022全國·二模）設(shè)點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)Q在直線y=2x上，則PQ的最小值為A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】在曲線上求一點(diǎn)，使得過這點(diǎn)的切線與直線平行，再用兩條平行線間的距離公式，可求得的最小值.【詳解】先求曲線上切線斜率為的點(diǎn)的橫坐標(biāo)：令，解得，代入曲線方程求得，故切點(diǎn)為，斜率為的直線方程為，將兩條平行直線的方程化為一般式得，故兩平行直線的距離為.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線和直線間的最短距離，它的主要思想方法是通過將直線平移到曲線上，使得平行直線和曲線相切，這個時候，兩條平行線間的距離，就是曲線上的點(diǎn)和直線上的點(diǎn)的距離的最小值.在求切線的過程中，要把握住切點(diǎn)和斜率兩個關(guān)鍵點(diǎn).屬于中檔題.題型四：“過點(diǎn)”型切線方程1．（2223高二下·湖北咸寧·開學(xué)考試）過原點(diǎn)的直線與分別與曲線，相切，則直線斜率的乘積為（

）A．1 B．1 C． D．【答案】B【分析】設(shè)的切點(diǎn)分別為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過原點(diǎn)解出即可求解.【詳解】設(shè)的切點(diǎn)分別為，由題意可得，，所以在處的切線為，在處的切線為，又因?yàn)閮蓷l切線過原點(diǎn)，所以，解得，所以直線斜率的乘積為，故選：B2．（2223高三上·黑龍江哈爾濱·期末）過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【分析】切點(diǎn)為坐標(biāo)，結(jié)合切線斜率列出方程得，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)為坐標(biāo)，則，即，則，由題意知有兩解，分別為m，n，故，故選：D.3．（2022·河南·模擬預(yù)測）已知，過原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得切線方程，代入坐標(biāo)原點(diǎn)可構(gòu)造方程求得.【詳解】由得：；設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，則切線方程為：，切線過原點(diǎn)，，解得：，即切點(diǎn)橫坐標(biāo)為.故選：C.4．（2022·四川南充·三模）已知函數(shù)，過點(diǎn)作函數(shù)圖象的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N．則下列說法正確的是（

）A． B．直線MN的方程為C． D．的面積為【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用，，可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，計算可判斷A；求出，直線MN的方程可判斷B；求出可判斷C；求出到直線MN的距離，計算出可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以沒有在函數(shù)的圖象上，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，，不與相切，所以，，又因?yàn)?，解得，即，，所以，故A錯誤；，所以直線MN的方程為，即，故B錯誤；，故C正確；到直線MN的距離為，所以的面積為，故D錯誤.故選：C.5．（2022·河南商丘·三模）已知曲線的一條切線在軸上的截距為2，則這條切線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，將點(diǎn)代入求出的值，進(jìn)而得切線方程.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，則切線斜率為，所以切線方程為，將點(diǎn)代入切線方程并整理得，解得，或（舍去），所以這條切線的方程為，即．故選：D．題型五：“過點(diǎn)”型切線條數(shù)判斷“過點(diǎn)型”切線條數(shù)判斷：“過點(diǎn)型”切線條數(shù)判斷：有幾個切點(diǎn)橫坐標(biāo)，就有幾條切線。切線條數(shù)判斷，轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的新的函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)判斷。1．（2022·全國·模擬預(yù)測）過點(diǎn)作曲線的切線，當(dāng)時，切線的條數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可表示出切線方程，代入可將問題轉(zhuǎn)化為方程的解的個數(shù)的求解；令，利用導(dǎo)數(shù)可得圖象，根據(jù)與圖象交點(diǎn)個數(shù)可確定方程解的個數(shù)，進(jìn)而得到切線條數(shù).【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，切線斜率，切線方程為：；又切線過，；設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，恒成立，可得圖象如下圖所示，則當(dāng)時，與有三個不同的交點(diǎn)，即當(dāng)時，方程有三個不同的解，切線的條數(shù)為條.故選：D.2．（2024·北京海淀·一模）已知，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為，過點(diǎn)與曲線相切的直線的條數(shù)為，則的值分別為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助分段函數(shù)性質(zhì)計算可得，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義及零點(diǎn)的存在性定理可得.【詳解】令，即時，，解得，時，，無解，故，設(shè)過點(diǎn)與曲線相切的直線的切點(diǎn)為，當(dāng)時，，則有，有，整理可得，即，即當(dāng)時，有一條切線，當(dāng)時，，則有，有，整理可得，令，則，令，可得，故當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，由，，故在上沒有零點(diǎn)，又，故在上必有唯一零點(diǎn)，即當(dāng)時，亦可有一條切線符合要求，故.故選：B.3．（2324高三上·湖北·期中）函數(shù)為上的奇函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，可作切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．不確定【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)確定，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)切線方程公式計算，計算切線得到答案.【詳解】，故，，，，設(shè)切點(diǎn)為，則，且，整理得到，解得，，故切線方程為，故選：A4．（2023·吉林通化·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)可作曲線的兩條切線，則點(diǎn)可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)寫出切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，可得出關(guān)于的二次方程有兩個不等的實(shí)根，可得出，可得出，然后逐項(xiàng)檢驗(yàn)可得出合適的選項(xiàng).【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，對函數(shù)求導(dǎo)可得，所以，切線斜率為，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得，即，因?yàn)檫^點(diǎn)可作曲線的兩條切線，則關(guān)于的方程有兩個不等的實(shí)數(shù)解，所以，，即，即，對于點(diǎn)，，A不滿足；對于點(diǎn)，，B不滿足；對于點(diǎn)，，C滿足；對于點(diǎn)，，D不滿足.故選：C.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出斜率，結(jié)合斜率公式列方程求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可得解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由可得，則過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線的斜率，故，即，解得，故過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線共有1條．故選：A．題型六：“過點(diǎn)”型切線條數(shù)求參若已知函數(shù)過平面上一點(diǎn)，且若已知函數(shù)過平面上一點(diǎn)，且或點(diǎn)其中一項(xiàng)含有參數(shù)，但已知過該點(diǎn)切線數(shù)量，可參考考向四，設(shè)切點(diǎn)，此時,由切點(diǎn)與斜率寫出切線方程，再將點(diǎn)代入，最后進(jìn)行參變分離或利用判別式法求解參數(shù)范圍.1．（2324高二下·河北保定·期中）已知函數(shù)，若過可做兩條直線與函數(shù)的圖象相切，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程，依題意，過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切的切線條數(shù)即為直線與曲線的圖象的公共點(diǎn)的個數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象可得結(jié)果.【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切時的切點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以切線方程為，又在切線上，所以，整理得，則過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切的切線條數(shù)即為直線與曲線的圖象的公共點(diǎn)的個數(shù)，因?yàn)?，令，得，所以，?dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，因?yàn)?，?dāng)時，所以，函數(shù)的圖象大致如圖：所以當(dāng)時，圖像有兩個交點(diǎn)，切線有兩條.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依題意求出切線方程，本題關(guān)鍵是將過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切的切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為直線與曲線的圖象的公共點(diǎn)的個數(shù)，在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象.2．（2023·全國·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)可作函數(shù)圖象的兩條切線，則必有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)為，，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得有兩個正根，利用判別式及根與系數(shù)關(guān)系列不等式可得解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，又，所以切線斜率，所以切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，，即，由過點(diǎn)可作兩條切線，所以有兩個正根，即，整理可得，故選：C.3．（2023·江西九江·一模）已知函數(shù)（），點(diǎn)位于曲線的下方，且過點(diǎn)可以作3條直線與曲線相切，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，可得切線方程，將代入切線方程可得有三個不同的實(shí)數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可.【詳解】解：，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，切線方程為，由于切線過點(diǎn)，，整理得.構(gòu)造函數(shù)，有三個不同的零點(diǎn)，，易知，，即，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線下方，，即，解得，故選：D.4．（2223高二下·山西晉中·階段練習(xí)）已知過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，結(jié)合斜率公式可得出，可知關(guān)于的方程有兩個不等的實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，切線斜率為，整理得，關(guān)于的方程有兩個不等的實(shí)根.令函數(shù)，由題意可得，解得且，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增..作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.5．（2223高三·四川南充·期中）已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，當(dāng)時，可作兩條切線，則的取值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程為，由題可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】由，可得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則切線的斜率為，切線方程為，當(dāng)時，由切線方程為得，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以?dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，時，有極小值為，時，有極大值為，可畫出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象若作兩條切線，則的取值為或.故選：A.題型七：三角函數(shù)型切線綜合應(yīng)用三角函數(shù)型切線，要注意三角函數(shù)的周期性與正余弦函數(shù)的有界性。三角函數(shù)型切線，要注意三角函數(shù)的周期性與正余弦函數(shù)的有界性。1．（2324高三上·浙江溫州·）已知，函數(shù)在點(diǎn)處的切線均經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，進(jìn)而即可判斷AB；畫出函數(shù)與圖象，由可得，化簡計算即可判斷CD.【詳解】由題意知，，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程分別為，因?yàn)榍芯€均過原點(diǎn)，所以，即，得，故AB錯誤；由，得，畫出函數(shù)與圖象，如圖，設(shè)，如上圖易知：，由正切函數(shù)圖象性質(zhì)，得，即，又，所以，即，解得，故C正確，D錯誤.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明選項(xiàng)CD的關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)造新函數(shù)，通過轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合思想分析是解題的關(guān)鍵.2．（2023·湖北武漢·二模）已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個切點(diǎn)，設(shè)滿足條件的所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)結(jié)論恒成立可只考慮的情況，假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則只需考慮，，其中的情況，可將表示為；構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，從而對進(jìn)行放縮即可求得所求范圍.【詳解】對于任意，，，的范圍恒定，只需考慮的情況，設(shè)對應(yīng)的切點(diǎn)為，，，設(shè)對應(yīng)的切點(diǎn)為，，，，，，只需考慮，，其中的情況，則，，其中，；又，，，；令，則，在上單調(diào)遞增，，設(shè)，，又，，；令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞減，，，；綜上所述：.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)綜合應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠采用特殊值的方式，考慮不含變量的函數(shù)的情況，采用構(gòu)造函數(shù)的方式對所求式子進(jìn)行放縮，從而求得的范圍.3．（2324高三上·安徽·階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象繞著原點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到曲線，已知曲線始終保持為函數(shù)圖象，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求在原點(diǎn)處的切線，根據(jù)題意，結(jié)合誘導(dǎo)公式求的范圍，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，在原點(diǎn)處的切線斜率，所以切線方程為，設(shè)切線傾斜角為，則，當(dāng)繞著原點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，始終保持為函數(shù)圖象，則，故，顯然為銳角，所以，故的最大值為．故選：B4．（2324高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知函數(shù)圖象上有一最低點(diǎn)，將此函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得的圖象，若函數(shù)的圖象在處的切線與的圖象恰好有三個公共點(diǎn)，則的值是.【答案】【分析】由輔助角公式化一，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求出的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象特征，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)圖象上有一最低點(diǎn)，所以，且，所以，所以，所以，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得的圖象，，則，如圖，結(jié)合的圖象及對稱性可知，

在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以，整理得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵點(diǎn)是找到切線與的圖象有個交點(diǎn)時，該切線過點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)處理即可.5．（2324高三上·河南南陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)（且），其中的最小正周期，且，函數(shù)的圖象在處的切線與的圖象恰好有3個公共點(diǎn)，則.【答案】【分析】根據(jù)已知條件，求得函數(shù)解析式；再結(jié)合正弦函數(shù)圖象特征，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】因?yàn)?，則的圖象關(guān)于對稱，或者；若：因?yàn)榈淖钚≌芷?，所以，即，解得，即，此時，又，則，所以，與矛盾，不合題意；所以的一條對稱軸為，即，所以，；因?yàn)椋?，即，所以，又因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，則，又，所以，又，則①又因?yàn)棰?，?lián)立①②解得，，所以.如圖，結(jié)合的圖象及對稱性可知，

在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，切點(diǎn)為，則，所以，整理得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵點(diǎn)是找到切線與的圖象有個交點(diǎn)時，該切線過點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)處理即可.題型八：函數(shù)公切線對函數(shù)

，如果要求它們的圖象的公切線，只需分別寫出兩條切線：)和再令

，消去一個變量后，再討論得到的方程的根的個數(shù)即可。但在這里需要注意

x1

和

x2

的范圍，例如，若f（x）=lnx，則要求

x1>0

1．（2324高二下·廣東佛山·期中）經(jīng)過曲線與的公共點(diǎn)，且與曲線和的公切線垂直的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先聯(lián)立與得到方程組，求出方程組的解，即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)與和分別相切于，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程，求出，即可得到切線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出所求直線方程.【詳解】由，消去整理得，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以方程組的解為，即曲線與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)與和分別相切于，，而，，，，，解得，，即公切線的斜率為，故與垂直的直線的斜率為，所以所求直線方程為，整理得．故選：B．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若直線是曲線與曲線的公切線，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到和，再由，求得，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，求得，即可求解.【詳解】設(shè)與曲線相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，由，可得的斜率，所以①，又由，可得，所以，即②，又因?yàn)棰?，將②③代入①中，可得，由③易知?則④，將④代入③，可得，則，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，可得，所以，所以的方程為，即．故選：B．【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合問題問題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．3．（2223高二下·遼寧阜新·階段練習(xí)）已知兩條不同的直線與曲線都相切，則這兩直線在y軸上的截距之和為（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】A【分析】設(shè)曲線上切點(diǎn)為，曲線上切點(diǎn)為，由切線斜率得，消去得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明其有兩解，并且兩解的積為1，從而得出曲線上兩個切點(diǎn)的橫坐標(biāo)積為1，寫出切線方程得出縱截距并求和即得．【詳解】設(shè)曲線上切點(diǎn)為，曲線上切點(diǎn)為，，，因此有，消去得，設(shè)，，易知在上是增函數(shù)，，，因此在也即在上有唯一解，時，，遞減，時，，遞增，，，，而，，因此在和上各有一解．設(shè)的解分別為，即，又，所以也是的解，即，，所以方程有兩解且，于是切線方程為，在軸上截距為，同理另一條切線在軸上截距是，兩截距和為．故選：A．【點(diǎn)睛】未知切點(diǎn)時求函數(shù)圖象切線的方法：設(shè)切點(diǎn)為為，求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，然后代入已知條件求出切點(diǎn)坐標(biāo)后即可得切線方程．4．（2021高二·江蘇·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在交點(diǎn)處存在公切線，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)交點(diǎn)為，分別求出，的導(dǎo)數(shù)，由題意得切線的斜率相等且切點(diǎn)重合，得到m，a的方程，消去a，可得，令，運(yùn)用求得，判斷單調(diào)區(qū)間，即可得到，進(jìn)而得到a的值，再求的導(dǎo)數(shù)和在處的切線斜率和切點(diǎn)，求得切線方程，令，即可得到所求截距.【詳解】設(shè)交點(diǎn)為，且的導(dǎo)數(shù)為，的導(dǎo)數(shù)為，由題意，且，消去a得：，令，，當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減.∴處取得極小值，也為最小值為0，則，解得，代入，可得，即有，∴，則在處的切線斜率為，切點(diǎn)為∴在處的切線方程為，令，可得.故選：C.題型九：函數(shù)公切線求參數(shù)范圍求函數(shù)求函數(shù)和的公切線.1：設(shè)函數(shù)的切點(diǎn)為，設(shè)函數(shù)的切點(diǎn)為；2：求導(dǎo)數(shù)與，得函數(shù)的斜率，函數(shù)的斜率；3：函數(shù)的切線，函數(shù)的切線；4：化簡得，；5：對比得，聯(lián)立解方程得公切線.1．（2023·廣東深圳·一模）已知函數(shù)，，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)，圖象均相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)函數(shù)，的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，，即該方程有兩個不同的實(shí)根，則設(shè)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性與取值情況，即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：設(shè)函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，且，函數(shù)上的切點(diǎn)坐標(biāo)為，且，又，則公切線的斜率，則，所以，則公切線方程為，即，代入得：，則，整理得，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)，圖象均相切，則方程有兩個不同的實(shí)根，設(shè)，則，令得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，又可得，則時，；時，，則函數(shù)的大致圖象如下：所以，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的公切線、函數(shù)方程與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大.解決本題的關(guān)鍵是，根據(jù)公切線的幾何意義，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，且，，且，可得，即有，得公切線方程為，代入切點(diǎn)將雙變量方程轉(zhuǎn)化為單變量方程，根據(jù)含參方程進(jìn)行“參變分離”得，轉(zhuǎn)化為一曲一直問題，即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.2．（2223高二下·浙江杭州·期中）已知函數(shù)，若存在兩條不同的直線與函數(shù)和圖像均相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】相同切線的位置上，設(shè)的切點(diǎn)坐標(biāo)為，的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)處切線的斜率，有，由切點(diǎn)求出切線方程，代入切點(diǎn)坐標(biāo)，得，方程要有兩個不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，找最值，可得的取值范圍，即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】時，，，不合題意，故，，函數(shù)定義域?yàn)?，，，，相同切線的位置上，設(shè)的切點(diǎn)坐標(biāo)為，的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，即，公切線方程為代入，得，即，整理得，若存在兩條不同的直線與函數(shù)和圖像均相切，則方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)，則，，解得；，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時函數(shù)有最大值，所以，當(dāng)時，符合條件；當(dāng)時，有，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明兩曲線恰有兩條公切線，一般涉及到曲線的切線都是利用切點(diǎn)來引入，通過假設(shè)切點(diǎn)，求出其中一條曲線的切線方程，利用切線方程與另一條曲線也相切可以得到切點(diǎn)滿足的條件（方程），從而把曲線的切線問題轉(zhuǎn)化為方程根的分布問題進(jìn)而變成函數(shù)的零點(diǎn)問題，這就是轉(zhuǎn)化與化歸思想。3．（2023·河北·模擬預(yù)測）若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)公切線與切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，，即可得到，則或，從而得到，在令，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得解；【詳解】因?yàn)椋?，所以，，設(shè)公切線與切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，，所以，所以，所以，所以或，因?yàn)椋?，所以，所以，令，，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及公切線問題一般先設(shè)切點(diǎn)，在根據(jù)斜率相等得到方程，即可找到參數(shù)之間的關(guān)系，最后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值.4．（2023·云南保山·二模）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得公切線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，得到，令，求得，令，求得和，得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)為，則，則公切線方程為，即，與聯(lián)立可得，所以，整理可得，又由，可得，解得，令，其中，可得，令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，即，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域?yàn)椋郧?，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．5．（2324高三上·福建漳州·開學(xué)考試）已知直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則k的最大值是（

）A． B． C．2e D．4e【答案】B【分析】設(shè)切點(diǎn)分別為和，則，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為有解，設(shè)，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性和極小值，結(jié)合，即可求解.【詳解】因?yàn)槭呛偷墓芯€，設(shè)切點(diǎn)分別為和，則，由，可得，則又由，可得，且，則，所以，可得，即，顯然同號，不妨設(shè)，設(shè)，（其中），可得，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，要使得有解，則需要，即即，解得，所以，即的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．6.（2122高三上·四川成都·期中）如果直線與兩條曲線都相切，則稱為這兩條曲線的公切線，如果曲線和曲線有且僅有兩條公切線，那么常數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把曲線和曲線有且僅有兩條公切線，轉(zhuǎn)化為有且僅有兩解.記，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和極值，建立不等式，即可解得.【詳解】曲線上一點(diǎn)，，切線方程為：.曲線上一點(diǎn)，，切線方程為：.若直線與兩條曲線都相切，則有，消去得：.因?yàn)榍€和曲線有且僅有兩條公切線，所以有且僅有兩解.記，則.令，得，所以在上單增；，得，所以在上單增.所以.又有，解得：（舍）或.當(dāng)，則；當(dāng)，則；而，所以要使有且僅有兩解，只需，解得：.故選：B【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.題型十：函數(shù)公切線條數(shù)判斷1．（2122高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）若直線與曲線和都相切，則直線的條數(shù)有（

）A． B． C． D．無數(shù)條【答案】C【分析】先設(shè)出所求直線l，再通過設(shè)出的直線斜率得到切點(diǎn)，運(yùn)用切點(diǎn)和斜率構(gòu)造方程，再通過構(gòu)造新的函數(shù)求解方程解的情況【詳解】設(shè)直線因?yàn)橹本€與曲線和都相切所以對于曲線，，，切點(diǎn)對于曲線，，，切點(diǎn)因?yàn)楣芯€過A、B兩點(diǎn)所以進(jìn)而可得令因?yàn)椋鶠樵龊瘮?shù)，又因?yàn)椋源嬖谑沟眉此栽跁r單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因?yàn)樗援?dāng)時，因?yàn)椋运栽趦?nèi)存在使得直線與曲線和都相切當(dāng)時，因?yàn)椋运栽趦?nèi)存在使得直線與曲線和都相切所以綜上所述，存在兩條斜率分別為的兩條直線與曲線和都相切故選：C【點(diǎn)睛】①本題運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與斜率之間的關(guān)系可以將兩曲線公切線的切點(diǎn)表示出來②通過構(gòu)造新的函數(shù)求解所得到的跟直線斜率有關(guān)的方程③通過零點(diǎn)存在性定理最后得到函數(shù)是否存在零點(diǎn)，即方程解的情況2．（2018·江西南昌·一模）已知函數(shù)，則和的公切線的條數(shù)為A．三條 B．二條 C．一條 D．0條【答案】A【分析】分別設(shè)出兩條曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率相等得到方程，構(gòu)造函數(shù)，研究方程的根的個數(shù)，即可得到切線的條數(shù).【詳解】設(shè)公切線與和分別相切于點(diǎn)，，解得，代入化簡得，構(gòu)造函數(shù)，原函數(shù)在，極大值故函數(shù)和x軸有交3個點(diǎn)，方程有三解，故切線有3條.故選A.【點(diǎn)睛】這個題目考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程；步驟一般為：一，對函數(shù)求導(dǎo)，代入已知點(diǎn)得到在這一點(diǎn)處的斜率；二，求出這個點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)；三，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.考查了函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像和x軸的交點(diǎn)問題.3（2023·湖南衡陽·模擬預(yù)測）若曲線與有三條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，分別設(shè)出兩條曲線的切線方程，將問題轉(zhuǎn)化為一條直線與一條曲線交點(diǎn)個數(shù)問題，即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè)公切線為是與的切點(diǎn)，由，得，設(shè)是與的切點(diǎn)，由，得，所以的方程為，因?yàn)?，整理得，同理，因?yàn)椋淼?，依題意兩條直線重合，可得，消去，得，由題意此方程有三個不等實(shí)根，設(shè)，即直線與曲線有三個不同的交點(diǎn)，因?yàn)椋?，則，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以有極小值為，有極大值為，因?yàn)?，，，所以，?dāng)趨近于時，趨近于0；當(dāng)趨近于時，趨近于，故的圖象簡單表示為下圖:所以當(dāng)，即時，直線與曲線有三個交點(diǎn).故選：A.4．（2018·山東·一模）已知曲線與恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為相切的切點(diǎn)為，則有公共切線斜率為，又，即有，即為，即有，則有，即為，恰好存在兩條公切線，即有兩解，令，則，當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增，即有處取得極大值，也為最大值，且為，由恰好存在兩條公切線可得與有兩個交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象與單調(diào)性可得的范圍是，故選D.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)以及轉(zhuǎn)化與劃歸思想，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.解答方程根的問題最常見的方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)后，利用數(shù)形結(jié)合解答：一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題.5．（1718高二下·云南保山·期末）已知曲線與恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)切點(diǎn)分別為和(s，t)，再由導(dǎo)數(shù)求得斜率相等，得到構(gòu)造函數(shù)由導(dǎo)數(shù)求得參數(shù)的范圍．【詳解】的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為與曲線相切的切點(diǎn)為(s，t)，則有公共切線斜率為又，即有，即為，即有則有即為令則，當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增，即有處取得極大值，也為最大值，且為由恰好存在兩條公切線，即s有兩解，可得a的取值范圍是，故選B．【點(diǎn)睛】可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在處的切線斜率,這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義,在利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線切線方程時,要注意區(qū)分“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”,已知y=f(x)在處的切線是,若求曲線y=f(x)過點(diǎn)(m,n)的切線,應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn),把(m,n)代入,求出切點(diǎn)，然后再確定切線方程.而對于切線相同，則分別設(shè)切點(diǎn)求出切線方程，再兩直線方程系數(shù)成比例．6．（2022·江西南昌·一模）已知函數(shù)，若和圖象有三條公切線，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)公切線與分別相切于點(diǎn),對，，根據(jù)題意可得，即，化簡得，再利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】設(shè)公切線與分別相切于點(diǎn),，，，即，解得，代入化簡得，令函數(shù)，則，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間遞增，在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，且，，可知a無上界，即時，方程有三解，即和圖象有三條公切線.故選：A.題型十一：公切線綜合兩個曲線的公切線問題，主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行解決，關(guān)鍵是抓住切線的斜率進(jìn)行轉(zhuǎn)化和過渡.主要應(yīng)用在求公切線方程，切線有關(guān)的參數(shù)，以及與函數(shù)的其他性質(zhì)聯(lián)系到一起.處理與切線有關(guān)的參數(shù)，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：兩個曲線的公切線問題，主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行解決，關(guān)鍵是抓住切線的斜率進(jìn)行轉(zhuǎn)化和過渡.主要應(yīng)用在求公切線方程，切線有關(guān)的參數(shù)，以及與函數(shù)的其他性質(zhì)聯(lián)系到一起.處理與切線有關(guān)的參數(shù)，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上.1．（2022·遼寧沈陽·二模）若直線與直線是曲線的兩條切線，也是曲線的兩條切線，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．【答案】C【分析】利用和互為反函數(shù)推得兩條公切線和也互為反函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出，，進(jìn)而化簡可得，代入化簡可得答案.【詳解】由和互為反函數(shù)可知，兩條公切線和也互為反函數(shù)，即滿足，，即，，設(shè)直線與和分別切于點(diǎn)和，可得切線方程為和，整理得：和，則，，由，得，且，則，所以，所以,故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了反函數(shù)的相關(guān)知識以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，解答時要注意利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程并進(jìn)行系數(shù)的比較，從而得出參數(shù)之間的關(guān)系式.2．（2021高二下·湖北武漢·期中）若曲線上兩個不同的點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線的自公切線，則下列方程對應(yīng)的曲線中存在自公切線的為①；②；

③；

④.A．②③ B．①② C．①②④ D．①②③【答案】B【分析】①畫出其圖像，有兩個相同的最小值點(diǎn)，所以有自公切線；②周期函數(shù)，其圖像有無數(shù)個最值點(diǎn)相同，所以有自公切線；③對勾函數(shù)，圖像不存在相同的最值點(diǎn)，只有平行的公切線；④是由兩個半徑相同的圓弧構(gòu)成的封閉曲線，沒有自公切線.【詳解】①，其圖像如所示，在和處的切線都是，故有自公切線；②，此函數(shù)是周期函數(shù)，過圖像的最高點(diǎn)的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線；③為對勾函數(shù)，分別位于一三象限，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且導(dǎo)數(shù)為，在遞增，遞減，其圖像如圖，存在平行的切線，不存在自公切線；④由于，即，當(dāng)時，當(dāng)時，其圖像如圖所示，結(jié)合圖像可得，此曲線沒有自公切線.故選：B.3．（2122高三上·河北唐山·期末）已知直線與曲線和分別相切于點(diǎn)，.有以下命題：（1）(為原點(diǎn))；（2）；（3）當(dāng)時，.則真命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】先利用導(dǎo)數(shù)求斜率得到直線的方程，可得出，分類討論的符號，計算化簡并判斷其符號即得命題①正確；由結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的互化，得到，即得的范圍，得命題②錯誤；構(gòu)造函數(shù)，研究其零點(diǎn)，再構(gòu)造函數(shù)并研究其范圍，即得到，得到命題③正確.【詳解】，，所以直線的斜率，直線的方程為，即，同理根據(jù)可知，直線的方程為，故，得.命題①中，若，由可得，此時等式不成立，矛盾；時，，因此，若，則，有，此時；若，則，有，此時.所以根據(jù)數(shù)量積定義知，，即，故①正確；命題②中，由得，得或，故②錯誤；命題③中，因?yàn)?，由②知，，或，故?dāng)時，即，設(shè)，則，故在是增函數(shù)，而，，故的根，因?yàn)椋蕵?gòu)造函數(shù)，，則，故在上單調(diào)遞減，所以，故，故③正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求曲線的切線，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于函數(shù)的綜合應(yīng)用題，屬于難題.4．（2223高三上·河南·階段練習(xí)）已知曲線與的兩條公切線所成角的正切值為，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】利用反函數(shù)的性質(zhì)、倍角公式以及切線方程進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)榕c互為反函數(shù)，故圖像關(guān)于對稱，設(shè)一條切線與兩個函數(shù)圖像分別切于兩點(diǎn)，且兩條切線交點(diǎn)為，如圖，設(shè)，則，即，解得或3（舍去），故，易求得曲線的斜率為2的切線方程為，故曲線的斜率為2的切線方程為，的斜率為2的切線方程為，故曲線的斜率為2的切線方程為，所以，則，則.故A，B，D錯誤.故選：C.5.（2324高二下·北京·期中）若曲線上兩個不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”，則下列曲線中，所有存在“自公切線”的序號為．①；②；③；④．【答案】①②④【分析】對于①，考慮曲線在和處的切線即可；對于②，取滿足，，然后考慮曲線在和處的切線即可；對于③，用反證法即可證明曲線不存在“自公切線”；對于④，考慮曲線在和處的切線即可；【詳解】由于每個選項(xiàng)對應(yīng)的曲線均具有形式，故我們在每個選項(xiàng)的判斷中令為相應(yīng)的函數(shù).對于①，由于當(dāng)時，當(dāng)時，故當(dāng)時，當(dāng)時，從而，.所以曲線在和處的切線均為，故①符合條件；對于②，由于，故，從而和顯然都是具有周期的周期函數(shù).任取一個滿足，的實(shí)數(shù)，則，.所以曲線在和處的切線均為，故②符合條件；對于③，假設(shè)曲線在和處的切線均為直線，且兩兩不等，則都等于直線的斜率，即，其中是直線的斜率.而，故，所以.結(jié)合知.但，矛盾.這表明曲線不存在“自公切線”，故③不符合條件.對于④，由于當(dāng)時，當(dāng)時，故當(dāng)時，當(dāng)時.我們記，則有，，，.即，，.設(shè)，，則都在曲線上，且，從而.設(shè)為經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線，則由知也經(jīng)過.而都在曲線上，且，故和曲線在點(diǎn)處均相切.所以存在“自公切線”，故④符合條件.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于在曲線上找出合適的兩個點(diǎn)，并證明曲線在它們處的切線相同.題型十二：切線逼近求零點(diǎn)利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.1.（2122高二下·河南開封·期末）若函數(shù)有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】函數(shù)有3個零點(diǎn)，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有3個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得兩函數(shù)相切時的a值，再利用數(shù)形結(jié)合即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】令，得，所以函數(shù)有3個零點(diǎn)，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有3個交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)，當(dāng)時，顯然函數(shù)與函數(shù)的圖象僅有2個交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時，當(dāng)直線與曲線相切時，不妨設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則曲線在切點(diǎn)處的切線斜率，又因?yàn)榍悬c(diǎn)也在直線上，所以，解得，則切點(diǎn)為，此時，所以若函數(shù)與函數(shù)的圖像僅有3個交點(diǎn)，則；根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性，當(dāng)時，若函數(shù)與函數(shù)的圖象僅有3個交點(diǎn)，則．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．2.（2122高三·湖南長沙·階段練習(xí)）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時，，若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值集合是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)周期為，求出函數(shù)在一個周期內(nèi)的解析式，將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與直線只有一個交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像，即可求解.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，，，即，的周期為.時，，，，，周期為4，，當(dāng)，當(dāng)，做出函數(shù)圖像，如下圖所示：令，當(dāng)，，，兩邊平方得，，此時直線與在函數(shù)圖像相切，與函數(shù)有兩個交點(diǎn)，同理，直線與在函數(shù)圖像相切，與函數(shù)有兩個交點(diǎn)，則要使函數(shù)在內(nèi)與直線只有一個交點(diǎn)，則滿足，周期為4，范圍也表示為，所以所有的取值范圍是.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的周期性和對稱性，利用數(shù)形結(jié)合思想是解決問題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.3.（2022江西南昌·一模）定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若函數(shù)有個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．A． B．C． D．【答案】A【詳解】,當(dāng)時，,作出圖形，由圖可知直線過點(diǎn)時有六個交點(diǎn)，過點(diǎn)時有八個交點(diǎn)，過點(diǎn)時有六個交點(diǎn)，過點(diǎn)時有八個交點(diǎn)，因此要使函數(shù)有7個零點(diǎn)，需，選A.

4.（2021高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，在上有個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可知，函數(shù)與的圖象在上有三個交點(diǎn)，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，數(shù)形結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，綜合可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上有個不同的零點(diǎn)，所以，關(guān)于的方程在上有個不同的實(shí)數(shù)根，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：函數(shù)的圖象恒過點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為，①當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)與的圖象在上僅有個不同的交點(diǎn)，如下圖所示：②當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)與的圖象在上有個交點(diǎn)，在上有個交點(diǎn)，如下圖所示：③當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)與的圖象在上有個交點(diǎn)，在上有個交點(diǎn)，如下圖所示：④當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)與的圖象在上有個交點(diǎn)，如下圖所示：⑤當(dāng)時，要使得函數(shù)與的圖象在上有個交點(diǎn)，則與的圖象在上有個交點(diǎn)，則與函數(shù)在上的圖象有兩個交點(diǎn)，即方程在上有兩個不等的實(shí)根，設(shè)，則在上有兩個零點(diǎn)，可得，解得，此時.且與的圖象在上有一個交點(diǎn)，則，解得.由上可知，；⑥當(dāng)時，，如下圖所示：直線與函數(shù)在上的圖象有三個交點(diǎn).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.題型十三：雙切線存在性已知其中一曲線上的切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，進(jìn)而求出另一曲線上的切點(diǎn)已知其中一曲線上的切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，進(jìn)而求出另一曲線上的切點(diǎn).不知切點(diǎn)坐標(biāo)，則應(yīng)假設(shè)兩切點(diǎn)坐標(biāo)，通過建立切點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系式，解方程.具體做法為：設(shè)公切線在y＝f(x)上的切點(diǎn)P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點(diǎn)P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)（平行），或者f′(x1)*g′(x2)=1（垂直）1.（2223高三上·山東泰安·階段練習(xí)）設(shè)曲線（為自然對數(shù)的底數(shù)）上任意一點(diǎn)處的切線為，曲線上任意一點(diǎn)處的切線為，若對任意位置的總存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，為上的任一點(diǎn)，可得切線的斜率，求得的導(dǎo)數(shù)，設(shè)圖象上一點(diǎn)，可得切線的斜率為，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為，分別求的值域，的值域，由題意可得，可得的不等式，可得的范圍．【詳解】解：的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)，為上的任一點(diǎn)，則過，處的切線的斜率為，的導(dǎo)數(shù)為，過圖象上一點(diǎn)，處的切線的斜率為．由，可得，即，任意的，總存在使等式成立．則有的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?，有，即，，，即，解得：故選：．2.（2022·安徽合肥·二模）若對于函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)處的切線，在函數(shù)的圖象上總存在一條切線，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化條件得，，使得成立，利用基本不等式求得的取值范圍后即可得解.【詳解】函數(shù)，，函數(shù)，，要使過曲線上任意一點(diǎn)的切線為，在函數(shù)的圖象上總存在一條切線，使得，則即，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，，使得等式成立，所以，解得：或.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和基本不等式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.3.（多選）（2021高二下·福建寧德·期中）若以函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)作切線，圖象上總存在異于P點(diǎn)的點(diǎn)，使得以Q為切點(diǎn)的切線與平行，則稱函數(shù)為“和