電路基礎(chǔ)（微課版）課件 （成超）第5章 正弦穩(wěn)態(tài)電路分析、第6章 耦合電感和諧振電路

第5章

正弦穩(wěn)態(tài)電路分析第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析本章利用相量法來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。首先分析RLC串聯(lián)電路并介紹阻抗的概念，以及分析RLC并聯(lián)電路并介紹導(dǎo)納的概念，然后對(duì)阻抗（導(dǎo)納）的串并聯(lián)進(jìn)行分析；接著介紹正弦穩(wěn)態(tài)電路的瞬時(shí)功率、有功功率、無功功率、視在功率、復(fù)功率和功率因數(shù)等概念以及提高功率因數(shù)的方法；最后介紹復(fù)雜正弦電路的分析方法。2第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析5.1電阻、電感、電容的串聯(lián)及阻抗5.2電阻、電感、電容的并聯(lián)及導(dǎo)納5.3阻抗的串并聯(lián)5.4正弦電路的功率分析5.5功率因數(shù)的提高5.6復(fù)雜正弦電路的分析35.1電阻、電感、電容的串聯(lián)及阻抗RLC串聯(lián)電路如下圖所示，假設(shè)電路中的電流為：45.1.1

RLC串聯(lián)電路及阻抗各電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向，由相量形式下的基爾霍夫定律得：5.1電阻、電感、電容的串聯(lián)及阻抗將相量形式下RLC元件的歐姆定律代入得到55.1.1

RLC串聯(lián)電路及阻抗5.1電阻、電感、電容的串聯(lián)及阻抗將相量形式下RLC元件的歐姆定律代入得到65.1.1

RLC串聯(lián)電路及阻抗令5.1電阻、電感、電容的串聯(lián)及阻抗75.1.1

RLC串聯(lián)電路及阻抗稱為相量形式下RLC串聯(lián)電路的歐姆定律，式中復(fù)數(shù)Z稱為復(fù)阻抗，它等于電壓相量除以對(duì)應(yīng)端點(diǎn)的電流相量。復(fù)阻抗的實(shí)部就是電路的電阻R；復(fù)阻抗的虛部是電路中感抗與容抗之差，稱為電抗。感抗和容抗總是正的，而電抗為一代數(shù)量，可正可負(fù)。5.1電阻、電感、電容的串聯(lián)及阻抗85.1.1

RLC串聯(lián)電路及阻抗復(fù)阻抗也可以表示成指數(shù)形式、極坐標(biāo)形式和三角形式，如5.1電阻、電感、電容的串聯(lián)及阻抗95.1.1

RLC串聯(lián)電路及阻抗阻抗模阻抗角5.1電阻、電感、電容的串聯(lián)及阻抗105.1.1

RLC串聯(lián)電路及阻抗阻抗模和阻抗的實(shí)部以及虛部構(gòu)成一個(gè)直角三角形，稱為阻抗三角形5.1電阻、電感、電容的串聯(lián)及阻抗115.1.1

RLC串聯(lián)電路及阻抗由于根據(jù)復(fù)數(shù)相等的原則有由此可見，阻抗模等于電壓相量和電流相量的模之比，阻抗角是電壓和電流的相位差。若阻抗角大于0，則表示電壓超前于電流；若阻抗角小于0，則表示電壓滯后于電流；若阻抗角等于0，則表示電壓與電流同相。5.1電阻、電感、電容的串聯(lián)及阻抗125.1.2

RLC串聯(lián)電路的性質(zhì)由于電抗與電路的頻率有關(guān)在不同頻率下，RLC串聯(lián)電路有不同的性質(zhì)（1）當(dāng)時(shí)，電壓超前于電流，電路中電感的作用大于電容的作用，這時(shí)電路呈現(xiàn)電感性。電路的阻抗可以等效成電阻與電感串聯(lián)的電路。（2）當(dāng)時(shí)，電壓與電流同相，電路中電感的作用與電容的作用相互抵消，這時(shí)電路呈現(xiàn)電阻性。電路的阻抗等效為電阻R。（3）當(dāng)時(shí)，電壓滯后于電流，電路中電感的作用小于電容的作用，這時(shí)電路呈現(xiàn)電容性。電路的阻抗可以等效成電阻與電容串聯(lián)的電路。5.1電阻、電感、電容的串聯(lián)及阻抗135.1.2

RLC串聯(lián)電路的性質(zhì)選取電流為參考相量，并假設(shè)電流的初相角為零，可畫出RLC串聯(lián)電路的相量圖5.1電阻、電感、電容的串聯(lián)及阻抗14例題

RLC串聯(lián)電路中，已知求電流相量、電壓相量以及各元件上的電壓相量，并畫出相量圖。解根據(jù)給出的電流表達(dá)式，得電流相量為歐姆定律得各元件上的電壓相量分別為5.1電阻、電感、電容的串聯(lián)及阻抗15例題

RLC串聯(lián)電路中，已知求電流相量、電壓相量以及各元件上的電壓相量，并畫出相量圖。根據(jù)基爾霍夫定律可得：5.2電阻、電感、電容的并聯(lián)及導(dǎo)納165.2.1

RLC并聯(lián)電路及導(dǎo)納RLC并聯(lián)電路如下圖所示，假設(shè)電路端口處的電壓為：各電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向，由相量形式下的基爾霍夫定律得：5.2電阻、電感、電容的并聯(lián)及導(dǎo)納175.2.1

RLC并聯(lián)電路及導(dǎo)納將相量形式下RLC元件的歐姆定律表達(dá)式代入得：5.2電阻、電感、電容的并聯(lián)及導(dǎo)納185.2.1

RLC并聯(lián)電路及導(dǎo)納將相量形式下RLC元件的歐姆定律表達(dá)式代入得：令5.2電阻、電感、電容的并聯(lián)及導(dǎo)納195.2.1

RLC并聯(lián)電路及導(dǎo)納稱為復(fù)導(dǎo)納，它等于電流相量除以對(duì)應(yīng)端點(diǎn)的電壓相量。復(fù)導(dǎo)納的實(shí)部就是電路的電導(dǎo)G；復(fù)導(dǎo)納的虛部是電路中容納與感納之差，稱為電納。容納和感納總是正的，而電納為一代數(shù)量，可正可負(fù)。5.2電阻、電感、電容的并聯(lián)及導(dǎo)納205.2.1

RLC并聯(lián)電路及導(dǎo)納復(fù)導(dǎo)納也可以表示成指數(shù)形式、極坐標(biāo)形式和三角形式，如5.2電阻、電感、電容的并聯(lián)及導(dǎo)納215.2.1

RLC并聯(lián)電路及導(dǎo)納導(dǎo)納模導(dǎo)納角5.2電阻、電感、電容的并聯(lián)及導(dǎo)納225.2.1

RLC并聯(lián)電路及導(dǎo)納導(dǎo)納的模和導(dǎo)納的實(shí)部G以及虛部B構(gòu)成一個(gè)直角三角形，稱為導(dǎo)納三角形5.2電阻、電感、電容的并聯(lián)及導(dǎo)納235.2.1

RLC并聯(lián)電路及導(dǎo)納由于根據(jù)復(fù)數(shù)相等的原則由此可見，導(dǎo)納模等于電流相量和電壓相量的模之比，導(dǎo)納角是電流和電壓的相位差。若導(dǎo)納角大于0，則表示電流超前于電壓；若導(dǎo)納角小于0，則表示電流滯后于電壓；若導(dǎo)納角等于0，則表示電流與電壓同相。5.2電阻、電感、電容的并聯(lián)及導(dǎo)納245.2.2

RLC并聯(lián)電路的性質(zhì)由于

與頻率有關(guān)。因此，在不同的率下，RLC并聯(lián)電路有不同的性質(zhì):（1）當(dāng)

時(shí)，電流超前于電壓，電路中電容的作用大于電感的作用，這時(shí)電路呈現(xiàn)電容性。電路的導(dǎo)納可以等效成電導(dǎo)與電容并聯(lián)的電路。（2）當(dāng)

時(shí)，電流與電壓同相，電路中電容的作用與電感的作用相互抵消，這時(shí)電路呈現(xiàn)電阻性。電路的導(dǎo)納等效為電導(dǎo)G。（3）當(dāng)

時(shí)，電流滯后于電壓，電路中電容的作用小于電感的作用，這時(shí)電路呈現(xiàn)電感性。電路的導(dǎo)納可以等效成電導(dǎo)與電感并聯(lián)的電路。5.2電阻、電感、電容的并聯(lián)及導(dǎo)納255.2.2

RLC并聯(lián)電路的性質(zhì)選取電壓為參考相量，并假設(shè)電壓的初相角為零，可畫出RLC并聯(lián)電路的相量圖5.2電阻、電感、電容的并聯(lián)及導(dǎo)納26例題

RLC并聯(lián)電路中，已知求電壓相量、電流相量以及各元件上的電流相量，并畫出相量圖。5.2電阻、電感、電容的并聯(lián)及導(dǎo)納27解根據(jù)給出的電壓表達(dá)式，得電壓相量為例題

RLC并聯(lián)電路中，已知求電壓相量、電流相量以及各元件上的電流相量，并畫出相量圖。5.2電阻、電感、電容的并聯(lián)及導(dǎo)納28根據(jù)歐姆定律得各元件上的電流相量分別為5.2電阻、電感、電容的并聯(lián)及導(dǎo)納29根據(jù)基爾霍夫定律可得：5.3阻抗的串并聯(lián)30工程實(shí)際中，常把復(fù)阻抗或復(fù)導(dǎo)納作為電路元件看待。在交流電路中，阻抗最簡(jiǎn)單和最常用的連接方式是串聯(lián)與并聯(lián)。阻抗的串、并聯(lián)計(jì)算規(guī)則和電阻電路中電阻的串、并聯(lián)計(jì)算規(guī)則相同。5.3阻抗的串并聯(lián)31阻抗的串聯(lián)5.3阻抗的串并聯(lián)32阻抗的并聯(lián)5.3阻抗的串并聯(lián)33當(dāng)阻抗的連接中既有串聯(lián)又有并聯(lián)時(shí)，稱為阻抗的混聯(lián)。阻抗的混聯(lián)電路總可以通過串聯(lián)等效變換與并聯(lián)等效變換的方法逐步化簡(jiǎn)求出其等效阻抗。如果三個(gè)阻抗的一端連接在一起，另一端分別連接在外電路的三個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)上，稱為阻抗的星形連接（又稱Y形連接或T形連接）。如果三個(gè)阻抗首尾相連形成一個(gè)閉合的三角形，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)與外電路的三個(gè)節(jié)點(diǎn)連接，稱為阻抗的三角形連接（又稱△連接或π形連接）。5.3阻抗的串并聯(lián)34與電阻類似，阻抗的星形連接和三角形連接之間也可以等效變換。阻抗星形連接等效變換為三角形連接的以及阻抗三角形連接等效變換為星形連接的計(jì)算公式分別為：5.3阻抗的串并聯(lián)35特殊的，當(dāng)星形連接的三個(gè)阻抗相等時(shí)，即：則與其等效的三角形連接的三個(gè)阻抗也相等，有或記為5.3阻抗的串并聯(lián)36例題下圖所示的電路中，已知求電路中的電流相量以及各元件上的電壓。5.3阻抗的串并聯(lián)37解寫出電壓相量根據(jù)串聯(lián)等效可得：例題下圖所示的電路中，已知求電路中的電流相量以及各元件上的電壓。5.3阻抗的串并聯(lián)38可得：根據(jù)分壓關(guān)系可得：因此：5.3阻抗的串并聯(lián)39例題下圖所示的電路中，已知求電路中的電流相量以及各元件上的電流。5.3阻抗的串并聯(lián)40例題下圖所示的電路中，已知求電路中的電流相量以及各元件上的電流。解寫出電壓相量可得：5.3阻抗的串并聯(lián)41因此可得：以及：5.3阻抗的串并聯(lián)42例題下圖所示的電路中，已知求電路中的各個(gè)電流相量。5.3阻抗的串并聯(lián)43解

先求出混聯(lián)電路的等效阻抗為例題下圖所示的電路中，已知求電路中的各個(gè)電流相量。5.3阻抗的串并聯(lián)44可得：5.3阻抗的串并聯(lián)45例題下圖所示的電路（a）中，已知求它的等效星形連接電路圖（b）中的阻抗參數(shù)。5.3阻抗的串并聯(lián)46例題下圖所示的電路（a）中，已知求它的等效星形連接電路圖（b）中的阻抗參數(shù)。解

本題為阻抗三角形連接等效變換為星形連接5.3阻抗的串并聯(lián)47解

根據(jù)變換公式可得：5.4正弦電路的功率分析485.4.1瞬時(shí)功率由于在一個(gè)如圖所示的無源二端網(wǎng)絡(luò)中，既含有電阻元件，又含有電容和電感元件，因此，二端網(wǎng)絡(luò)中既有能量損耗，又有能量交換，它吸收的瞬時(shí)功率，等于它的輸入端的瞬時(shí)電壓與瞬時(shí)電流的乘積，即5.4正弦電路的功率分析495.4.1瞬時(shí)功率設(shè)圖中的電流為參考正弦量，有則瞬時(shí)功率為5.4正弦電路的功率分析505.4.1瞬時(shí)功率5.4正弦電路的功率分析515.4.2有功功率將上述瞬時(shí)功率表達(dá)式在一個(gè)周期內(nèi)求積分再取平均值得到上式表示二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率，也稱有功功率，它不僅與電壓、電流的有效值的乘積有關(guān)，而且與電壓、電流的相位差有關(guān)。式中稱為二端網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù)。5.4正弦電路的功率分析525.4.3無功功率電感和電容雖然并不消耗能量，但卻會(huì)在二端網(wǎng)絡(luò)與外電路之間造成能量往返交換的現(xiàn)象。往返交換能量的劇烈程度顯然與二端網(wǎng)絡(luò)瞬時(shí)功率無功分量的最大值有關(guān)。此值越大，則二端網(wǎng)絡(luò)與外電路往返交換的能量也劇烈。只要知道瞬時(shí)功率無功分量的最大值，就能了解往返交換能量的劇烈程度，因此定義無源二端網(wǎng)絡(luò)的無功功率為：一般情況下，若電路是感性的，則

φ

大于零，Q

為正值，網(wǎng)絡(luò)從外界“吸收”無功功率；若電路呈容性，φ

小于零，Q

為負(fù)值，網(wǎng)絡(luò)向外“發(fā)出”無功功率。5.4正弦電路的功率分析535.4.3無功功率對(duì)于一般的無源二端網(wǎng)絡(luò)，有：上式說明無源二端網(wǎng)絡(luò)的無功功率等于電流有效值的平方乘以該網(wǎng)絡(luò)等效復(fù)阻抗中的電抗。如果電抗不等于零，則該無源二端網(wǎng)絡(luò)所吸收的無功功率也將不等于零。從物理方面來講，此時(shí)該無源二端網(wǎng)絡(luò)與外界將有能量的交換。5.4正弦電路的功率分析545.4.4視在功率通常將電壓和電流有效值的乘積稱為視在功率，用大寫字母

S表示，即：視在功率的量綱與功率相同，為了與有功功率、無功功率相區(qū)分，視在功率的單位用伏安（VA）表示。視在功率S

通常用來表示電氣設(shè)備的額定容量。額定容量說明了電氣設(shè)備可能發(fā)出的最大功率，電氣設(shè)備實(shí)際發(fā)出的功率只能用其有功功率P

來衡量，有功功率一般小于視在功率，僅當(dāng)φ

=

0時(shí)，二者才相等。5.4正弦電路的功率分析555.4.4視在功率有功功率

P與視在功率

S的比值稱為電路的功率因數(shù)。一臺(tái)電氣設(shè)備在實(shí)際運(yùn)行中，到底能發(fā)出多少功率與它所連接的外電路有關(guān)，即還決定于外電路的功率因數(shù)。所以功率因數(shù)表示了一臺(tái)電氣設(shè)備實(shí)際使用時(shí)的效率，故電氣設(shè)備的容量通常用視在功率來表示，而不用有功功率來表示。5.4正弦電路的功率分析565.4.5復(fù)功率在正弦交流電路中，為了能直接應(yīng)用電壓相量與電流相量來計(jì)算功率，工程上常把有功功率

P作為實(shí)部，無功功率

Q作為虛部構(gòu)成的一個(gè)復(fù)數(shù)，稱為復(fù)功率式中

，為電流相量的共軛復(fù)數(shù)。5.4正弦電路的功率分析575.4.5復(fù)功率可以證明，對(duì)于任何復(fù)雜的正弦交流電路，其總的有功功率等于電路中各部分有功功率的代數(shù)和；總的無功功率等于各部分無功功率的代數(shù)和。在一般情況下，總的視在功率不等于各部分視在功率的代數(shù)和，但總的復(fù)功率還是等于各部分復(fù)功率之和。5.4正弦電路的功率分析58例題有一阻抗為，兩端電壓為。求阻抗上的有功功率、無功功率和視在功率。解根據(jù)歐姆定律得其共軛復(fù)數(shù)為5.4正弦電路的功率分析59可求得復(fù)功率根據(jù)復(fù)功率的定義，復(fù)功率的實(shí)部即為有功功率，復(fù)功率的虛部即為無功功率，復(fù)功率的模即為視在功率，因此可得到5.4正弦電路的功率分析60例題

已知如圖所示電路中，

，

，端口電壓為

。試求各負(fù)載以及全電路的有功功率、無功功率和視在功率。5.4正弦電路的功率分析61例題

已知如圖所示電路中，

，

，端口電壓為

。試求各負(fù)載以及全電路的有功功率、無功功率和視在功率。解串聯(lián)等效阻抗為因此有5.4正弦電路的功率分析62進(jìn)而得到兩個(gè)阻抗上的電壓分別為5.4正弦電路的功率分析63因此，可得各負(fù)載以及全電路的復(fù)功率分別為5.5功率因數(shù)的提高64有功功率代表電路在特定時(shí)間作功的能力，視在功率是電壓和電流有效值的乘積。純電阻負(fù)載的視在功率等于有功功率，其功率因數(shù)為1。若負(fù)載是由電感、電容及電阻組成的線性負(fù)載，能量可能會(huì)在負(fù)載端及電源端往復(fù)流動(dòng)，使得有功功率下降。若負(fù)載中有電感、電容及電阻以外的元件（非線性負(fù)載），會(huì)使得輸入電流的波形扭曲，也會(huì)使視在功率大于有功功率，這兩種情形對(duì)應(yīng)的功率因數(shù)會(huì)小于1。功率因數(shù)在一定程度上反映了發(fā)電機(jī)容量得以利用的比例，是合理用電的重要指標(biāo)。電力系統(tǒng)中，若一負(fù)載的功率因數(shù)較低，負(fù)載要產(chǎn)生相同有功功率輸出時(shí)所需要的電流就會(huì)提高。當(dāng)電流提高時(shí)，電路系統(tǒng)的能量損失就會(huì)增加，而且電線及相關(guān)電力設(shè)備的容量也隨之增加。提高負(fù)載功率因數(shù)，使其接近1的技術(shù)稱為功率因數(shù)修正。在實(shí)際電路中，如三相異步電動(dòng)機(jī)、日光燈等感性負(fù)載，通常是采用在負(fù)載兩端并聯(lián)電容器（或同步補(bǔ)償器）的方法來提高電路的功率因數(shù)。5.5功率因數(shù)的提高65在實(shí)際電路中，如三相異步電動(dòng)機(jī)、日光燈等感性負(fù)載，通常是采用在負(fù)載兩端并聯(lián)電容器（或同步補(bǔ)償器）的方法來提高電路的功率因數(shù)。從能量角度看，負(fù)載中磁場(chǎng)能量增減與電容中電場(chǎng)能量增減，部分地相互補(bǔ)償，從而降低了電源與負(fù)載間的能量交換；或者說利用電容發(fā)出的無功功率去補(bǔ)償負(fù)載所需的無功功率，從而減小總的無功功率，端口的功率因數(shù)得到提高。5.5功率因數(shù)的提高66未并聯(lián)電容時(shí)，電流的無功分量為并聯(lián)電容

C后，其無功分量為由電路圖知5.5功率因數(shù)的提高67例題

已知某感性負(fù)載的額定電壓為220V，有功功率為10kW，功率因數(shù)為0.85。若要把功率因數(shù)提高到0.95，求應(yīng)并聯(lián)多大的電容，并且比較并聯(lián)電容前后的電流（電源頻率為50Hz）。解未并聯(lián)電容時(shí)，負(fù)載電流（同時(shí)也為線路電流）為并聯(lián)電容后，功率因數(shù)提高到0.95，線路電流為5.5功率因數(shù)的提高68因此，可計(jì)算得5.6復(fù)雜正弦電路的分析69在正弦交流電路中引入相量后，電路歐姆定律、基爾霍夫定律以及電路中各元件的伏安關(guān)系也都可以用相量表示，并且在形式上與直流電路中所用的公式完全相同。因此，分析計(jì)算直流電路的各種方法和定理，如電阻的串并聯(lián)等效變換、星形和三角形等效變換、電壓源和電流源的等效變換、支路電流法、網(wǎng)孔電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法、疊加定理、替代定理、戴維南定理和諾頓定理等，完全適用于線性正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析計(jì)算，所不同的僅在于用電壓相量和電流相量取代了直流電壓和電流；以復(fù)阻抗和復(fù)導(dǎo)納取代了直流電阻和電導(dǎo)。5.6復(fù)雜正弦電路的分析70例題圖（a）所示電路中，已知求電感上的電壓。5.6復(fù)雜正弦電路的分析71解使用網(wǎng)孔電流法。首先將圖（a）中的電流源等效變換為電壓源，得到圖（b），其中列出網(wǎng)孔方程代入已知數(shù)值，得5.6復(fù)雜正弦電路的分析72解得因此可得電感上電壓5.6復(fù)雜正弦電路的分析73例題圖（a）所示電路中，已知求電容上的電流。5.6復(fù)雜正弦電路的分析74解使用節(jié)點(diǎn)電壓法。取原電路下方節(jié)點(diǎn)為參考點(diǎn)，標(biāo)注出各支路的電流參考方向，如圖5.21（b）所示。列出節(jié)點(diǎn)方程代入已知數(shù)值，得5.6復(fù)雜正弦電路的分析75解得因此可得電容上的電流5.6復(fù)雜正弦電路的分析76例題圖（a）所示電路中，已知求電容上的電流。5.6復(fù)雜正弦電路的分析77解使用疊加定理求解。（1）電流源單獨(dú)作用，電壓源置零，如圖（b）所示。利用并聯(lián)分流關(guān)系可得代入已知數(shù)值得5.6復(fù)雜正弦電路的分析78（2）電壓源單獨(dú)作用，電流源置零，如圖（c）所示?？傻么胍阎獢?shù)值得因此可得電容上電流5.6復(fù)雜正弦電路的分析79例題圖（a）所示電路中，已知求端口AB間的戴維南等效電路。5.6復(fù)雜正弦電路的分析80解首先在圖（a）中，根據(jù)串聯(lián)分壓關(guān)系，得到開路電壓代入已知數(shù)值得接著將獨(dú)立電源置零，如圖（b），可得AB間等效阻抗5.6復(fù)雜正弦電路的分析81代入已知數(shù)值得因此可得戴維南等效電路如圖（c）所示5.6復(fù)雜正弦電路的分析82例題

下圖所示電路中，已知和分別為電源的電壓和內(nèi)阻抗，為負(fù)載阻抗，求負(fù)載能獲得最大功率的條件。5.6復(fù)雜正弦電路的分析83解由圖中可知可求得因此可得負(fù)載的有功功率5.6復(fù)雜正弦電路的分析84上式中，對(duì)于任意

R，功率

P獲得最大值的條件是

，此時(shí)功率為上式取得最大值的條件為此時(shí)綜上，圖中負(fù)載獲得最大功率的條件為5.6復(fù)雜正弦電路的分析85例題

下圖所示電路中，已知，求電阻上的電壓。5.6復(fù)雜正弦電路的分析86解根據(jù)基爾霍夫定律有根據(jù)電阻的歐姆定律有代入可得第6章耦合電感和諧振電路第6章耦合電感和諧振電路本章分析正弦交流電路中的互感和諧振現(xiàn)象。首先介紹耦合電感及其伏安特性、含有耦合電感的電路分析方法、去耦等效變換以及空心變壓器的概念和分析方法；接著分別介紹串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振的原理和主要特性。88第6章耦合電感和諧振電路6.1耦合電感6.2含有耦合電感的電路分析6.3耦合電感的去耦等效變換6.4空芯變壓器6.5諧振電路896.1耦合電感實(shí)際電路中，常常遇到一些兩線圈相鄰的現(xiàn)象。如收音機(jī)、電視機(jī)中使用的中低頻變壓器、振蕩線圈等。當(dāng)任意一個(gè)線圈中通過電流時(shí)，必然會(huì)在其自身線圈中產(chǎn)生自感磁鏈，同時(shí)自感磁鏈的一部分也必然會(huì)穿過相鄰線圈。即穿過每個(gè)線圈的磁鏈不僅與線圈本身電流有關(guān)，也與相鄰線圈的電流有關(guān)。根據(jù)兩個(gè)線圈的繞向、電流參考方向和兩線圈的相對(duì)位置，按右手螺旋法則可判定電流產(chǎn)生的磁鏈方向和兩線圈的相互交鏈情況。這種載流線圈之間磁鏈相互作用的物理現(xiàn)象稱為磁耦合或互感現(xiàn)象。具有磁耦合的線圈稱為耦合電感線圈或互感線圈。906.1耦合電感如圖所示的耦合線圈916.1.1

互感與自感系數(shù)的定義類似，可以定義為耦合線圈的互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱互感?；ジ械膯挝慌c自感相同，在國(guó)際制單位中也是亨利（H）。6.1耦合電感耦合線圈間的互感在無鐵芯的情況下是一個(gè)與各線圈所通過的電流及其變動(dòng)率無關(guān)的常量，而只與兩線圈的結(jié)構(gòu)、尺寸、匝數(shù)、相互位置和周圍介質(zhì)的磁導(dǎo)率有關(guān)，這種情況下的耦合線圈，稱為線性耦合電感。鐵磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率不是常量，鐵芯耦合電感的磁鏈?zhǔn)请娏鞯姆蔷€性函數(shù)，其互感系數(shù)不是常量，構(gòu)成非線性耦合電感。本書只討論線性耦合電感。926.1.1

互感6.1耦合電感互感的量值反映了一個(gè)線圈在另一個(gè)線圈產(chǎn)生磁鏈的能力，通常兩個(gè)耦合線圈的電流產(chǎn)生的磁通只有部分磁通相互交鏈，而彼此不交鏈的那一部分磁通稱為漏磁通。為了表征兩個(gè)線圈耦合的緊密程度，把兩個(gè)線圈互感磁鏈與自感磁鏈的比值的幾何平均值定義為耦合系數(shù)，即936.1.1

互感6.1耦合電感由于946.1.1

互感可得耦合系數(shù)k

的大小與線圈的結(jié)構(gòu)、相互位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)。如果兩個(gè)線圈靠得很緊或緊密的繞在一起，則k

值可以接近于1，反之，如果它們相隔很遠(yuǎn)，或者它們的軸線互相垂直，則k

值就很小，甚至可能接近于零。6.1耦合電感如果耦合電感每個(gè)電感線圈兩端電壓的參考方向與磁鏈的參考方向符合右手螺旋法則，此時(shí)電感線圈的端電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，有956.1.2

耦合電感的伏安關(guān)系在耦合線圈相對(duì)位置、繞向和電流的流入方向確定的情況下，上式中互感電壓的極性可確定。在實(shí)際應(yīng)用中，線圈往往是密封的，看不到實(shí)際繞向，互感電壓的極性難以確定，而且在電路圖中繪出繞向也不方便。為此，引入同名端的概念。6.1耦合電感如圖所示為耦合線圈的電路模型，其中“?”表示同名端。耦合電感的同名端可通過實(shí)驗(yàn)方法確定：在耦合電感的一個(gè)線圈（如L1）的一端（如a），輸入正值且為增長(zhǎng)的電流（如

i1），在另一個(gè)線圈（如L2）將產(chǎn)生互感電壓，將電流流入端和互感電壓的高電位端（如c）做相同的標(biāo)記，通常用“?”表示，標(biāo)有標(biāo)記的一對(duì)端子稱為同名端，另一對(duì)沒有標(biāo)記的也為同名端；有標(biāo)記和沒有標(biāo)記的一對(duì)端子稱為異名端。966.1.2

耦合電感的伏安關(guān)系6.1耦合電感利用同名端可判定耦合電感互感電壓的參考極性，方法如下：當(dāng)電流從線圈的同名端流入時(shí)，在另一線圈上所產(chǎn)生的互感電壓的參考極性由同名端指向另一端（即互感電壓的“+”極性端與同名端一致）。互感電壓的極性確定后，耦合電感的伏安關(guān)系式便可列出。976.1.2

耦合電感的伏安關(guān)系6.1耦合電感如圖所示耦合電感的伏安關(guān)系分別為：986.1.2

耦合電感的伏安關(guān)系6.1耦合電感99例題

如圖所示的耦合電感，寫出其端口的伏安關(guān)系式。6.1耦合電感100解從圖中可知，i1

與

u1

為關(guān)聯(lián)參考方向，自感電壓為正；i2從帶“?”的同名端流入，在

L1上產(chǎn)生的互感電壓“+”極性端與同名端一致，即下“+”上“-”，與

u1極性相反，互感電壓為負(fù)，因此有i2

與

u2為非關(guān)聯(lián)參考方向，自感電壓為負(fù)；i1從不帶“?”的同名端流入，在

L2上產(chǎn)生的互感電壓“+”極性端與同名端不一致，即上“+”下“-”，與

u2極性相同，互感電壓為正，因此有6.1耦合電感在計(jì)算含有耦合電感的正弦交流電路時(shí)，仍可采用相量法，基爾霍夫電流定律的形式仍然不變，但在基爾霍夫電壓定律的表達(dá)式中，應(yīng)正確計(jì)入由于耦合電感引起的互感電壓。如果通過耦合線圈的兩個(gè)電流為同頻率的正弦電流，由它們產(chǎn)生的互感電壓也是同頻率的正弦量。當(dāng)線圈電流和由它引起的互感電壓的參考方向?qū)τ谕耸且恢拢赐擞邢嗤膮⒖茧妷簶O性）時(shí)，有1016.1.2

耦合電感的伏安關(guān)系6.1耦合電感當(dāng)線圈電流和由它引起的互感電壓的參考方向?qū)τ谕瞬灰恢拢赐擞邢喾吹膮⒖茧妷簶O性）時(shí)，有1026.1.2

耦合電感的伏安關(guān)系上述式子中稱為互感感抗，單位是歐姆。6.2含有耦合電感的電路分析兩個(gè)耦合電感線圈的串聯(lián)有順向串聯(lián)和反向串聯(lián)兩種接法。順向串聯(lián)是把兩個(gè)線圈的異名端相連，電流從兩個(gè)線圈的同名端流入，兩個(gè)線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)相互增強(qiáng)，如圖（a）所示。反相串聯(lián)是把兩個(gè)線圈的同名端相連，電流從兩個(gè)線圈的異名端流入，兩個(gè)線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)相互削弱，如圖（b）所示。1036.2.1

耦合電感的串聯(lián)6.2含有耦合電感的電路分析根據(jù)基爾霍夫定律可以寫出兩種串聯(lián)情況下的電壓表達(dá)式分別為：1046.2.1

耦合電感的串聯(lián)因此耦合電感串聯(lián)時(shí)的兩種情況的等效阻抗可以統(tǒng)一寫為6.2含有耦合電感的電路分析式中稱為串聯(lián)等效電感，順向串聯(lián)時(shí)取正號(hào)，等效電感增加，反向串聯(lián)取負(fù)號(hào)時(shí)，等效電感減少。利用這個(gè)結(jié)論，也可以用實(shí)驗(yàn)方法判斷耦合電感的同名端。應(yīng)該注意，反向串聯(lián)有削弱電感的作用，互感的這種作用稱為互感的“容性”效應(yīng)。在一定的條件下，可能有一個(gè)線圈的自感小于互感，則該線圈呈容性反應(yīng)，即其端電壓滯后于電流。但串聯(lián)后的等效電感必然大于或等于零，即1056.2.1

耦合電感的串聯(lián)6.2含有耦合電感的電路分析106例題

兩個(gè)耦合電感串聯(lián)后接到220V的工頻正弦電壓電源上，測(cè)得順向串聯(lián)時(shí)的電流為2.2A，功率為242W，反相串聯(lián)時(shí)的電流為4A。求互感系數(shù)。解順向串聯(lián)的等效阻抗為根據(jù)已知條件，順向串聯(lián)時(shí)有6.2含有耦合電感的電路分析107因此可得順向串聯(lián)的等效電感反相串聯(lián)的等效阻抗為可得反相串聯(lián)的等效電感6.2含有耦合電感的電路分析108所以，可得互感系數(shù)6.2含有耦合電感的電路分析兩個(gè)耦合電感線圈的并聯(lián)也有兩種接法，如圖（a）電路為同側(cè)并聯(lián)，即同名端在同一側(cè)。圖（b）電路為異側(cè)并聯(lián)，即異名端在同一側(cè)。1096.2.2

耦合電感的并聯(lián)6.2含有耦合電感的電路分析對(duì)于并聯(lián)的兩條支路分別應(yīng)用基爾霍夫電壓定律可得1106.2.2

耦合電感的并聯(lián)上述兩項(xiàng)中互感電壓項(xiàng)前面的符號(hào)，同側(cè)并聯(lián)取“+”，異側(cè)并聯(lián)取“-”。求解上列兩式得到6.2含有耦合電感的電路分析可得端口總電流1116.2.2

耦合電感的并聯(lián)因此，端口等效阻抗為在

的特殊情況下，有6.2含有耦合電感的電路分析此時(shí)電路的等效電感為1126.2.2

耦合電感的并聯(lián)耦合電感同側(cè)并聯(lián)時(shí)，磁場(chǎng)增強(qiáng)，等效電感增大，分母取負(fù)號(hào)；耦合電感異側(cè)并聯(lián)時(shí)，磁場(chǎng)削弱，等效電感減小，分母取正號(hào)。6.3耦合電感的去耦等效變換113在分析求解含有耦合電感的電路時(shí)，耦合電感的互感作用可用受控源等效。對(duì)于有一個(gè)公共端的耦合電感，也可用三個(gè)沒有耦合作用的電感元件等效。6.3耦合電感的去耦等效變換114耦合電感的受控源等效。6.3耦合電感的去耦等效變換115T型耦合電感的去耦等效。6.3耦合電感的去耦等效變換116關(guān)于耦合電感的去耦等效變換需要注意以下幾點(diǎn)：（1）去耦等效電路只適用于線性耦合電感元件。如果是非線性耦合電感元件，去耦等效電路不適用。（2）去耦等效電路只是對(duì)耦合元件端口而言等效，它只能用來分析計(jì)算耦合電感元件端口的電流和電壓。（3）T型電路去耦時(shí)，耦合電感元件兩個(gè)互感支路應(yīng)有公共節(jié)點(diǎn)。（4）在去耦等效電路的參數(shù)中出現(xiàn)-M，它本身沒有實(shí)際的物理意義。6.3耦合電感的去耦等效變換117例題

電路如圖（a）所示，已知求電流和電容上的電壓。6.3耦合電感的去耦等效變換118解首先對(duì)圖（a）中的T形耦合電感進(jìn)行去耦等效，得到圖（b），計(jì)算輸入阻抗為代入已知數(shù)值得因此可得電流6.3耦合電感的去耦等效變換119以及所以可得6.4空芯變壓器120變壓器是利用互感來實(shí)現(xiàn)從一個(gè)電路向另一個(gè)電路傳輸能量或信號(hào)的一種器件，空芯變壓器是由繞在非鐵磁材料制成的芯子上并且具有互感的線圈組成的，它不會(huì)產(chǎn)生由鐵芯引起的能量損耗，廣泛應(yīng)用在高頻電路中，也應(yīng)用在測(cè)量設(shè)備中。分析空芯變壓器時(shí)可以采用與耦合線圈相同的電路模型。如圖所示是空芯變壓器的電路模型圖，與電源相聯(lián)的一邊稱為原邊(或原繞組)，也叫初級(jí)線圈；與負(fù)載相聯(lián)的一邊稱為副邊(或副繞組)，也叫次級(jí)線圈。6.4空芯變壓器121根據(jù)圖示的電流、電壓參考方向和同名端，可寫出下列方程整理后得其中6.4空芯變壓器122可解得其中可得到空芯變壓器的等效電路6.4空芯變壓器123例題下圖所示變壓器電路中，已知求變壓器的耦合系數(shù)以及原邊和副邊的電流。6.4空芯變壓器124解根據(jù)定義得變壓器的耦合系數(shù)可求得原邊和副邊電流分別為6.5諧振電路125在具有電感和電容元件的電路中，電路兩端的電壓與其中的電流一般是不同相的。如果調(diào)節(jié)電路的參數(shù)或電源的頻率而使電路呈電阻性，即電路的電壓與電流同相，把電路的這種現(xiàn)象稱為諧振現(xiàn)象，簡(jiǎn)稱諧振。諧振現(xiàn)象的物理本質(zhì)是電路中無功功率完全補(bǔ)償，自給自足，無需與外界交換能量。諧振現(xiàn)象在電工和無線電技術(shù)中有著非常廣泛的應(yīng)用，而在電力輸配電系統(tǒng)中發(fā)生諧振時(shí)又可能破壞系統(tǒng)的正常工作狀態(tài)，必須加以避免。因此，研究諧振的目的就是要充分認(rèn)識(shí)這種現(xiàn)象的客觀規(guī)律。按照發(fā)生諧振的電路結(jié)構(gòu)，諧振現(xiàn)象可以分串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振。6.5諧振電路1266.5.1串聯(lián)諧振串聯(lián)諧振電路由電阻、電感和電容串聯(lián)而成，如圖所示。根據(jù)定義，諧振發(fā)生的條件為電路呈現(xiàn)純電阻性，即發(fā)生諧振的角頻率稱為諧振角頻率6.5諧振電路1276.5.1串聯(lián)諧振對(duì)于給定的電路，為了實(shí)現(xiàn)諧振，可固定電路參數(shù)（L或C），改變電源頻率；也可以固定電源頻率，改變電感或電容參數(shù)。調(diào)節(jié)而達(dá)到諧振的過程稱為調(diào)諧。對(duì)于任一給定的RLC串聯(lián)電路，總有一個(gè)對(duì)應(yīng)的諧振頻率，它反映了電路的一種固有性質(zhì)。因此又稱為電路的固有頻率，它是由電路自身參數(shù)確定的。6.5諧振電路1286.5.1串聯(lián)諧振當(dāng)RLC串聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí)，電路具有以下特性。（1）電抗為零，阻抗最小且為一純電阻，電路中的電流最大，并且與外加電壓同相位，即（2）串聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí)，盡管電抗為零，但感抗和容抗都不為零，這時(shí)的感抗或容抗稱為特性阻抗，即6.5諧振電路1296.5.1串聯(lián)諧振（3）串聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí)，有所以有即串聯(lián)諧振時(shí)電感與電容上的電壓的有效值相等，相位相反，相互完全補(bǔ)償，因此串聯(lián)諧振又稱為電壓諧振。6.5諧振電路1306.5.1串聯(lián)諧振定義為諧振電路的感抗或容抗與電路電阻之比，稱為串聯(lián)電路的品質(zhì)因數(shù)，工程上簡(jiǎn)稱Q

值。它是一個(gè)僅與電路參數(shù)有關(guān)而無量綱的常數(shù)，用來表征諧振電路的性能，還可表示為Q

越大，或的值就越大于電源電壓。在收音機(jī)中利用串聯(lián)諧振電路來選擇電臺(tái)信號(hào)，就是應(yīng)用了這一原理。在電子系統(tǒng)中，Q

值一般為10~500。但是在電力系統(tǒng)中，一般要避免發(fā)生串聯(lián)諧振現(xiàn)象，避免出現(xiàn)過高的電壓破壞電氣設(shè)備的絕緣性。6.5諧振電路1316.5.1串聯(lián)諧振（4）串聯(lián)電路發(fā)生諧振時(shí)，由于電抗為零，阻抗角為零，電路的功率因數(shù)=1，因此有此時(shí)，電路的有功功率即為電阻元件消耗的功率，電路的無功功率為零，即電路的磁場(chǎng)儲(chǔ)能和電場(chǎng)儲(chǔ)能之間的相互轉(zhuǎn)換僅在電感和電容之間進(jìn)行，而與電源沒有儲(chǔ)能交換。6.5諧振電路1326.5.1串聯(lián)諧振在RLC串聯(lián)電路中的感抗、容抗、電抗、阻抗模和阻抗角等表示電路性質(zhì)的量均是電源角頻率的函數(shù)，均可用隨角頻率變化的曲線來表示，這些量隨角頻率變化的曲線叫頻率特性曲線，如圖所示。6.5諧振電路1336.5.1串聯(lián)諧振當(dāng)電源電壓一定時(shí)，電路的電流有效值為從圖中可知，當(dāng)

時(shí)，電流達(dá)到最大值，即諧振電流，越偏離諧振點(diǎn)電抗越大，電流也就越小。這表明，串聯(lián)諧振電路具有選擇出最接近諧振頻率的電流的能力，這種特性稱為電路的選擇性。6.5諧振電路1346.5.1串聯(lián)諧振工程上常將諧振電流的0.707倍對(duì)應(yīng)的兩個(gè)頻率點(diǎn)之間的寬度稱為帶寬，又稱為通頻帶，它規(guī)定了諧振電路容許通過信號(hào)的頻率范圍從圖中可知，當(dāng)

時(shí)，電流達(dá)到最大值，即諧振電流，越偏離諧振點(diǎn)電抗越大，電流也就越小。這表明，串聯(lián)諧振電路具有選擇出最接近諧振頻率的電流的能力，這種特性稱為電路的選擇性。6.5諧振電路1356.5.1串聯(lián)諧振根據(jù)定義，在和處，有整理后得6.5諧振電路1366.5.1串聯(lián)諧振可解得因此可得通頻帶或者6.5諧振電路1376.5.1串聯(lián)諧振當(dāng)

Q>10的情況下，可以認(rèn)為諧振頻率位于通頻帶的中心點(diǎn)，則截止頻率的計(jì)算可以簡(jiǎn)化為6.5諧振電路1386.5.1串聯(lián)諧振為了使電流諧振曲線具有普遍意義，將橫坐標(biāo)改為

，縱坐標(biāo)改為

，可以作出對(duì)應(yīng)不同

Q值的標(biāo)準(zhǔn)化諧振曲線如圖所示。由圖可見，較大的

Q值對(duì)應(yīng)較尖銳的電流諧振曲線，而較尖銳的電流諧振曲線意味著電路有較高的選擇性。因此

Q值越大，電路的通頻帶越窄，選頻特性越好。反之，Q值越小，電路的通頻帶越寬，選頻性也就越差。當(dāng)強(qiáng)調(diào)電路的選頻性時(shí)，就希望通頻帶窄一些，當(dāng)強(qiáng)調(diào)電路的信號(hào)通過能力時(shí)，則希望通頻帶寬一些。在實(shí)際選擇電路的

Q值時(shí)，需要兼顧這兩方面的要求。6.5諧振電路139例題

已知RLC串聯(lián)電路中求該電路的諧振角頻率、帶寬、上截止角頻率頻率和下截止角頻率。解

諧振角頻率為品質(zhì)因數(shù)為帶寬以及上下截止角頻率分別為6.5諧振電路140例題

將一線圈（