湖北省“宜荊荊恩”高三上學(xué)期9月起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試題

湖北省2025屆高三（9月）起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試卷命題單位：荊州市教科院審題單位：恩施州教科院宜昌市教科院2024.9本試卷共4頁(yè)，19題，全卷滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘★祝考試順利★注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上，1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)集合間的運(yùn)算即可求解.【詳解】解：，，，故.故選：C.2.已知兩條直線(xiàn)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由兩直線(xiàn)平行求出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)后可求，從而可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】，故，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第四象限，故選：D.4.將這個(gè)數(shù)據(jù)作為總體，從這個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取個(gè)數(shù)據(jù)作為一個(gè)樣本，則該樣本的平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得總體平均數(shù)，然后利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】依題意可知，總體平均數(shù)為，從這個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取個(gè)數(shù)據(jù)作為一個(gè)樣本，情況如下：選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，所以該樣本的平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)的概率為.故選：D5.已知，則（）A.或7 B.或 C.7或7 D.7或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式可求，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，故，故，故，故，故選：B.6.已知點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，且.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn)分別交于，設(shè)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式可求最小值.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，故即，故為的中點(diǎn)，因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，故存在實(shí)數(shù)，使得，故，而，因?yàn)椴还簿€(xiàn)，故即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，故選：C.7.一個(gè)三角形紙板的三個(gè)頂點(diǎn)為，以邊上的高所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，將三角形紙板旋轉(zhuǎn)，則紙板掃過(guò)的空間所形成的幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】幾何體為兩個(gè)半圓錐構(gòu)成，根據(jù)圓錐體積可求該幾何體的體積.【詳解】，而為三角形內(nèi)角，故，故，故，故，故幾何體的體積為故選：A.8.若不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，依題意可得恒成立，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，求出，即可得到，從而得到，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可得解.【詳解】令，則恒成立，又，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出，從而得到.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合為D.函數(shù)在上是增函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】利用倍角公式求出，再求其周期判斷A的真假；利用輔助角公式化簡(jiǎn)與，分析函數(shù)的性質(zhì)，判斷B，C，D的真假.【詳解】對(duì)A：，所以.故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，?dāng)即時(shí)，函數(shù)有最大值，故B正確；對(duì)C：由，故C正確；對(duì)D：，由，令得，函數(shù)在上遞增，在右側(cè)一定是先單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)C.D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，利用賦值法再結(jié)合偶函數(shù)即可求解；對(duì)B，先推出的周期，再結(jié)合中心對(duì)稱(chēng)的結(jié)論即可求解；對(duì)C，利用周期性即可求解；對(duì)D，利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性即可求解.【詳解】對(duì)A，滿(mǎn)足，令，則，即f1=0又為偶函數(shù)，，故A對(duì)；對(duì)B，，，故的周期，再根據(jù)，即，∴fx的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，故B對(duì)；對(duì)C，由B知：的周期，故，，令，則f2又當(dāng)時(shí)，，即，即，，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，滿(mǎn)足，∴fx關(guān)于1,0又當(dāng)時(shí)，∴fx在0,2當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，，故D對(duì)故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答此類(lèi)有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的題目，關(guān)鍵點(diǎn)在于要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，利用賦值法以及代換法，推出函數(shù)相應(yīng)的性質(zhì).11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線(xiàn)，這兩條切線(xiàn)與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.直線(xiàn)與圓相切C.的周長(zhǎng)的最小值為D.的面積的最小值為【答案】BD【解析】【分析】分別對(duì)直線(xiàn)，的斜率是否存在進(jìn)行討論，對(duì)各種情況下各選項(xiàng)的內(nèi)容進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，直線(xiàn)在圓的左邊，直線(xiàn)在圓的右邊.首先，若直線(xiàn)的斜率不存在，則，，設(shè)直線(xiàn)的方程為：即.因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以，此時(shí)直線(xiàn)：與曲線(xiàn)只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意；其次，若直線(xiàn)的斜率不存在，則，，設(shè)直線(xiàn)的方程為：即.因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以，此時(shí)直線(xiàn)：，所以.此時(shí)：，，，.所以，故A不成立；直線(xiàn)：，由得直線(xiàn)與圓相切，故B成立；因?yàn)?，所以的周長(zhǎng)為，滿(mǎn)足C選項(xiàng)；，滿(mǎn)足D選項(xiàng).最后，直線(xiàn)，的斜率都存在時(shí)：設(shè)（且），，.所以，所以直線(xiàn)的方程為：，即.因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以：.同理可得：.所以為方程的兩根.所以：，.又直線(xiàn)的方程為：，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為：.所以直線(xiàn)與圓相切，故B正確；又，又，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為：.所以.令，，.設(shè)當(dāng)時(shí)，恒成立.所以當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以.所以在和上單調(diào)遞增，在0,2上單調(diào)遞減.又因?yàn)?，，所?所以，符合D.綜上可知，的面積的最小值為，故D正確.又的內(nèi)切圓半徑為1，所以，所以.即周長(zhǎng)的最小值為，故C錯(cuò)誤.故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：若的內(nèi)切圓半徑為，三邊長(zhǎng)分別為，則，故求周長(zhǎng)的最小值，可以利用三角形面積的最小值來(lái)求.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.已知某種商品的廣告費(fèi)（單位：萬(wàn)元）與銷(xiāo)售額（單位：萬(wàn)元）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：134571418304246根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則當(dāng)廣告費(fèi)為10萬(wàn)元時(shí)，銷(xiāo)售額預(yù)測(cè)值為_(kāi)_________萬(wàn)元.【答案】66【解析】【分析】先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)求出，再將代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程即可求解.【詳解】解：由題意知：，，將樣本中心點(diǎn)代入，即，解得：，故，將代入，即.故答案為：66.13.過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)，則該直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)圍成的三角形的面積是__________.【答案】##【解析】【分析】求出過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程和漸近線(xiàn)方程后可求三角形的面積.【詳解】由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)傾斜角為的直線(xiàn)過(guò)右焦點(diǎn)，由雙曲線(xiàn)可得漸近線(xiàn)方程為，雙曲線(xiàn)的半焦距為，故右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)傾斜角為的直線(xiàn)方程為，由可得交點(diǎn)坐標(biāo)為，由可得交點(diǎn)坐標(biāo)為，傾斜角為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)圍成的三角形的面積為，故答案為：.14.已知數(shù)列有30項(xiàng)，，且對(duì)任意，都存在，使得.（1）__________；（寫(xiě)出所有可能的取值）（2）數(shù)列中，若滿(mǎn)足：存在使得，則稱(chēng)具有性質(zhì).若中恰有4項(xiàng)具有性質(zhì)，且這4項(xiàng)的和為20，則__________.【答案】①.②.1047【解析】【分析】①根據(jù)題意代入即可求解；②先根據(jù)題意分析出具有性質(zhì)的項(xiàng)，易知從開(kāi)始是以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列求和即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，或，當(dāng)時(shí)，，或，或時(shí)有或，當(dāng)時(shí)，，或，或時(shí)有或，或時(shí)有或或，綜上所述：的所有可能取值為：.中恰有4項(xiàng)具有性質(zhì)，且這4項(xiàng)的和為20，故，，即具有性質(zhì)，則易知從開(kāi)始是以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列，.故答案：；1047.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列新定義問(wèn)題的求解，涉及到根據(jù)新定義求解數(shù)列中的項(xiàng)、數(shù)列求和等知識(shí)；關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確理解所給的新定義，得到所給數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列之間的關(guān)系.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2），.【解析】【分析】（1）利用得出數(shù)列是等比數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式；（2）由已知求得，得出是等差數(shù)列，求出其前項(xiàng)和，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得出數(shù)列與的前項(xiàng)和的關(guān)系，從而求得結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】由，則當(dāng)時(shí)兩式相減得，所以.將代入得，，所以對(duì)于，故an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】.，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故.16.如圖，長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在上，且，.（1）求證：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先證，，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理證明平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求二面角的余弦.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又且，平面，所以平面，且平面，故，同理，，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，在平面中，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則，可取由（1）知，平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面與平面的夾角為，則故所求的夾角的余弦值為.17.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和橢圓上一點(diǎn)，求的值，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）分直線(xiàn)不存在斜率和存在斜率兩種情況討論.當(dāng)直線(xiàn)存在斜率時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程，與橢圓處聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，用韋達(dá)定理表示出與，再把轉(zhuǎn)化成的關(guān)系，求出的值即可.【小問(wèn)1詳解】聯(lián)立得，故所求橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】如圖：易知.①當(dāng)斜率為0時(shí)，或，不符合題意.②當(dāng)斜率不為0時(shí)設(shè)，設(shè)Ax1,y1，聯(lián)立消去得.所以，由得，代入以上兩式消去得.故，化為一般方程為.18.如圖所示，在研究某種粒子的實(shí)驗(yàn)裝置中，有三個(gè)腔室，粒子只能從室出發(fā)經(jīng)室到達(dá)室.粒子在室不旋轉(zhuǎn)，在室?室都旋轉(zhuǎn)，且只有上旋和下旋兩種狀態(tài)，粒子間的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)相互獨(dú)立.粒子從室經(jīng)過(guò)1號(hào)門(mén)進(jìn)入室后，等可能的變?yōu)樯闲蛳滦隣顟B(tài)，粒子從室經(jīng)過(guò)2號(hào)門(mén)進(jìn)入室后，粒子的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)發(fā)生改變的概率為.現(xiàn)有兩個(gè)粒子從室出發(fā)，先后經(jīng)過(guò)1號(hào)門(mén)，2號(hào)門(mén)進(jìn)入室，記室兩個(gè)粒子中，上旋狀態(tài)粒子的個(gè)數(shù)為.（1）已知兩個(gè)粒子通過(guò)1號(hào)門(mén)后，恰有1個(gè)上旋狀態(tài)1個(gè)下旋狀態(tài).若這兩個(gè)粒子通過(guò)2號(hào)門(mén)后仍然恰有1個(gè)上旋狀態(tài)1個(gè)下旋狀態(tài)的概率為，求；（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)，若兩個(gè)粒子經(jīng)過(guò)2號(hào)門(mén)后都為上旋狀態(tài)，求這兩個(gè)粒子通過(guò)1號(hào)門(mén)后都為上旋狀態(tài)的概率.【答案】（1）或（2）分布列見(jiàn)解析，1（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，從而求得.（2）根據(jù)獨(dú)立事件概率計(jì)算求得的分布列，并求得數(shù)學(xué)期望.（3）根據(jù)全概率公式以及條件概率計(jì)算公式求得正確答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)“兩個(gè)粒子通過(guò)2號(hào)門(mén)后仍然恰有1個(gè)上旋狀態(tài)1個(gè)下旋狀態(tài)”.事件A發(fā)生即通過(guò)2號(hào)門(mén)時(shí)，兩個(gè)粒子都不改變或都改變旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，故，解得或.【小問(wèn)2詳解】由題知，時(shí)分3類(lèi)情形，①兩個(gè)粒子通過(guò)1號(hào)門(mén)后均處上旋狀態(tài)，通過(guò)2號(hào)門(mén)后均不改變狀態(tài)；②兩個(gè)粒子通過(guò)1號(hào)門(mén)后一個(gè)上旋狀態(tài)一個(gè)下旋狀態(tài)，通過(guò)2號(hào)門(mén)后上旋狀態(tài)粒子不改變狀態(tài)，下旋狀態(tài)粒子改變狀態(tài)；③兩個(gè)粒子通過(guò)1號(hào)門(mén)后兩個(gè)均為下旋狀態(tài)，通過(guò)2號(hào)門(mén)后均改變狀態(tài)，所以，同理，，所以所求的分布列為X012P所以所求數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)3詳解】設(shè)“兩個(gè)粒子通過(guò)1號(hào)門(mén)后處于上旋狀態(tài)粒子個(gè)數(shù)為個(gè)”，，“兩個(gè)粒于通過(guò)2號(hào)門(mén)后處于上旋狀態(tài)的粒于個(gè)數(shù)為2個(gè)”，則，，則.故.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在1,+∞上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）帕德近似（Padeapproximation）是數(shù)學(xué)中常用的一種將三角函數(shù)?指數(shù)函數(shù)