湖南省長沙市四縣區(qū)2024屆高三下學期3月調研考試數學試卷含答案解析

2024年3月高三調研考試試卷數學（長沙縣?望城區(qū)?瀏陽市?寧鄉(xiāng)市聯(lián)合命制）注意事項：1.本試題卷共5頁，共四個大題，19個小題.總分150分，考試時量120分鐘.2.接到試卷后，請檢查是否有缺頁?缺題或字跡不清等問題.如有，清及時報告監(jiān)考老師.3.答題前，務必將自己的姓名?考號寫在答題卡和該試題卷的封面上，并認真核對條形碼的姓名?考號和科目.4.作答時，請將答案寫在答題卡上.在草稿紙?試題卷上答題無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則＝（）A. B.C. D.2.已知為等差數列的前項和，若，則（）A.76 B.72 C.36 D.323.設，是兩個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為2，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.5.將甲?乙?丙?丁4個人全部分配到三個地區(qū)工作，每個地區(qū)至少有1人，則不同的分配方案為（）A.36種 B.24種 C.18種 D.16種6.過點與圓相切兩條直線夾角為，則（）A. B. C. D.7.鈍角中，，則（）A.1 B. C. D.08.已知拋物線的焦點為，斜率為的直線經過點，并且與拋物線交于兩點，與軸交于點，與拋物線的準線交于點，若，則（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設為非零復數，則下列命題中正確是（）A. B.C. D.若，則的最大值為210.已知函數，把的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，以下說法正確的是（）A.是圖象的一條對稱軸B.的單調遞減區(qū)間為C.圖象關于原點對稱D.的最大值為11.已知是定義在上的連續(xù)函數，且滿足，當時，，設（）A.若，則B.是偶函數C.在上是增函數D.的解集是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一組數據如下：，則這組數據的第75百分位數是__________.13.一個正四棱錐底面邊長為2，高為，則該四棱錐的內切球表面積為__________.14.已知對任意，且當時，都有：，則的取值范圍是__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的等邊三角形，為圓弧的兩個三等分點，是的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.16.已知函數（1）當時，求函數的極值；（2）若函數在區(qū)間上是減函數，求實數的取值范圍；17.春節(jié)臨近，為了吸引顧客，我市某大型商超策劃了抽獎活動，計劃如下：有A、B、C三個抽獎項目，它們之間相互不影響，每個項目每位顧客至多參加一次，項目A中獎的概率是，項目B和C中獎的概率都是.（1）若規(guī)定每位參加活動的顧客需要依次參加A、B、C三個項目，如果A、B、C三個項目全部中獎，顧客將獲得100元獎券；如果僅有兩個項目中獎，他將獲得50元獎券；否則就沒有獎券.求每位顧客獲得獎券金額的期望；（2）若規(guī)定每位顧客等可能地參加三個項目中的一個項目.已知某顧客中獎了，求他參加的是A項目的概率.18.如圖，已知分別是橢圓的右頂點和上頂點，橢圓的離心率為的面積為1.若過點的直線與橢圓相交于兩點，過點作軸的平行線分別與直線交于點.（1）求橢圓的方程.（2）證明：三點的橫坐標成等差數列.19.若存在常數，使得數列滿足（，），則稱數列為“數列”.（1）判斷數列：1，2，3，8，49是否為“數列”，并說明理由；（2）若數列是首項為的“數列”，數列是等比數列，且與滿足，求的值和數列的通項公式；（3）若數列是“數列”，為數列前項和，，，試比較與的大小，并證明.

2024年3月高三調研考試試卷數學（長沙縣?望城區(qū)?瀏陽市?寧鄉(xiāng)市聯(lián)合命制）注意事項：1.本試題卷共5頁，共四個大題，19個小題.總分150分，考試時量120分鐘.2.接到試卷后，請檢查是否有缺頁?缺題或字跡不清等問題.如有，清及時報告監(jiān)考老師.3.答題前，務必將自己的姓名?考號寫在答題卡和該試題卷的封面上，并認真核對條形碼的姓名?考號和科目.4.作答時，請將答案寫在答題卡上.在草稿紙?試題卷上答題無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則＝（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由補集和并集的定義直接求解.【詳解】集合，，則，.故選：B2.已知為等差數列的前項和，若，則（）A.76 B.72 C.36 D.32【答案】C【解析】【分析】根據題意，結合等差數列的求和公式，即可求解.【詳解】在等差數列的求和公式，可得.故選：C.3.設，是兩個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，且，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由空間中的線面關系結合充分必要條件的判斷得答案【詳解】由，，則，又，所以，故“”是“”的充分條件.當滿足，，時，直線可能平行，可能相交，也可能異面.故“”不是“”的必要條件.故選：A4.已知雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為2，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意，利用雙曲線的幾何性質，求得，結合，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得其漸近線為，不妨取，即，且焦點，因為焦點到一條漸近線的距離為2，可得，所以雙曲線的離心率.故選：B.5.將甲?乙?丙?丁4個人全部分配到三個地區(qū)工作，每個地區(qū)至少有1人，則不同的分配方案為（）A.36種 B.24種 C.18種 D.16種【答案】A【解析】【分析】把4個人按分成3組，再分配到三個不同地區(qū)即可.【詳解】依題意，三個地區(qū)中必有一個地區(qū)有2人，先在甲?乙?丙?丁4個人中選2個人有種組合，將這兩個人捆綁在一起看作一個元素，與其他2個人一起分配到三個地區(qū)，共有種.故選：A6.過點與圓相切的兩條直線夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求圓心和半徑，然后設出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出切線方程，再根據兩直線的夾角公式即可求出.【詳解】化為標準方程為，圓心為(2,1),半徑為1,過點(0,0)與圓相切的兩條直線夾角為，設切線為，點線距離為，則，解得或，故切線為或，故根據兩直線的夾角公式得，且易知一定為第一象限角，解得.故選:A7.鈍角中，，則（）A.1 B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】根據題意，利用正弦定理化簡得到，進而得到，進而判定得到為鈍角，得出，結合兩角差的余弦公式，即可求解.【詳解】因為，由正弦定理得，在鈍角中，，所以，即且為銳角，所以，所以，若為鈍角，則，可得，這與矛盾，所以只可能為鈍角，所以，所以.故選：D.8.已知拋物線的焦點為，斜率為的直線經過點，并且與拋物線交于兩點，與軸交于點，與拋物線的準線交于點，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設準線與軸的交點為，過作準線的垂線，垂足為，，根據拋物線的定義以及三角形的性質可得，根據含角的直角三角形的性質可得答案.【詳解】當在第一象限時，設準線與軸的交點為，過作準線的垂線，垂足為，因為，且為的中點，所以為三角形的中位線，即，所以，又根據拋物線的定義，所以，所以在直角三角形中，，所以，此時，根據對稱性，當在第四象限時，，故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設為非零復數，則下列命題中正確的是（）A. B.C. D.若，則的最大值為2【答案】BD【解析】【分析】對于A，結合題意進行判斷，舉反例即可，對于B，設,先求出共軛復數和模的平方，求解即可，故B正確，對于C,舉反例證明即可，對于D，利用畫出圖形，利用幾何意義求解即可.【詳解】對于A，設，當均不為0時，為虛數，而為實數，所以不成立，故A錯誤；對于B，則，所以，而，所以成立，故B正確；對于C，設，又，所以，故C錯誤.對于D，則復數對應的點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，的幾何意義為復數對應的點與兩點間的距離，所以，如圖可知，當點時，最大，取最大值，則最大值為2，故D正確.故選:BD.10.已知函數，把的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，以下說法正確的是（）A.是圖象的一條對稱軸B.的單調遞減區(qū)間為C.的圖象關于原點對稱D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據題意，求得的圖象，結合三角函數的圖象與性質，以及兩角差的正弦公式，逐項判定，即可求解.【詳解】將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，對于A中，令，求得，即為函數最大值，所以直線是函數圖象的一條對稱軸，所以A正確；對于B中，令，解得，可得的單調減區(qū)間為，所以B正確.對于C中，由于是偶函數，可得函數的圖象關于軸對稱，所以C錯誤.對于D中，由，即的最大值為，所以D正確.故選：ABD.11.已知是定義在上的連續(xù)函數，且滿足，當時，，設（）A.若，則B.是偶函數C.在上是增函數D.的解集是【答案】ACD【解析】【分析】取得到，取，計算得到A正確，確定，計算得到B錯誤，取，計算得到C正確，考慮，和三種情況，根據函數單調性解得D正確，得到答案.【詳解】對選項A：取得到，即，取，得到，又，，解得，正確；對選項B：取得到，即，，函數定義域為，函數為奇函數，錯誤；對選項C：設，則，時，，故，，故，即，函數單調遞增，正確；對選項D：，，當時，，則，故；當時，不成立；當時，，則，故；綜上所述：，正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一組數據如下：，則這組數據第75百分位數是__________.【答案】【解析】【分析】根據題意，利用百分位數的計算方法，即可求解.【詳解】由題意，數據，可得，故第75百分位數是第個數，即為.故答案為：.13.一個正四棱錐底面邊長為2，高為，則該四棱錐的內切球表面積為__________.【答案】##【解析】【分析】根據三角形相似求出內切球半徑，再利用球的表面積公式求其表面積.【詳解】由題意可知該幾何體為正四棱錐，如圖，為內切球的球心，是棱錐的高，分別是的中點，連接是球與側面的切點，可知在上，，設內切球半徑為，則，由△∽△可知，即，解得，所以內切球表面積為.故答案為：.14.已知對任意，且當時，都有：，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】依題意可得對任意的當恒成立，令，即可得到在上單調遞減，求出函數的導函數，即可得到在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.【詳解】因為對任意，且當時恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以恒成立①，令，由①式可得，所以在上單調遞減，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又，當且僅當，即時取等號，.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是將式子變形得到對任意的當恒成立，從而將問題轉化為函數在區(qū)間上單調遞減求參數問題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的等邊三角形，為圓弧的兩個三等分點，是的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明：取的中點，連接，由題意可證得，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小問1詳解】證明：取的中點，連接.因為為圓弧的兩個三等分點，所以.因為分別為的中點，所以，則，從而四邊形為平行四邊形，故.因為平面平面，所以平面.【小問2詳解】解：以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，所以，，則.設平面的法向量為，則令，得.設平面的法向量為，則令，得.設平面與平面所成銳二面角為，則.故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.16.已知函數（1）當時，求函數的極值；（2）若函數在區(qū)間上是減函數，求實數的取值范圍；【答案】（1）極小值為1，無極大值（2）【解析】【分析】（1）求定義域，求導，根據導函數求出單調區(qū)間，從而得到極值情況；（2）由題意得在區(qū)間上，參變分離，構造函數，求出最小值，得到答案.【小問1詳解】時，，定義域為，，令，解得，令，解得，故在處取得極小值，，的極小值為，無極大值.【小問2詳解】在區(qū)間上為減函數，∴在區(qū)間上，，令，只需，顯然在區(qū)間上為減函數，，17.春節(jié)臨近，為了吸引顧客，我市某大型商超策劃了抽獎活動，計劃如下：有A、B、C三個抽獎項目，它們之間相互不影響，每個項目每位顧客至多參加一次，項目A中獎的概率是，項目B和C中獎的概率都是.（1）若規(guī)定每位參加活動的顧客需要依次參加A、B、C三個項目，如果A、B、C三個項目全部中獎，顧客將獲得100元獎券；如果僅有兩個項目中獎，他將獲得50元獎券；否則就沒有獎券.求每位顧客獲得獎券金額的期望；（2）若規(guī)定每位顧客等可能地參加三個項目中的一個項目.已知某顧客中獎了，求他參加的是A項目的概率.【答案】（1）16（2）【解析】【分析】（1）根據題意先寫出獲得獎券金額的可能取值，再根據相互獨立事件的概率乘法公式計算得出對應的概率后即可計算數學期望；（2）根據條件概率定義及計算公式計算可得.【小問1詳解】設一位顧客獲得元獎券，則的可能取值為100，50，0，，，，所以每位顧客獲得獎券金額的期望是（元）【小問2詳解】設“該顧客中獎”為事件，參加項目A，，分別記為事件，，，則，所以，即已知某顧客中獎了，則他參加的是A項目的概率是.18.如圖，已知分別是橢圓的右頂點和上頂點，橢圓的離心率為的面積為1.若過點的直線與橢圓相交于兩點，過點作軸的平行線分別與直線交于點.（1）求橢圓的方程.（2）證明：三點的橫坐標成等差數列.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】分析】（1）根據已知條件列出方程組計算即可得出結果；（2）設直線方程與橢圓方程聯(lián)立，設，進而利用韋達定理證明即可得出結果.小問1詳解】依據題意，解得：橢圓的方程為.【小問2詳解】解法1：設直線直線過點.聯(lián)立方程組可得：，設，則：，，，令可得：，下面證明：.即證：，即證：整理可得即證：，即證：，整理可得即證：，即證：，上式成立，原式得證.解法2：設軸，設直線過點.由方程組可得：當時，，，又三點共線，，，即.點在直線上，，，即三點的橫坐標成等差數列.解法3：設直線直線過點.聯(lián)立方程組可得：，設，則：，又三點共線，三點的橫坐標成等差數列.【點睛】關鍵點