5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（精講）（原卷版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（精講）三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]無對(duì)稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對(duì)稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無二．周期函數(shù)1.周期函數(shù)概念條件①對(duì)于函數(shù)f(x)，存在一個(gè)非零常數(shù)T(T>0)②當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)結(jié)論函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期2.最小正周期條件如果周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)結(jié)論這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期一．用三角函數(shù)圖象解三角不等式(1)作出相應(yīng)正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在[0，2π]上的圖象；(2)寫出適合不等式在區(qū)間[0，2π]上的解集；(3)根據(jù)公式一寫出不等式的解集.二．求三角函數(shù)周期(1)定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解.(2)公式法，對(duì)形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A≠0，ω≠0)的函數(shù)，T＝eq\f(2π,|ω|).(3)觀察法，即通過觀察函數(shù)圖象求其周期.三．判斷函數(shù)奇偶性(1)看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(2)看f(－x)與f(x)的關(guān)系.對(duì)于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時(shí)可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡(jiǎn)后再判斷.四．單調(diào)區(qū)間的求法求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要先把ω化為正數(shù)．(1)當(dāng)A>0時(shí)，把ωx＋φ整體代入y＝sinx或y＝cosx的單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，求得的x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．(2)當(dāng)A<0時(shí)，把ωx＋φ整體代入y＝sinx或y＝cosx的單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，求得的x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；代入y＝sinx或y＝cosx的單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．五．比較三角函數(shù)值大小(1)異名函數(shù)化為同名函數(shù)．(2)利用誘導(dǎo)公式把已知角轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上．(3)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。笕呛瘮?shù)值域或最值（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函數(shù)，令t＝ωx＋φ，根據(jù)題中x的取值范圍，求出t的取值范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出y＝sint的最值(值域).(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx，將函數(shù)y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)化為關(guān)于t的二次函數(shù)y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域(最值).(3)對(duì)于形如y＝asinx(或y＝acosx)的函數(shù)的最值還要注意對(duì)a的討論.考點(diǎn)一“五點(diǎn)法”作圖的應(yīng)用【例1-1】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）作出下列函數(shù)在一個(gè)周期圖象的簡(jiǎn)圖：(1)；(2)；(3)；(4)．【例1-2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，作出下列函數(shù)的圖象，把這些圖象與的圖象進(jìn)行比較，你能發(fā)現(xiàn)圖象變換的什么規(guī)律？（1）；（2）；（3）.考點(diǎn)二正弦、余弦函數(shù)的周期【例2-1】（2023湖南）下列函數(shù)中，最小正周期為π的函數(shù)是（

）A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝sin D．y＝cos【例2-2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)，最小正周期為的是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．2．（2023北京）下列函數(shù)中，最小正周期為π的函數(shù)是（

）A． B．C． D．3．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）（多選）下列函數(shù)中，是周期函數(shù)的是（）A． B．C． D．4．（2023春·江西上饒·高一校聯(lián)考期中）（多選）下列函數(shù)，最小正周期為的有（

）A． B．C． D．考點(diǎn)三正弦、余弦函數(shù)的奇偶性【例3-1】7．（2023春·四川眉山·高一?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【例3-2】（2021春·陜西榆林·高一?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)）是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例3-3】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)；(2)；(3).【一隅三反】1．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)（

）A．是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)B．是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)2．（2023春·云南文山·高一?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中，最小正周期為的偶函數(shù)是（）A． B．C． D．3．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值可以是（

）A．0 B．C． D．4．（2023秋·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級(jí)中學(xué)?？计谀ǘ噙x）以下函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四正弦、余弦函數(shù)的對(duì)稱性【例4-1】（2023春·北京·高一北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的圖象（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【例4-2】（2023春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？计谀┮阎?shù)，如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023云南）函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心可以是（）A． B． C． D．2．（2023春·四川成都·高一?？计谥校┫铝兄本€中，可以作為曲線的對(duì)稱軸的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·河南駐馬店·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱考點(diǎn)五正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性【例5-1】（2023春·重慶江津·高一?？计谥校ǘ噙x）函數(shù)在（

）A．區(qū)間上是增函數(shù) B．區(qū)間上是增函數(shù)C．區(qū)間上是減函數(shù) D．區(qū)間上是減函數(shù)【例5-2】（2022春·上海浦東新·高一校考期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.【例5-3】（2023春·廣西欽州·高一?？计谥校ǘ噙x）下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【例5-4】（2023春·安徽馬鞍山·高一安徽省當(dāng)涂第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【一隅三反】1．（2023春·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級(jí)中學(xué)校考期中）函數(shù)的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間是（）A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.4．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．5．（2023秋·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學(xué)校考期末）已知函數(shù)其中．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)六正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用【例6-1】（2023春·福建泉州·高一校聯(lián)考期中）下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【例6-2】（2023春·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·廣西欽州·高一校考期中），，的大小順序是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．3．（2023春·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)校考期中）設(shè)，則大小關(guān)系（

）A． B．C． D．考點(diǎn)七正弦、余弦函數(shù)的最值(值域)問題【例7-1】（2023春·四川眉山·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則的值域是（

）A． B． C． D．【例7-2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最小值是．【例7-3】（2023春·河南周口·高一周口恒大中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋纠?-4】（2023春·四川眉山·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1（2022秋·江蘇常州·高一常州高級(jí)中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的值域是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·陜西安康·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的最小值是．3．（2023春·江西宜春·高一江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若在上的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的值域?yàn)?考點(diǎn)八正切函數(shù)圖像及性質(zhì)【例8】（2024秋·廣東）（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為B．在上單調(diào)遞減C．D．的定義域?yàn)椤疽挥缛础?．（2023春·遼寧大連·