三角恒等變換（十一大題型）（講義）（解析版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含2024年高考試題+回歸教材）

第02講三角恒等變換

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：兩角和與差的正余弦與正切............................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:二倍角公式...........................................................................4

知識(shí)點(diǎn)3:降次（幕）公式.......................................................................5

知識(shí)點(diǎn)4:半角公式.............................................................................5

知識(shí)點(diǎn)4:輔助角公式...........................................................................6

解題方法總結(jié)...................................................................................7

題型一：兩角和與差公式的證明..................................................................8

題型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式.............................................................12

題型三：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與變形................................................14

題型四：利用角的拆分求值.....................................................................16

題型五：給角求值..............................................................................18

題型六：給值求值..............................................................................20

題型七：給值求角..............................................................................22

題型八：正切恒等式及求非特殊角...............................................................25

題型九：三角恒等變換的綜合應(yīng)用...............................................................27

題型十：輔助角公式的高級(jí)應(yīng)用.................................................................30

題型十一：積化和差、和差化積公式.............................................................32

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)...........................................................35

05課本典例高考素材...........................................................36

06易錯(cuò)分析答題模板...........................................................39

易錯(cuò)點(diǎn)：不會(huì)應(yīng)用輔助角公式...................................................................39

答題模板：三角關(guān)系式的化簡(jiǎn)求值...............................................................40

1/41

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換

2024年I卷第4題，5分的結(jié)合點(diǎn)上，高考會(huì)側(cè)重綜合推理能力和運(yùn)

（1）基本公式2024年II卷第13題，5分算能力的考查，體現(xiàn)三角恒等變換的工具性

作用，以及會(huì)有一些它們?cè)跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用.

（2）三角恒等變換2024年甲卷第8題，5分

求值2023年II卷第7題，5分這就需要同學(xué)熟練運(yùn)用公式，進(jìn)一步提

年卷卷第題，分高運(yùn)用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問(wèn)題的自覺(jué)

（3）輔助角公式2023III85

2022年II卷第6題，5分性，體會(huì)一般與特殊的思想、換元的思想、

2021年甲卷第U題，5分方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的

作用.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）會(huì)推導(dǎo)兩角差的余弦公式

（2）會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式

（3）掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用

（4）能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等

變換

2/41

3/41

,老占空硒-躺理操空L、

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1：兩角和與差的正余弦與正切

①sin((z±0)=sinacos/3±cosasin/?；

@cos(cr±=cosacosyff+sincrsin13；

③tan(a±0=里吧加目;

1+tanatan0

tan11°+tan19°

【診斷自測(cè)】

tan11°tanl9°-1

【答案】一百

33

［解析］tanl：+tan|9。tan11°+tan19°

-tan(ll°+19°)=-tan30°

tan11tan19-11-tanlftanl9°T

故答案為：-走

3

知識(shí)點(diǎn)2：二倍角公式

①sin2a=2sinacosa；

②cos2a=cos2-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；

③tan2a=屈*

1-tana

71I，則饃5(m5兀+27］的值為(

【診斷自測(cè)】已知sin-----a)

126

24c￡7

A.—B.-----D.

252525

【答案】D

【解析】cosf^+2aUcos5兀+a。一1

=2cos2

1212J

4/41

=2sin21-1=27

展1=-25

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)3：降次（幕）公式

.1.c.2l—cos2al+cos2a

smocosa=-sm2o;sina--------------;cos2a---------------

222

【診斷自測(cè)】已知函數(shù)/(x)=2sinA:cosx+2^/3cos2x-y/3.

（1）求/'（X）的最小正周期和單調(diào)區(qū)間;

⑵若/(?)=1，求cos(2a+W的值.

【解析】(1)因?yàn)?(x)=2sinxcosx+26cos—-/=sin2x+@cos2x=2sin2x+

77r

可得/（無(wú)）的最小正周期T=T=

TTjrjr57rjr

令2kjt—<2x+—<2kji+—,kGZ,解得ku----<x<ku---，左EZ；

2321212

qrqr3ITJT77r

令2E+—<2x+—<2左兀+——*eZ,解得EH---<x<kn-\----,kGZ；

2321212

所以/（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間為+#eZ,單調(diào)遞減區(qū)間為也+3而+9,keZ.

(2)因?yàn)?"(?)=25詒(2￡+1]=《，即sin(2a+1]=得

7157i4兀

且a￡貝lJ2a+§e

所以cosf2cr+-^-j=cos(2a+j^=cosf2a+0c4+sin(2a+?sin曙海1

6jI3)6I3)626

知識(shí)點(diǎn)4：半角公式

5/41

asinaI-cosa

tan—=-----------=------------

21+cos。sin。

【診斷自測(cè)】(2024?高三?河北?期末)已知tang=2,則廣匕-廣匕的值為

21-cos61+cos0

【答案】-j3

ee

2sin—cos—2sin—cos—

sin。sin32222

【解析】(法，—Ose

1+cos。1(2。

1-cos—-sm—1+cos—-sm—

I22JI22J

e_.993.9

2sm—cos2sin—cos—cos—sin—

_2222_221e

0?2。.e0e2

2sm—2cos2sin—cos—tan—

22222

649口2x24

(法二)因?yàn)閠ang=2,所以tane=---------彳==_

21-tan20I3

2

sin。sin。2sin0cos2sin0cos02sincos2cos62

Ijlll----------------------------=-------------------------------=-----------------=-----------------=---------=------

、」l-cos。1+cos0(l-cos0)^+cos6,)1-cos20sin20sin。tang

3

故答案為：一萬(wàn).

知識(shí)點(diǎn)4：輔助角公式

22ab、

asina+bcosa=yja+bsin(。+cp)(其中sin9=.,coscp=~/—,tancp——)?

心+/g+/a

【診斷自測(cè)】當(dāng)％時(shí)，/(x)=2sinx+co&x取最小值，求sina的值—

【答案】_走巨石

55

【解析】由/(x)=2sinx+cosx=j^sinx+；=cosx，\^sin卜+夕)，

其中sin6=^^,cos。=，

52"5

又當(dāng)x=a時(shí)，/(x)取最小值,

6/41

貝ija+6=2左兀一m，左￡Z,且/(a)=V^sin(a+8)=—逐,

所以sina=sin^2kn-=-cos0=-

故答案為：-垣.

解題方法總結(jié)

1、兩角和與差正切公式變形

tana±tan(3=tan(a±/?)(1+tanatan/?)；

_1tana+tanBtana-tanB1

tana-tanp=l-------------------=--------------------1.

tan(cr+tan?-B)

2、降塞公式與升嘉公式

.l-cos2a2I+cos2a.I.

sin2a=------------；cosa--------------；sinacosa=—sin2a；

222

I+cos2a=2cos2a；l-cos2a=2sin2a；I+sin2a=(sina+cosa)2；l-sin2a=(sina一cos6z)2.

3、其他常用變式

.c2sinacosa2tana入cos2?-sin2aI-tan2aasinal-cosa

sin2a=——----------—=---------—;cos2a=-----------—=---------—；tan—=------------=—-------

sin6Z+cosal+tanasina+cosal+tana2l+cosasma;

fy1

4、拆分角問(wèn)題：①a=25；a=(a+B)-B;②a=〃一(￡-a)；@a=—[(a+/3)+(a-]3)]；

|-T-T-q-r

④￡=3(a+￡)-("￡)]；⑤]+a=5-(1a).

注意：特殊的角也看成已知角,如"”,辦

5、和化積公式

a+Ba-B

sina+sinp=2sin------cos.......-

22

a-p

sina-sinp=2cossin

2

cosa+cosp=2coscos———

22

a+B.a-(3

cosa-cosp=-2sin------sin

22

7/41

6、積化和公式

a+/?)+cos(a

cosa-cosp二_0]

cos(a-￡)-cos(a

sina?sinp二+m]

題型一：兩角和與差公式的證明

【典例1-1】閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有

sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin/?①，

sin(tz-y0)=sinacos/3-cosasin/3②，

由①+②得sin(a+/)+sin(a—/)=2sinacos〃③.

A0AODHrlA+BA—B、/日,.nc?A+BA—B

令a+。=A,a-B=B,則°=-----,Bn=--------,代/Li入③得SHL4+sm5=2sm--------cos--------.

2222

(1)利用上述結(jié)論，試求sinl5o+sin75。的值；

J_R

(2)類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cos^-cosB=-2sinsin.

,的上C/1、?y。?ru。15°+75°15°-75°V6

【角牛析】(1)sinl5+sin75=2sin-----------cos------------=——;

222

(2)證明：根據(jù)兩角和與差的余弦公式，有

cos(a+〃)=cosacosp—sinasin#①，

cos(a-P^=cosacos/3+sinasin/3②，

由①-②得cos(a+〃)-cos(a-0=-2sinasin/?③.

人oAnr>nilA+BA-B八、、廠\/口/A.-\-B.A—B

令a+B=A,a-P=B,則0=-------,Bn-----,代入③得cos/-cosB=-2sm--------sm--------.

2222

【典例1-2]如圖，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)當(dāng)左〃+尸(左EZ)時(shí)，以x軸非負(fù)半軸

為始邊作角a,B，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)6(cosa,sina),0(cos尸,sin/?).

8/41

(1)敘述并利用上圖證明兩角差的余弦公式；

(2)利用兩角差的余弦公式與誘導(dǎo)公式.證明：sin(a-/?)=sinacos/?-cosasin/?.

(附：平面上任意兩點(diǎn)片(巧,必)，P]8,%)間的距離公式唱=一w)2+(%一%)

【解析】(1)兩角差的余弦公式為：cos(a-P)=cosacos+sinasin/?.

證明：作角a-6的終邊與單位圓相交于點(diǎn)尸(cos(a-0),sin(a-￡)).

連接。出,。尸，

若把扇形尸繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，角，則點(diǎn)尸分別與點(diǎn)2記重合.

根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性可知，0?與礪重合,

從而觸=礪，所以。尸=24.

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得

[cos(a-/?)-1]2+sin2(6z-y5)=(cosa-cos時(shí)+(sina-sin/?)2

化簡(jiǎn)得cos9—〃)=cosacos,+sinasin0.

當(dāng)a=2左乃+，(左EZ)時(shí)，容易證明上式仍然成立.

(2)證明：由誘導(dǎo)公式可知，sin(a—￡)=—cos^+a-4

=幾0

而cosl—+a-/)=cos工+acos夕+sinl-1+a卜in夕

12

=-sinacos/3+cosasin夕，

故sin(a-￡)=-1-sinacos夕+cosasin(i\=sinacoscosasinP.

即證結(jié)論.

【方法技巧】

推證兩角和與差公式就是要用這兩個(gè)單角的三角函數(shù)表示和差角的三角公式，通過(guò)余弦定理或向量數(shù)

量積建立它們之間的關(guān)系，這就是證明的思路.

【變式1-1]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，單位長(zhǎng)度為半徑的圓上有兩點(diǎn)尸(cosa,sine),

Q(cos尸,sin/?).

9/41

(1)請(qǐng)分別利用向量而與麗的數(shù)量積的定義式和坐標(biāo)式，證明：cos(tz-/?)=cosacos/?+sinasin/?.

(2)已知(1)中的公式對(duì)任意的a,7?都成立(不用證)，請(qǐng)用該公式計(jì)算cosl5°的值，并證明：

sin(a+/?)=sinacos0+cosasin，.

【解析】(1)證明：根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積公式可得

OPOQ=cosacos戶+sinasin(3，

再根據(jù)兩個(gè)數(shù)量積的定義

OPOQ=|(?P|-cos(P~a)=cos(/7-a)=sin(a-/?),

/.cos(a-P)=cosacos￡+sinasin0.

(2)由(1)可得cosl5°=cos(45°-30°)

=cos45°cos30°+sin45°sin30°

V2V3V21V6+V2

=x--1--x—=-----.

22224

,71

sin(a+,)=cos--(?+/?)

=sinacos/3+cosasin/3,即證.

【變式1-2】在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時(shí)，我們可以利用平面向量的有關(guān)知識(shí)來(lái)研究，在一定程度上

可以簡(jiǎn)化推理過(guò)程.如我們就可以利用平面向量來(lái)推導(dǎo)兩角差的余弦公式：

cos（cr一,）=cosacos/?+sinasin0.

具體過(guò)程如下：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOr內(nèi)作單位圓O,以O(shè)x為始邊作角。,力.它們的終邊與單位

圓。的交點(diǎn)分別為48.

10/41

則OA=（cosa,sina）,08=（cos夕,sin/7）,由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有OA-OB=cosacos+sinasin/3.

設(shè)。礪的夾角為8,則04。8=|04卜|。而cos9=cos8=cosacos，+sinasin，，另一方面，由圖（1）可

知，a=2kji+/3+0；

由圖（2）可知戊=2左"+,一6,于是。一夕二2左乃士仇左EZ.

所以cos（a-夕）=cos。,也有cos（a-/?）=cosacos/?+sinasin￡；

所以，對(duì)于任意角M僅有：cos（?~P）=coscos/?+sinasinp［Ca_p）.

此公式給出了任意角a,夕的正弦、余弦值與其差角a-/的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡(jiǎn)

記作Cai.有了公式Q.夕以后，我們只要知道cosa,cos/?,sina,sin/的值，就可以求得cos（a-6）的值了.

閱讀以上材料，利用圖（3）單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)（圖中M是45的中點(diǎn)），采取類似方法（用其他方法解答

正確同等給分）解決下列問(wèn)題：

⑴判斷］=志而是否正確？（不需要證明）

a+Ba-B

(2)證明：sina+sin/?=2sin-------cos--------

22

一1一_k

【解析】（1）因?yàn)閷?duì)于非零向量鞏而幾是［方向上的單位向量，又|反|=1且兩與反共線,

11/41

所以反=4正確；

\OM|

(2)因?yàn)镸為45的中點(diǎn)，貝

從而在AOAM中，|。河|=|OA|.cos#2a=cos」2a，

又前二產(chǎn)L兩衣二(cos*2,sin"2],

\OM\I22J

又???〃■是48的中點(diǎn)

.痂產(chǎn)產(chǎn)g,包等叼,二回3？

.a+B1(sina+sin尸、八八

所以2a-BI2J，化間得，sina+sin/?=2sin------cos--------.

cos......-v722

結(jié)論得證.

題型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式

【典例2-1】(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè))已知sinasin[a+/]=costzsinK-a],則tan12a+：

()

A.2-V3B.-2-V3C.2+V3D.-2+百

【答案】B

【解析】由題意a+'sinacosacos2a--sinacosa,BP^-cos2a=—sin2a,

222222

兀

r一23

(\tan2a+tan一_V3+1

即tan2a=6，所以tan2a+—=-----------------

I4Jl-tan2crtan—-1-V3-2

4

故選：B.

【典例2-2】（2024?浙江?三模）若5畝（。-/）+（：0$伍一/?）=2也81111-：，11/?，則（）

A.tan(6Z-y0)=-lB.tan(or-/?)=l

C.tan(a+/?)=—lD.tan(cr+/?)=l

【答案】C

【解析】因?yàn)閟in(a-￡)+cos(a-/?)=2Rin|a-；Fin/?,

12/41

兀?兀)?々

所以sinacos/3-cosasinJ3+cosacos/3+sinasin0=6ZCOS——cos?sin—sinp,

44)

即sintzcosp-cosasin夕+cosacos夕+sinasin夕=2sinasin尸一2cosasin夕,

即sinacosf3+coscrcos/?=sinasinP-cosasin〃,

兩邊同除cosacos4可得tana+1=tanatan(3-tan/7,

所以taMa+用當(dāng)*

-1

1-tanatanp

故選：C

【方法技巧］

兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用。，夕的三角函數(shù)表示?！?的三角函數(shù),

在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的.

【變式2-1］（多選題）下列選項(xiàng)中，值為三的是()

A.2cos215°B.sin27°cos3°+cos27°sin3°

tan22.5°

C.2sin15°sin75°D.

l-tan222.5°

【答案】BCD

選項(xiàng)A：2cme83。。="^'故選項(xiàng)A不符合題意;

【解析】

選項(xiàng)B：sin27°cos3°+cos27°sin3。=sin30°=-,故選項(xiàng)B符合題意;

2

選項(xiàng)C：2sin15sin75°=2sinl50cosl5°=sin30°=—,故選項(xiàng)C符合題意;

2

tan22.5°12tan22.5°1.11心、小用廠?人口占*

選項(xiàng)D：匚高EF匚而4予=5.45。=5,故選項(xiàng)c付合題忌.

故選：BCD.

jr

【變式2-2］（多選題）已知0<a<〃<5，且1211%12116是方程252_10；1+1=0的兩根，下列選項(xiàng)中正確

的是（）

A.tan(a+Q)=gsin(a+〃)6

?COS(6Z-/J)11

4--7T

C.tan(a-0)=-D.6Z+2/7——

【答案】AD

7T

【解析】1@11￡推114是方程252-10_￥+1=0的兩根，又0<a<￡<5,

解得tana='tan夕=—,

73

13/41

11

—+—

tan…=更”型噠二

73A選項(xiàng)正確;

1-tanatan/1?——1x-1

73

sin(a+/?)sinacos/3+cosasin°tana+tan0

B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C0S(6T-/?)cosacos尸+sinasin[31+tanatan/?

11

tangm=tana-tan"7~32

C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

1+tanatan/

-7L)TT

0<a</3<Q,tan(a+Q=g貝ij0<a+尸<萬(wàn),有0<a+2,<兀，

11

—I—

tan(a+〃)+tan,23

tan(cr+2/?)=tan[(a+，)+￡]=二1,

l-tan(a+〃)tan〃

1——1x-1

23

TT

a+2/?=—,D選項(xiàng)正確.

4

故選：AD.

題型三：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與變形

【典例3-1】(2024?高三?陜西商洛?期中)已知戊，，滿足(l+tana)(l—tan〃)=2,貝I］夕—a=___.

【答案】GZ)

【解析】因?yàn)?1+tana)。-tan#)=1+tana—tan/7—tanatan，=2,

gptana-tanfi=1+tanatan13,整理得匕”“=一1,即匕"/?-。)=一1,

1+tanatanB

IT

所以分一。=一1+左兀(左￡Z).

故答案為：一：+左兀(左wZ).

【典例3?2】計(jì)算：tan730-tan1930-V3tan73°tan13°=___.

【答案】G

【解析】由題意tan73°-tanl3°-6tan73°tanl3°=tan。3°-13°)(+tan73°tanl30+#tan73tan13=樞.

故答案為：百.

【方法技巧】

運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形.公式的逆用

14/41

和變形應(yīng)用更能開(kāi)拓思路，增強(qiáng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.

【變式3-1】cos(a+30°)cosa+sin(a+30°)sina=__.

【答案】立

22

【解析】因?yàn)閏os(a+30°)cosa+sin(a+30°)sina=co](a+30)-句=cos30°,

故答案為：叵.

2

32

【變式3-2］(2024?江西?模擬預(yù)測(cè))已知cos(a+/7)=《，cos(7cos/?貝!Jcos(2a—2，)=.

【答案】/

..32

【解析】因?yàn)閏os(a+尸)=cosacos/?-sinasin/7=—,cosacos/?=—,

］_

所以sinasin/?=一

5

所以cos(a-/7)=cosacos/?+sinasin〃,

23

所以cos(2a-2/?)=cos2(a-/?)=2cos2(a-/7)-l=-w.

故答案為：-||.

【變式3-3]已知0,；,sin/?+sin/=sina,cosa+cosy=cos/,貝!JP~a=

【答案】-j

［解析］由sin/?+sin/=sina,cosa+cos/=cos夕,

可得sin/=sina—sin#,cos/=cos，-coscr,

2

兩式平方相加，可得：1=(sina-sin尸y+(cos/?-coscr)=2-2(sin/sina+cosf3cosa)=2-2cos(尸-a),

即cos(/7一a)=；,

又由7可得sin/=sina-sin夕〉0,所以sina>sin￡,所以力

因?yàn)閍,尸且cos(〃-a)=；,所以0-￡=-*

故答案為：-三.

71

【變式3-4］設(shè)cosa+cos4=—,sina-sin4,則sin2022(a+/?)+cos2022(a+/?)=.

15/41

【答案】1

【解析】由cos。+cos/?=j=>cos2cr+cos2/7+2cos6Zcos/7=—(1),

11

sina-sin/7=《=sin2a+sin2/?-2sinasin4=-(2),

(1)+(2),得2+2cos(a+〃)=2=cos(a+〃)=0,

所以sin2(a+夕)=1-cos2(a+1)=1,

故sin2022(a+/)+cos2022(a+0=1.

故答案為：1

題型四：利用角的拆分求值

【典例4-1]（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知sin[a+e]=],則sin（2a+詈）=.

7

【答案】-/0.875

8

【解析】因?yàn)閟in[c+《]=：,則

sm=sm

7

故答案為：—.

O

【典例4-2】已知a,月均為銳角，sinfa-好，sinf-J/7]=巫，貝i]cos"2的值為（）

I2J512J102

.41「V2r.逝

----DR.----

221010

【答案】B

717TKu”分/兀兀、a。/兀兀

【解析】因?yàn)樵戮鶠殇J角，即0<a<—,0</?<—,所以。一不￡（—后不），-y+/?e（--,-

乙?乙乙1乙

七2a+,「/B、(a0、、/B、(a0、.(B、.，a°、

所以cos-------=cos[(a-----)+(------F￡)]=cos(6r-----)cos(------FB)-sin(a-----)sin(------F,)

2222222

16/41

故選：B.

【方法技巧】

常用的拆角、配角技巧：2tz=(e+￡)+(e-￡)；a=(a+4)一夕=(a—￡)+￡；

」+邛；YL°AL。__o7V7C|7C|

Ja-B)15=45-30；——\-a=-----------a

42<4J

等.

【變式4-1](2024?山東?模擬預(yù)測(cè))已知cos(adcoscz=合，則sin|2a+—]=()

<J/JVo)

77

A.——B.——(—D.--

25252525

【答案】B

【解析】由

(兀、471..714兀.兀4

cosa——-coscr=—=>coscrcos—+sincrsin--coscr=—=>coscrcos——sinasm—=——=

I3j5335335

cos[a+工]二一±

I3j5

所以cos(2a+g]=2cos2(a+[一]=.,

=cos

LUsin^2a+^=cos-^2a+^j]^2a]=-cos(2a+^-\=一--.

)I3J25

故選：B

【變式4-2】已知3sin6+走cos6=l，則cos(5=()

22

1d-4

A.—B.--(

33

【答案】c

【解析】因?yàn)椤籹in6+走cos6=1,

22

所以6*ine+；cos“=l,

所以sin[e+F]=g,

Xcos^y+20^=l-2sin2^+^,

17/41

所以cos(兀1+2“=g,

3

故選：C.

【變式4-3］若a為銳角，且sin［a—e］=|,則cos2a=(

242477

A.B.C.D.

25252525

【答案】A

［解析］：a￡(09，.二戊一^^一刁,%

sin(2a-^-)=2sin(a-；)cos(a-^-)=2x|-xy=-^-,

TTTT24

則cos2a=sin(--2a)=-sin(2a--)=--

故選：A.

題型五：給角求值

2sin18°f3cos29°-sin29°-ll

【典例5-1](2024?重慶-模擬預(yù)測(cè))式子-------------廣---------化簡(jiǎn)的結(jié)果為()

cos6°+V3sin6°

A-IB.1C.2sin