2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三（上）第一次學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年長(zhǎng)沙市麓山國(guó)際實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三（上）第一次學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={1,2,3}，B={x|x2?2x?2<0}，則A∩B=A.{1} B.{1,2} C.{1,2,3} D.?2.復(fù)數(shù)z=2?4i1+i，則z的虛部為(

)A.3 B.?3 C.?i D.?13.已知向量a=(?1,2)，b=(?3,1)，則a在b上的投影向量為(

)A.(?32,12) B.(?4.已知函數(shù)f(x)=ln(?x2+ax?1)在[2,3]上單調(diào)遞減，則A.(?∞,4] B.[6,+∞) C.(103,4]5.已知函數(shù)f(x)=3x?tlnx存在兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(

)A.(e3,+∞) B.(?∞,e3)6.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為(

)A.13 B.25 C.237.如圖，在△OAB中，C是AB的中點(diǎn)，P在線(xiàn)段OC.上，且OC=2OP.過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)交線(xiàn)段OA，OB分別于點(diǎn)N，M，且OM=mOB，ON=nOA，其中m，A.12 B.23 C.1 8.已知函數(shù)f(x)=3sinωx?cosωx(ω>0)在(0,π3)上存在最值，且在(A.(0,23] B.[52,二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法中，正確的命題有(

)A.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,δ2)，P(ξ<4)=0.84，則P(2<ξ<4)=0.34

B.以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)z=lny，求得線(xiàn)性回歸方程為z=0.3x+4，則c，k的值分別是e4和0.3

C.在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越好

D.若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x10.已知函數(shù)f(x)=3sinωxcosωx?sin2ωx+12A.ω=2

B.將f(x)的圖象向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)

C.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?7π12,0)對(duì)稱(chēng)

D.11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，PA.三棱錐A1?APD的體積為定值

B.A1P//平面ACD1

C.AP+B1P的最小值為22

D.當(dāng)A三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3+a413.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1,14.已知橢圓：x2a2+y2=1(a>1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P是y軸正半軸上一點(diǎn)，PF1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，a=7，A為鈍角，sin2B=37bcosB．

(1)求∠A；

(2)從條件①、條件②和條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求△ABC的面積．

①b=7；

②cosB=1314；

③csinA=52316.(本小題15分)

某機(jī)構(gòu)為了了解某地區(qū)中學(xué)生的性別和喜愛(ài)游泳是否有關(guān)，隨機(jī)抽取了100名中學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：喜歡游泳不喜歡游泳合計(jì)男生25女生35合計(jì)已知在這100人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為35．

(1)請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

(2)依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)聯(lián)；

(3)將樣本頻率視為總體概率，在該地區(qū)的所有中學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，計(jì)抽取的3人中喜歡游泳的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．

附：χ2P(0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82817.(本小題15分)

如圖所示，在三棱錐P?ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AB．

(1)證明：AB⊥AC．

(2)若PA=PC=AB=AC=2，點(diǎn)M滿(mǎn)足PB=3PM，求直線(xiàn)AP與平面ACM所成角的正弦值．18.(本小題17分)

已知直線(xiàn)x?2y+1=0與拋物線(xiàn)C：y2=2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=415．

(1)求p；

(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，且∠MFN=90°19.(本小題17分)

南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續(xù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求離散變量的垛積問(wèn)題”.在他的專(zhuān)著《詳解九章算法?商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類(lèi)比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式.如圖，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球…第n+1層球數(shù)比第n層球數(shù)多n+1，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)求f(x)=ln(1+x)?x1+x的最小值；

(3)

參考答案1.B

2.B

3.A

4.C

5.C

6.C

7.C

8.B

9.ABC

10.BC

11.ABD

12.95

13.1,n=13×14.615.解：(1)因?yàn)閟in2B=37bcosB=2sinBcosB，cosB≠0，

所以sinB=314b，

在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB，

因?yàn)閍=7，所以sinA=32，

因?yàn)锳為鈍角，

所以A=2π3．

(2)若選條件①，因?yàn)閎=7，a=7，

所以B=A=2π3，與A+B+C=π矛盾，故不合題意，舍去；

若選條件②，因?yàn)閏osB=1314，所以sinB=1?cos2B=3314，

在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB，

所以b=asinA?sinB=7sin2π16.解：(1)在這100人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為35，

則喜歡游泳的學(xué)生人數(shù)為100×35=60

喜歡游泳

不喜歡游泳

合計(jì)

男生

25

25

50

女生

35

15

50

合計(jì)

60

40100(2)∵χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(25×15?35×25)260×40×50×50≈4.1667<10.828，

∴依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)聯(lián)．

(3)由題意可得，X～B(3,35)，X所有可能取值為0，1，2，3，

X

0

1

2

3

P

8

36

5427故E(X)=3×3517.解：(1)如圖：

證明：在平面APC中，過(guò)點(diǎn)P作AC的垂線(xiàn)，垂足為D，

因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，PD?平面APC，

所以PD⊥平面ABC.又因?yàn)锳B?平面APC，所以PD⊥AB，

又PA⊥AB，PA∩PD=P，PD?平面APC，PA?平面APC，

所以AB⊥平面APC，又AC?平面APC，故AB⊥AC．

(2)由(1)以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，

則A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,1,3),C(0,2,0)，

故PB=(2,?1,?3),AC=(0,2,0)，

又因?yàn)镻M=13PM=(23,?13,?33)，

所以AM=AP+PM=(0,1,3)+(23,?13,?33)=(218.解：(1)設(shè)A(xA,yA)，B(xB,yB)，

聯(lián)立x?2y+1=0y2=2px，消去x并整理得y2?4py+2p=0，

由韋達(dá)定理得yA+yB=4p，yAyB=2p，

所以|AB|=(xA?xB)2+(yA?yB)2=5|yA?yB|=5×(yA+yB)2?4yAyB=415，

即2p2?p?6=0，

因?yàn)閜>0，

解得p=2；

(2)由(1)知F(1,0)，

因?yàn)橹本€(xiàn)MN的斜率不可能為零，

設(shè)直線(xiàn)MN的方程為x=my+n，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯(lián)立y2=4xx=my+n，消去x并整理得y2?4my?4n=019.解：(1)根據(jù)題意，a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，?，

則有a2?a1=2，a3?a2=3，?，an?an?1=n，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=(