2024-2025學(xué)年山東省青島市全區(qū)高三（上）期初數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年山東省青島市全區(qū)高三（上）期初數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|y=ln(4?x)}，B={l,2,3,4,5}，則A∩B=(

)A.{5} B.{1,2,3} C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}2.已知復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)z?=4+3i，則z的虛部為A.1 B.?1 C.i D.?i3.已知命題p：?α∈R，sinπ4?α=cosA.?α∈R，sinπ4?α≠cosπ4+α

B.?α∈R，sinπ44.等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{A.?24 B.?3 C.3 D.85.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以x軸的非負(fù)半軸為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱．若cosα=?13，則A.19 B.?79 C.16.兩個(gè)粒子A，B從同一發(fā)射原發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為sA=(1,2)，sB=(4,3).粒子B相對(duì)粒子A的位移為s，則s在sA.(55,255)7.設(shè)f(x)=(x+a)2,x≤0,x+1x+a,x>0,若f(0)A.[?1,0] B.[?1,2] C.[?2,?1] D.[?2,0]8.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓和C的漸近線在第一象限交于A.2 B.3 C.2 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10是公差為?2的等差數(shù)列，去掉首末兩項(xiàng)x1，A.兩組數(shù)據(jù)的極差相同 B.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同

C.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同 D.兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同10.平面α過正方體ABCD?A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面α//平面CB1DA.B1D1//m B.A1B//平面α

C.n⊥平面ADC111.設(shè)數(shù)列{an}和{bn}的項(xiàng)數(shù)均為m，稱i=1m|ai?bi|為數(shù)列{an}和{A.數(shù)列1，3，5，7和數(shù)列2，4，6，8的距離為4

B.若m=4p(p∈N?)，則A1A2…Am=B1B2…Bm

C.若m=4p(p∈N三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若曲線y=axcosx在點(diǎn)(0,0)處的切線斜率為?1，則a=

．13.若x1=π3，x2=π是函數(shù)f(x)=14.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，P是側(cè)面ADD1A1(包括邊界)上一動(dòng)點(diǎn)，E是棱CD上一點(diǎn)，若∠APB=∠EPD四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為23和1(1)求在一次猜謎活動(dòng)中，有一方獲勝的概率；(2)若有一方獲勝則猜謎活動(dòng)結(jié)束，否則猜謎繼續(xù)，猜謎最多進(jìn)行3次，求猜謎次數(shù)X的分布列和期望．16.(本小題15分)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，2(1)求A；(2)若AB邊上的高等于13c，求sin17.(本小題15分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，PD=DC，PD⊥底面ABCD，E是線段PC的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段PB上，EF⊥PB．(1)證明：PB⊥平面DEF；(2)G在線段PB上，EG與PA所成的角為45°，求平面DEF與平面DEG夾角的余弦值．18.(本小題17分已知雙曲線C：4x2?y2=m，點(diǎn)P1(1,1)在C上．按如下方式構(gòu)造點(diǎn)Pn(n≥2)：過點(diǎn)Pn?1作斜率為1的直線與C的左支交于點(diǎn)Qn?1(1)求點(diǎn)P2，P(2)記an=2x(3)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，G，H分別為線段PnPn+2，Pn+1Pn+3的中點(diǎn)，記△OPn+1Pn+219.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)镮，D?I，若?x∈D，?t∈D，當(dāng)x<t時(shí)，都有f(x)<f(t).則稱t為f(x)在D上的“Ω點(diǎn)”．

(1)設(shè)函數(shù)f(x)=(2+ax)ln(1+x)?2x．

(i)當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)在(?1,+∞)上的最大“Ω點(diǎn)”；

(ii)若f(x)在[0,1]上不存在“Ω點(diǎn)”，求a的取值范圍；

(2)設(shè)D={1,2,…,m}(m∈N?)，且f(1)=0，f(x)?f(x?1)≤1．

證明：f(x)在D上的“Ω點(diǎn)”個(gè)數(shù)不小于參考答案1.B

2.A

3.B

4.A

5.B

6.C

7.A

8.C

9.BC

10.ABC

11.ABD

12.?1

13.3214.915.解：(1)設(shè)事件A表示在一次猜謎活動(dòng)中有一方獲勝，

事件A包含兩種情況：甲猜對(duì)乙猜錯(cuò)或甲猜錯(cuò)乙猜對(duì)，

則P(A)=23×(1?12)+(1?23)×12=12，

所以在一次活動(dòng)中，有一方獲勝的概率為12；

(2)由題意知，猜謎次數(shù)X可能取值為1，2，X123P111

期望為E(X)=1×1216.解：(1)因?yàn)?cosA(ccosB+bcosC)=2a，

由正弦定理得2cosA(sinCcosB+sinBcosC)=2sinA，

即2cosAsin(B+C)=2sinA，

即cosA=22，則A=π417.(1)證明：因?yàn)?/p>

PD⊥

底面

ABCD

，且

BC?

底面

ABCD

，所以

PD⊥BC

，又因?yàn)?/p>

ABCD

為正方形，可得

DC⊥BC

，因?yàn)?/p>

PD∩DC=C

，且

PD,DC?

平面

PDC

，所以

BC⊥

平面

PDC

，又因?yàn)?/p>

DE?

平面

PDC

，所以

BC⊥DE

，因?yàn)?/p>

PD=DC

，且

E

為

PC

的中點(diǎn)，所以

DE⊥PC

，又因?yàn)?/p>

PC∩BC=C

，且

PC,BC?

平面

PBC

，所以

DE⊥

平面

PBC

，因?yàn)?/p>

PB?

平面

PBC

，所以

DE⊥PB

，又因?yàn)?/p>

EF⊥PB

，且

DE∩EF=E

，

DE,EF?

平面

DEF

，所以

PB⊥

平面

DEF

．(2)解：以點(diǎn)

D

為原點(diǎn)，以

DA,DC,DP

所在的直線分別為

x

軸、

y

軸和

z

軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方形

ABCD

的邊長(zhǎng)為

2

，可得

DP=2

，可得

D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1)

，則

PA=(2,0,?2)

，

PB=(2,2,?2)

，因?yàn)?/p>

G

在線段

PB

上，設(shè)

PG=λPB=(2λ,2λ,?2λ)

，其中

則

EG=PG因?yàn)?/p>

EG

與

PA

所成的角為

45°

，

可得

cos解得

λ2=14

，所以

λ=12

，所以

G(1,1,1)設(shè)平面

DEG

的法向量為

n=(x,y,z)

，則

n?令

y=1

，可得

x=0,z=?1

，所以

n=(0,1,?1)

因?yàn)?/p>

PB⊥

平面

DEF

，所以平面

DEF

的一個(gè)法向量為

PB=(2,2,?2)

設(shè)平面

DEF

與平面

DEG

所成的二面角為

θ

，其中

0°<θ<9可得

cosθ=|n?PB||n||PB|=42×2

18.(1)由題知m=4?1=3，所以雙曲線C:4x2?y2=3，又過點(diǎn)P1(1,1)，斜率為1的直線方程為y=x，

由雙曲線與直線的對(duì)稱性可知Q1(?1,?1)，所以P2(1,?1)，又過P2(1,?1)，且斜率為1的直線方程為y+1=x?1，即y=x?2，

由y=x?24x2?y2=3，解得x=1或x=?73，當(dāng)x=?73時(shí)，y=?73?2=?133，

所以Q2(?73,?133)，所以P3(73,?133);

(2)設(shè)Pn?1(xn?1,yn?1)(n≥2,n∈N?)，則過Pn?1(xn?1,yn?1)(n≥2,n∈N?)，

且斜率為1的直線方程為y?yn?1=x?xn?1，聯(lián)立y?yn?1=x?xn?14x2?y2=3,

消y得到3x2+2(xn?119.解：(i)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=2ln(1+x)?2x，

則f′(x)=21+x?2=2?2(1+x)1+x=?2x1+x，

則當(dāng)x∈(?1,0)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x)<0，

即f(x)在(?1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

即對(duì)?x∈(?1,0]，?t∈(?1,0]，當(dāng)x<t時(shí)，都有f(x)<f(t)，

即f(x)在(?1,+∞)上的最大“Ω點(diǎn)”為0；

(ⅱ)由題意可得f(x)≤f(0)在x∈[0,1]時(shí)恒成立，

f′(x)=aln(1+x)+2+axx+1?2，

令g(x)=aln(1+x)+2+axx+1?2，x∈[0,1]，

令g′(x)=a1+x+a(x+1)?(2+ax)(x+1)2=ax+2a?2(x+1)2，

當(dāng)a≤0時(shí)，g′(x)<0恒成立，故g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，

則f′(x)=g(x)≤g(0)=aln1+2+00+1?2=0，

故f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，此時(shí)f(x)≤f(0)，符合要求；

當(dāng)a>0時(shí)，令ax+2a?2=0，則x=2?2aa=2a?2，

則當(dāng)2a?2≤0，即a≥1時(shí)，g′(x)≥0，即g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，

則f′(x)=g(x)≥g(0)=0，即f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，

有f(x)≥f(0)，不符合要求，故舍去；

當(dāng)2a?2≥1，即0<a≤23時(shí)，g′(x)<0恒成立，故g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，

則f′(x)=g(x)≤g(0)=0，故f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，

此時(shí)f(x)≤f(0)，符合要求；

當(dāng)2a?2∈(0,1)，即23<a<1時(shí)，

若x∈(0,2a?2)，g′(x)<0，若x∈(2a?2,1)，g′(x)>0，

即g(x)在(0,2a?2)上單調(diào)遞減，在(2a?2,1)單調(diào)遞增，

則若需f(x)≤f(0)恒成立，

解得a≤2ln2?2，

由2ln2?2?1=2?3ln2ln2=lne2?ln23ln2=lne28ln2<0，

故2ln2?2<1，