充要條件+高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

1.4.2充要條件學習目標1．結(jié)合具體實例，理解充要條件的意義．(重點、難點)2．會求(判斷)某些問題成立的充要條件．(重點)3．能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進行充要條件的證明．(難點)3(1)若p

q,則p是q的充分條件.P

QPQPPQP(2)若p

q,則p是q的必要條件.Q

Px∈P

x∈Qx∈Q

x∈P若p

q,且p

q,則p是q的充分不必要條件.P

QPQPQ若p

q,且p

q,則p是q的必要不充分條件.Q

P(Q)(Q)導入4下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題與它們的逆命題都是真命題？(1)若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等,則這兩個三角形全等;(2)若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等;(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根,則ac<0;(4)若A∪B=

,則A與B均是空集.命題“若p,則q”的逆命題是“若q,則p”命題(1)，(4)和它們的逆命題都是真命題；命題(2)為真命題，其逆命題為假命題；命題(3)是假命題，但它的逆命題是真命題；若ac<0,則△=b2-4ac>0.一、充要條件定義：“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q．此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為p是q的充要條件．顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．思考下列若p則q的命題中：1.若兩個三角形的兩個和其中一個角的對邊分別相等，則這兩個三角形全等2.若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等3.若一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等實根，則ac<04.若AUB是空集，則A和B都是空集解：1.p是q充要條件2.p是q充分不必要條件pq??pq??3.pq??p是q的必要不充分條件4.p是q充要條件pq??(1)充分性（p?q)

若d=r,則點P在圓O上。在直線l上任取一點Q(異于點P),連接OQ。在RtΔOPQ中,OQ>OP=r。所以,除點P外,直線l上的點都在圓O的外部。即直線l與圓O僅有一個公共點P。因此,直線l與圓O相切。(2)必要性（q?p）

若直線l與圓O相切,不妨設切點為P,則OPl.因此,d=OP=r。故d=r是直線l與圓O相切的充要條件。二、充要條件的證明(邏輯推理)【典例】求證：方程mx2-2x+3=0有兩個同號不相等實根的充要條件是0<m<.【解題策略】充要條件的證明策略(1)準確理解題意明確證明方向①條件已知證明結(jié)論成立是充分性，結(jié)論已知推出條件成立是必要性.②“p是q的充分(必要)條件”常寫為“q的充分(必要)條件是p”.(2)關(guān)注證明的兩個環(huán)節(jié)一是充分性；二是必要性.證明時，不要認為它是推理過程的“雙向書寫”，而應該進行由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件的兩次證明.基

礎(chǔ)

自

測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)當p是q的充要條件時，也可說成q成立當且僅當p成立．(

)(2)符號“?”表示具有等價性．(

)(3)若p

q和q

p有一個成立，則p一定不是q的充要條件．(

)(4)數(shù)學中的每一個定義都是一個充要條件．(

)√√√√2．設p：“兩個三角形相似”，q：“兩個三角形的三邊對應成比例”，則p是q的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C.充要條件D．既不充分也不必要條件答案：C解析：兩個三角形相似?兩個三角形的三邊對應成比例，即p?q，故p是q的充要條件．3．在△ABC中，AB>AC是∠C>∠B的________條件(

)A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：C解析：因為在△ABC中，邊大則角大，角大邊也大，所以AB>AC是∠C>∠B的充要條件．4．若p是q的充要條件，q是r的充要條件