2024秋高中數(shù)學(xué)評估驗收卷二第二章推理與證明達(dá)標(biāo)練習(xí)含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-評估驗收卷(二)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)1．下面是某電影中的一個片段：女主子欲輸入由十個數(shù)字組成的密碼，當(dāng)她依次輸入了前八個數(shù)字11235813后，欲輸入最終兩個數(shù)字時她遲疑了，或許是遺忘了最終兩個數(shù)字，或許……請你依據(jù)上述相關(guān)數(shù)據(jù)信息推想最終兩個數(shù)字最有可能是()A．2，1 B．2，0C．1，3 D．3，1解析：前八個數(shù)字11235813，發(fā)覺1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，又8＋13＝21，所以最終兩個數(shù)字最有可能是2，1.答案：A2．下面幾種推理是合情推理的是()①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180°歸納出全部三角形的內(nèi)角和都是180°；③由f(x)＝sinx滿意f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sinx是奇函數(shù)；④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n－2)·180°.A．①② B．①③④C．①②④ D．②④解析：合情推理分為類比推理和歸納推理，①是類比推理，②④是歸納推理，③是演繹推理．答案：C3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對一切n∈N*，都有2n>n2－2”這一命題，證明過程中應(yīng)驗證()A．n＝1時命題成立B．n＝1，n＝2時命題成立C．n＝3時命題成立D．n＝1，n＝2，n＝3時命題成立解析：假設(shè)n＝k時不等式成立，即2k>k2－2，當(dāng)n＝k＋1時，2k＋1＝2·2k>2(k2－2)，2(k2－2)≥(k＋1)2－2?k2－2k－3≥0?(k＋1)(k－3)≥0?k≥3，因此須要驗證n＝1，2，3時命題成立．答案：D4．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…－eq\f(1,n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋2)＋\f(1,n＋4)＋…＋\f(1,2n)))時，若已假設(shè)n＝k(k≥2且k為偶數(shù))時等式成立，則還須要用歸納假設(shè)再證n＝________時等式成立．()A．k＋1 B．k＋2C．2k＋2 D．2(k＋2)解析：依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟可知，n＝k(k≥2且k為偶數(shù))的下一個偶數(shù)為n＝k＋2，故選B.答案：B5．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為()A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29 B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29C．a(chǎn)1a2a3…a9＝2×9 D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：由等差數(shù)列性質(zhì)，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知選項D正確．答案：D6．下面是一段“三段論”推理過程：若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f′(x)>0恒成立．因為f(x)＝x3在(－1，1)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，所以在(－1，1)內(nèi)，f′(x)＝3x2>0恒成立．以上推理中()A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．結(jié)論正確 D．推理形式錯誤解析：f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f′(x)≥0恒成立，故大前提錯誤，故選A.答案：A7．要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只需證明()A．2ab－1－a2b2≤0 B．a(chǎn)2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C.eq\f(（a＋b）2,2)－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0解析：因為a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0，所以由分析法知選D.答案：D8．下列各圖中線段的條數(shù)用an表示，如a1＝1，a2＝5，若如此作下去，則第8個圖中的線段條數(shù)a8＝()A．508 B．509C．511 D．512解析：由題圖知，a1＝1，a2＝1＋22，a3＝1＋22＋23，a4＝1＋22＋23＋24，…，所以a8＝1＋22＋23＋…＋28＝(2＋22＋23＋…＋28)－1＝eq\f(2（1－28）,1－2)－1＝509.答案：B9．視察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199解析：記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通過視察不難發(fā)覺f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.答案：C10．視察數(shù)表：1234234534564567依據(jù)數(shù)表中反映的規(guī)律，第n行與第n列的交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)當(dāng)是()A．2n－1 B．2n＋1C．n2－1 D．n2解析：依據(jù)題中數(shù)表可知，第1行第1列交叉點(diǎn)上的數(shù)為1，第2行第2列交叉點(diǎn)上的數(shù)為3，第3行第3列交叉點(diǎn)上的數(shù)為5，第4行第4列交叉點(diǎn)上的數(shù)為7，那么，由此可以推導(dǎo)出第n行第n列交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)當(dāng)是2n－1.答案：A11.如圖所示，半徑為1的圓O內(nèi)有n個半徑相等的圓依次相切且都與圓O相切，若n＝10，則這些等圓的半徑為()A.eq\f(sin\f(π,5),1＋sin\f(π,5))B.eq\f(sin\f(π,10),1＋sin\f(π,10))C.eq\f(cos\f(π,5),1＋cos\f(π,5))D.eq\f(cos\f(π,10),1＋cos\f(π,10))解析：如圖所示，設(shè)相鄰兩圓的圓心分別為O1，O2，圓半徑為r，連接OO1，OO2，O1O2，作OA⊥OO2于點(diǎn)A，則A為OO2的中點(diǎn)，因為這樣的圓有10個，所以∠O1OO2＝eq\f(2π,10)＝eq\f(π,5)，所以∠O1OA＝eq\f(π,10)，在Rt△O1OA中，sin∠O1OA＝eq\f(O1A,OO1)＝eq\f(r,1－r)，即sineq\f(π,10)＝eq\f(r,1－r)，解得r＝eq\f(sin\f(π,10),1＋sin\f(π,10)).答案：B12．甲、乙、丙三人用擂臺賽形式進(jìn)行訓(xùn)練．每局每人單打競賽，另一人當(dāng)裁判．每一局的輸方去當(dāng)下一局的裁判，而由原來的裁判向勝者挑戰(zhàn)．半天訓(xùn)練結(jié)束時，發(fā)覺甲共打12局，乙共打21局，而丙共當(dāng)裁判8局．那么整個競賽的第10局的輸方()A．必是甲 B．必是乙C．必是丙 D．不能確定解析：依據(jù)題意，知丙共當(dāng)裁判8局，所以甲乙之間共有8局競賽．又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局，三人之間總共打了(8＋4＋13)＝25局．對于甲，總共打了12局，當(dāng)了13次裁判，所以他輸了12次，所以當(dāng)n是偶數(shù)時，第n局競賽的輸方為甲，從而整個競賽的第10局的輸方必是甲．答案：A二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．“因為AC，BD是菱形ABCD的對角線，所以AC，BD相互垂直且平分．”補(bǔ)充以上推理的大前提是____________________．解析：大前提是“菱形的對角線相互垂直且平分”．答案：菱形的對角線相互垂直且平分14．在平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為eq\f(AE,EB)＝eq\f(AC,BC)，把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A-BCD中(如圖所示)，平面DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是___________________________________________．解析：CE平分∠ACB，而平面CDE平分二面角A-CD-B.所以eq\f(AC,BC)可類比成eq\f(S△ACD,S△BCD)，故結(jié)論為eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD).答案：eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)15．下列給出一個“三角形數(shù)陣”，已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，記第i行第j列的數(shù)為aij(i≥j，i，j∈N*)，則a53等于________，amn＝________(m≥3)．eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(3,4)，eq\f(3,8)，eq\f(3,16)，…解析：由題意可知，第一列首項為eq\f(1,4)，公差d＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)；其次列的首項為eq\f(1,4)，公差d＝eq\f(3,8)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,8)，所以a51＝eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，由題意知，每行的公比都是eq\f(1,2)，所以a53＝a51q2＝eq\f(5,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,16).由題意知am1＝eq\f(1,4)＋(m－1)×eq\f(1,4)＝eq\f(m,4)，amn＝eq\f(m,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝eq\f(m,2n＋1)，m≥3.答案：eq\f(5,16)eq\f(m,2n＋1)16．有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________．解析：丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，則丙有兩種狀況：①丙的卡片上的數(shù)字為1和2，此時乙的卡片上的數(shù)字為2和3，甲的卡片上的數(shù)字為1和3，滿意題意；②丙的卡片上的數(shù)字為1和3，此時乙的卡片上的數(shù)字為2和3，甲的卡片上的數(shù)字為1和2，這時甲與乙的卡片上有相同的數(shù)字2，與已知沖突，故狀況②不符合，所以甲的卡片上的數(shù)字為1和3.答案：1和3三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知0<a<1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(4,1－a)≥9.證明：因為0<a<1，所以1－a>0.要證eq\f(1,a)＋eq\f(4,1－a)≥9成立，只需證1－a＋4a≥9a·(1－a)，即證9a2－6a＋1≥0，即證(3a－1)2≥0，該式明顯成立，故eq\f(1,a)＋eq\f(4,1－a)≥9成立．18．(本小題滿分12分)已知A＋B＝eq\f(π,3)，且A，B≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．求證：(1＋eq\r(3)tanA)(1＋eq\r(3)tanB)＝4.證明：由A＋B＝eq\f(π,3)得tan(A＋B)＝taneq\f(π,3)，即eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\r(3)，所以tanA＋tanB＝eq\r(3)－eq\r(3)tanAtanB.所以(1＋eq\r(3)tanA)(1＋eq\r(3)tanB)＝1＋eq\r(3)(tanA＋tanB)＋3tanAtanB＝1＋eq\r(3)(eq\r(3)－eq\r(3)tanAtanA)＋3tanAtanB＝4.故原等式成立．19．(本小題滿分12分)已知實數(shù)p滿意不等式(2p＋1)·(p＋2)<0，用反證法證明，關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實數(shù)根．證明：假設(shè)方程x2－2x＋5－p2＝0有實數(shù)根，則該方程的根的判別式Δ＝4－4(5－p2)≥0，解得p≥2或p≤－2.①而由已知條件得實數(shù)p滿意不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2<p<－eq\f(1,2).②數(shù)軸上表示①②的圖形無公共部分，故假設(shè)不成立，從而關(guān)于x的方程x2－2x＋5－p2＝0無實數(shù)根．20．(本小題滿分12分)已知a，b，c都是不為零的實數(shù)，求證：a2＋b2＋c2＞eq\f(4,5)(ab＋bc＋ca)．證明：要證a2＋b2＋c2＞eq\f(4,5)(ab＋bc＋ca)，只需證5(a2＋b2＋c2)＞4(ab＋bc＋ca)，只需證5a2＋5b2＋5c2－(4ab＋4bc＋4ca)＞0，只需證(a2－4ab＋4b2)＋(b2－4bc＋4c2)＋(c2－4ca＋4a2)＞0，只需證(a－2b)2＋(b－2c)2＋(c－2a)2＞0.因為(a－2b)2≥0，(b－2c)2≥0，(c－2a)2≥0，且這三個不等式中等號不行能同時成立(若同時成立等號，則必有a＝b＝c＝0)，所以(a－2b)2＋(b－2c)2＋(c－2a)2＞0，所以原不等式成立．21．(本小題滿分12分)十字繡有著悠久的歷史，如下圖，(1)、(2)、(3)、(4)為十字繡最簡潔的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越美麗．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖案包含f(n)個小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并依據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式；(3)求eq\f(1,f（1）)＋eq\f(1,f（2）－1)＋eq\f(1,f（3）－1)＋…＋eq\f(1,f（n）－1)(n≥2)的值．解：(1)按所給圖案的規(guī)律畫出第五個圖如圖：由圖可得f(5)＝41.(2)由圖可得f(2)－f(1)＝4×1；f(3)－f(2)＝8＝4×2；f(4)－f(3)＝12＝4×3；f(5)－f(4)＝16＝4×4；…由上式規(guī)律，可得f(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n)－f(n－1)＝4(n－1)．即f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－2)＋4(n－1)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋…＋4＝1＋4[1＋2＋…＋(n－1)]＝2n2－2n＋1.又f(1)＝1，所以f(n)＝2n2－2n＋1.(3)當(dāng)n≥2時，eq\f(1,f（n）－1)＝eq\f(1,2n2－2n)＝eq\f(1,2n（n－1）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))，所以原式＝eq\f(1,1)＋eq\f(1,2)eq\b\lc