2024-2025學年高中數學模塊綜合測評A課后鞏固提升含解析新人教A版選修1-1

PAGE1-模塊綜合測評(A)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.設命題p:對?x∈R+,ex>lnx,則p為()A.?x0∈R+,<lnx0B.?x∈R+,ex<lnxC.?x0∈R+,≤lnx0D.?x∈R+,ex≤lnx答案C2.若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓=1的一個焦點,則p=()A.2 B.3 C.4 D.8解析∵y2=2px的焦點坐標為,0,橢圓=1的焦點坐標為(±,0),∴3p-p=,解得p=8,故選D.答案D3.曲線y=2sinx+cosx在點(π,-1)處的切線方程為()A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0解析當x=π時,y=2sinπ+cosπ=-1,即點(π,-1)在曲線y=2sinx+cosx上.∵y'=2cosx-sinx,∴y'|x=π=2cosπ-sinπ=-2.∴曲線y=2sinx+cosx在點(π,-1)處的切線方程為y-(-1)=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0.故選C.答案C4.已知命題p:若θ=150°,則sinθ=,則在命題p的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題的個數是()A.0 B.1 C.2 D.3解析原命題為真,所以逆否命題為真,逆命題和否命題都是假命題,故只有1個真命題.答案B5.a>b+1是2a>2b的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析若a>b+1,則2a>2b+1>2b,故充分性成立;若2a>2b,若a=2,b=1,則a=b+1,故必要性不成立.故a>b+1是2a>2b的充分不必要條件.故選A.答案A6.雙曲線C:=1(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°,則C的離心率為()A.2sin40° B.2cos40°C. D.解析由已知可得-=tan130°=-tan50°,則e==.故選D.答案D7.已知函數f(x)=x+blnx在區(qū)間(0,2)內不是單調函數,則b的取值范圍是()A.(-∞,0) B.(-∞,-2)C.(-2,0) D.(-2,+∞)解析f'(x)=1+,g(x)=x+b(x>0)是增函數,故需g(0)=b<0,g(2)=b+2>0,b>-2,所以b∈(-2,0).答案C8.拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,其準線與雙曲線x2-y2=1相交于A,B兩點,若△ABF為等邊三角形,則p=()A.2 B.4 C.2 D.4解析拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,準線方程為x=-,與雙曲線x2-y2=1的交點為A,B,又若△ABF為等邊三角形,所以kAF==-=-,解得p=2.答案C9.已知命題p:若函數f(x)在(a,b)上存在零點,則f(a)f(b)<0;命題q:若g'(x0)=0,則g(x)在x0處取得極值,則下列為真命題的是()A.p∨q B.p∧qC.(p)∧q D.p∨(q)解析若函數f(x)在(a,b)上存在零點,則不肯定有f(a)·f(b)<0,也可能有f(a)f(b)>0,故命題p為假;若g'(x0)=0,則g(x)不肯定在x0處取得極值,例如函數g(x)=x3在x=0處有g'(0)=0,但g(x)=x3無極值,故命題q為假,因此p∨(q)為真命題.答案D10.已知直線y=a與函數f(x)=x3-x2-3x+1的圖象相切,則實數a的值為()A.-26或 B.-1或3C.8或- D.-8或解析f'(x)=x2-2x-3,令f'(x)=x2-2x-3=0,x=-1,x=3,則f(-1)=,f(3)=-8,即函數的極值是-8和,故實數a的值為-8或.答案D11.已知橢圓=1(a>b>0)的左頂點和上頂點分別為A,B,左、右焦點分別是F1,F2,在線段AB上有且只有一個點P滿意PF1⊥PF2,則橢圓的離心率的平方為()A. B. C. D.解析由題設可知以F1F2為直徑的圓與直線AB相切,而直線的方程為=1,即bx-ay+ab=0,故圓心O(0,0)到直線bx-ay+ab=0的距離d==c,即ab=c2,也即a2(a2-c2)=c4,所以e4+e2=1,解之得e2=,故應選D.答案D12.若關于x的不等式≤ax+b成立,則的最小值是()A.- B.- C. D.解析令f(x)=,f'(x)=,x∈,f'(x)>0,函數單調遞增,x∈,f'(x)<0,函數單調遞減,且x>0時,f(x)>0,繪制函數f(x)的圖象如圖所示,滿意題意時,直線y=ax+b恒不在函數f(x)圖象的下方,很明顯a<0時不合題意,當a>0時,令ax+b=0可得=-x,故取到最小值時,直線在x軸的截距最大,令f(x)=0可得x=,-x=-,據此可得的最小值是-.故選A.答案A二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.曲線y=lnx-在x=1處的切線的傾斜角為α,則sinα+=.

解析y'=,y'|x=1=3,則tanα=30<α<,故cosα=.所以sinα+=cosα=.答案14.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F(2,0),過點A(3,2)向其準線作垂線,與拋物線的交點為E,則|EF|=.

解析由焦點為F(2,0)可得p=4,E(x,2)在準線上的射影為G(-2,2),22=8x,x=,即|EF|=|EG|=-(-2)=.答案15.設p:<0,q:0<x<m,若p是q成立的充分不必要條件,則m的取值范圍是.

解析由不等式<0可得0<x<2,因為p是q成立的充分不必要條件,所以集合{x|0<x<2}是集合{x|0<x<m}的真子集,∴m>2.答案(2,+∞)16.已知雙曲線x2-=1的左、右焦點分別為F1,F2,雙曲線的離心率為e,若雙曲線上一點P使=e,則的值為.

解析由雙曲線方程x2-=1得a=1,c=2,由雙曲線定義得||-||=2,因為=e,所以由正弦定理得=2,可解得||=4,||=2,由題易知||=4,依據余弦定理可知cos∠PF2F1=,=||·||·cos∠PF2F1=4×2×=2.答案2三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)已知p:方程=1表示焦點在y軸上的橢圓,q:函數f(x)=x3-2mx2+(4m-3)x-m在(-∞,+∞)上單調遞增,若“p∧q”為假,“p∨q”為真,求實數m的取值范圍.解對于p,由條件可得m>2.對于q,由f'(x)=4x2-4mx+(4m-3)≥0對x∈R恒成立,得Δ=(-4m)2-16(4m-3)≤0,解得1≤m≤3.由“p∧q”為假,“p∨q”為真,得p與q一真一假.若p真q假,則解得m>3.若p假q真,則解得1≤m≤2.綜上可得,m的取值范圍是{m|1≤m≤2或m>3}.18.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=ex(x2+ax+1)圖象在點(2,f(2))處的切線與x軸平行.(1)求a的值;(2)求函數f(x)的極值.解(1)f'(x)=ex(x2+ax+1+2x+a)=ex[x2+(a+2)x+a+1].因為曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線與x軸平行,所以f'(2)=0,即f'(2)=e2[4+2(a+2)+a+1]=0,解得a=-3.(2)由(1)得f'(x)=ex(x2-x-2)=ex(x-2)(x+1),令f'(x)=0,則x=2或x=-1.x(-∞,-1)-1(-1,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調遞增↗極大值單調遞減↘微小值單調遞增↗所以當x=-1時,函數有極大值是,當x=2時,函數有微小值是-e2.19.(本小題滿分12分)已知拋物線C:y2=3x的焦點為F,斜率為的直線l與C的交點為A,B,與x軸的交點為P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.解設直線l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由題設得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由題設可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,則x1+x2=-.從而-,得t=-.所以l的方程為y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.從而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.20.(本小題滿分12分)某商品每件成本5元,售價14元,每星期賣出75件.假如降低價格,銷售量可以增加,且每星期多賣出的商品件數m與商品單價的降低值x(單位:元,0≤x<9)的平方成正比,已知商品單價降低1元時,一星期多賣出5件.(1)將一星期的商品銷售利潤y表示成x的函數;(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大?解(1)依題意,設m=kx2,由已知得5=k·12,從而k=5,所以m=5x2.于是y=(14-x-5)(75+5x2)=-5x3+45x2-75x+675(0≤x<9).(2)∵y'=-15x2+90x-75=-15(x-1)(x-5),由y'>0得1<x<5;由y'<0得0≤x<1或5<x<9,可知函數y在[0,1)內單調遞減,在(1,5)內單調遞增,在(5,9)內單調遞減,從而函數y取得最大值的可能位置為x=0或是x=5,∵y(0)=675,y(5)=800,∴當x=5時,ymax=800.答:商品每件定價為9元時,可使一個星期的商品銷售利潤最大.21.(本小題滿分12分)設橢圓=1(a>b>0)的左焦點為F,上頂點為B.已知橢圓的短軸長為4,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)設點P在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點M為直線PB與x軸的交點,點N在y軸的負半軸上.若|ON|=|OF|(O為原點),且OP⊥MN,求直線PB的斜率.解(1)設橢圓的半焦距為c,依題意,2b=4,,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.所以,橢圓的方程為=1.(2)由題意,設P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).設直線PB的斜率為k(k≠0),又B(0,2),則直線PB的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2得yP=,進而直線OP的斜率.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.由題意得N(0,-1),所以直線MN的斜率為-.由OP⊥MN,得·-=-1,化簡得k2=,從而k=±.所以,直線PB的斜率為或-.22.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=mlnx+(4-2m)x+(m∈R).(1)當m≥4時,求函數f(x)的單調區(qū)間;(2)設t,s∈[1,3],不等式|f(t)-f(s)|<(a+ln3)(2-m)-2ln3對隨意的m∈(4,6)恒成立,求實數a的取值范圍.解(1)函數的定義域為(0,+∞),且f'(x)=+4-2m=,令f'(x)=0,得x1=,x2=-.當m=4時,f'(x)≤0,函數f(x)在定義域(0,+∞)內單調遞減;當m>4時,由f'(x)>0,得-<x<;由f'(x)<0,得0<x<-或x>.所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為-,單調遞減區(qū)間為0,-,,+∞.綜上所述,當m=4時,f(x)在定義域(0,+∞)內單調遞減;當m>4時,f(x)的單調遞增區(qū)間為-,