2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時檢測32直線與直線垂直含解析新人教A版必修第二冊

PAGEPAGE6直線與直線垂直[A級基礎(chǔ)鞏固]1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線BD與A1C1的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面但不垂直D．異面且垂直解析：選D因為正方體的對面平行，所以直線BD與A1C1異面，連接AC(圖略)，則AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直線BD與A1C1垂直，所以直線BD與A1C1異面且垂直．故選D.2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與直線AA1垂直的棱有()A．2條 B．4條C．6條 D．8條解析：選D在正方體AC1中，與AA1垂直的棱為A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8條．故選D.3．(多選)如圖是一個正方體的平面綻開圖，在原正方體中，給出下列四個結(jié)論，其中正確的是()A．AB與CD所在直線垂直B．CD與EF所在直線平行C．AB與MN所在直線成60°角D．MN與EF所在直線異面解析：選CD畫出原正方體如圖所示，連接DN，DM，由圖可知A、B錯誤；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN為等邊三角形，所以C中，AB與MN所在直線成60°角是正確的；明顯D中，MN與EF所在直線異面是正確的．故選C、D.4．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D為A1B1的中點，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2eq\r(2)，則異面直線BD與AC所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C如圖，取B1C1的中點E，連接BE，DE，則AC∥A1C1∥DE，則∠BDE(或其補(bǔ)角)即為異面直線BD與AC所成的角．由條件可知BD＝DE＝EB＝eq\r(2)，所以∠BDE＝60°，故選C.5．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P為邊AB的中點，現(xiàn)將△DAP繞直線DP翻轉(zhuǎn)至△DA′P處，如圖所示，若M為線段A′C的中點，則異面直線BM與PA′所成的角的正切值為()A.eq\f(1,2) B．2C.eq\f(1,4) D．4解析：選A取A′D的中點N，連接PN，MN(圖略)．因為M是A′C的中點，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四邊形PBMN為平行四邊形，所以MB∥PN，所以∠A′PN為異面直線BM與PA′所成的角．在Rt△NA′P中，tan∠A′PN＝eq\f(A′N,A′P)＝eq\f(1,2)，故選A.6．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是A1D1和BC的中點，則在長方體全部的棱中和EF垂直且異面的有________條．解析：長方體全部的棱中和EF垂直且異面的有AD，B1C1，共2條．答案：27．已知四面體A-BCD的棱都相等，G為△ABC的重心，則異面直線AG與CD所成角的余弦值為________．解析：設(shè)四面體A-BCD的棱長為a，直線AG交BC于E，取BD的中點F，連接EF，AF(圖略)．由題意知E為BC的中點，所以CD∥EF，所以∠AEF為異面直線AG與CD所成的角．由題意知AE＝AF＝eq\f(\r(3),2)a，EF＝eq\f(1,2)a，則在△AEF中，cos∠AEF＝eq\f(\f(1,2)EF,AE)＝eq\f(\r(3),6).答案：eq\f(\r(3),6)8．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AD1異面且與AD1所成的角為90°的面對角線(面對角線是指正方體各個面上的對角線)共有________條．解析：與AD1異面的面對角線分別為：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角為90°.答案：19．如圖，正四棱錐P-ABCD的全部棱長均相等，E是PC的中點，求異面直線BE與PA所成的角的余弦值．解：如圖，連接AC，BD相交于O，連接OE，則O為AC的中點，因為E是PC的中點，所以O(shè)E是△PAC的中位線，則OE綉eq\f(1,2)PA，則OE與BE所成的角即為異面直線BE與PA所成的角，設(shè)四棱錐的棱長為1，則OE＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(1,2)，OB＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)，BE＝eq\f(\r(3),2)，則cos∠OEB＝eq\f(OE2＋BE2－OB2,2OE·BE)＝eq\f(\f(1,4)＋\f(3,4)－\f(2,4),2×\f(1,2)×\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(3),3).10．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中．(1)求A1C1與B1C所成角的大??；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求證：EF⊥A1C1.解：(1)如圖所示，連接AC，AB1.由六面體ABCD-A1B1C1D1是正方體知，四邊形AA1C1C為平行四邊形，∴AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成的角為60°.(2)證明：連接BD.由(1)知AC∥A1C1，∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角．∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1.[B級綜合運用]11．如圖所示，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點．將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐A′-DEF，則HG與IJ所成角的大小為()A．90° B．60°C．45° D．0°解析：選B如圖所示，在三棱錐A′-DEF中，因為G，H，I，J分別為A′F，A′D，A′E，DE的中點，所以IJ∥A′D，HG∥DF，故HG與IJ所成的角與A′D與DF所成的角相等．明顯A′D與DF所成的角的大小為60°，所以HG與IJ所成角的大小為60°，故選B.12．在四面體A-BCD中，BD＝AC＝2，AB＝BC＝CD＝DA＝eq\r(3)，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，則異面直線EF與AC所成的角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)解析：選B如圖，把四面體A-BCD補(bǔ)成一個長、寬、高分別為eq\r(2)，eq\r(2)，1的長方體，取AB的中點G，連接GE，GF.因為G，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，所以GF∥AC，所以∠EFG即為異面直線EF與AC所成的角，GF＝eq\f(1,2)AC＝1.同理GE∥BD，GE＝eq\f(1,2)BD＝1.易得AC⊥BD，所以GE⊥GF，所以△GEF是等腰直角三角形，則∠EFG＝eq\f(π,4)，即異面直線EF與AC所成的角為eq\f(π,4)，故選B.13．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中點．設(shè)GF，C1E與AB所成的角分別為α，β，則sin2α＋sin2β＝________．解析：取正方形B1C1CB的中心為點O，連接OC1，OE(圖略)．因為E是正方形ADD1A1的中心，所以由正方體的性質(zhì)易知OE∥AB，所以∠C1EO為異面直線C1E與AB所成的角，即∠C1EO＝β.取BC的中點H，連接GH，F(xiàn)H.因為F是正方形ABCD的中心，所以FH∥AB，所以∠GFH為異面直線GF與AB所成的角，即∠GFH＝α.設(shè)正方體的棱長為2，在△GFH中，GH＝eq\r(2)，F(xiàn)H＝1，GF＝eq\r(3)，所以GH2＋FH2＝GF2，即∠FHG＝90°，則sinα＝eq\f(\r(2),\r(3)).在△C1EO中，OE＝2，C1E＝eq\r(6)，OC1＝eq\r(2)，所以O(shè)E2＋OCeq\o\al(2,1)＝C1E2，即∠EOC1＝90°，則sinβ＝eq\f(\r(2),\r(6))＝eq\f(1,\r(3))，所以sin2α＋sin2β＝1.答案：114.如圖所示，四面體A-BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝2.求EF的長度．解：取BC的中點M，連接ME，MF，如圖．則ME∥AC，MF∥BD，∴ME與MF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成的角為60°，∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.當(dāng)∠EMF＝60°時，EF＝ME＝MF＝eq\f(1,2)BD＝1；當(dāng)∠EMF＝120°時，取EF的中點N，則MN⊥EF，∴EF＝2EN＝2EM·sin∠EMN＝2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).故EF的長度為1或eq\r(3).[C級拓展探究]15.如圖，已知點P在圓柱OO1的底面⊙O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分別為⊙O，⊙O1的直徑，且AB∥A1B1.若圓柱OO1的體積V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，回答下列問題．(1)求三棱錐A1-APB的體積；(2)在線段AP上是否存在一點M，使異面直線OM與A1B所成的角的余弦值為eq\f(2,5)？若存在，請指出點M的位置，并證明；若不存在，請說明理由．解：(1)由題意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2eq\r(3)，∴S△PAB＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，∴三棱錐A1-APB的體積VA1-APB＝eq\f(1,3)S△PAB·AA1＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×3＝2eq\r(3).