2024-2025學年新教材高中數(shù)學第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換單元素養(yǎng)檢測含解析新人教B版必修第三冊

PAGE單元素養(yǎng)檢測(二)(第八章)(120分鐘150分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求)1.已知單位向量a與b的夾角為60°,則a·(a+2b)= ()A.1B.2C.3D.4【解析】選B.因為單位向量a與b的夾角為60°,所以a·(a+2b)=a2+2a·b=1+2×1×1×cos60°=2.2.(2024·全國卷Ⅱ)已知=(2,3),=(3,t),||=1,則·= ()A.-3 B.-2 C.2 D.3【解析】選C.因為=-=(1,t-3),又因為||=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),故·=2.3.已知兩個非零向量a,b滿意|a+b|=|a-b|,則下面結論正確的是 ()A.a∥b B.a=bC.a⊥b D.a+b=a-b【解析】選C.因為兩個非零向量a,b,滿意|a+b|=|a-b|,所以(a+b)2=(a-b)2,綻開得到a·b=0,所以a⊥b.4.函數(shù)f(x)=4sinxcosxcos2x的最大值是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.因為f(x)=4sinxcosxcos2x=2sin2xcos2x=sin4x.所以當4x=2kπ+QUOTE時,f(x)max=1.5.(2024·全國卷Ⅱ)已知向量a,b滿意|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)= ()A.4 B.3 C.2 D.0【解析】選B.因為|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.6.若α,β均為銳角,sinα=QUOTE,sinQUOTE=QUOTE,則cosβ= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE或QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.因為α為銳角,sinα=QUOTE>QUOTE,所以α>45°且cosα=QUOTE,因為sinQUOTE=QUOTE,且QUOTE<QUOTE<QUOTE,所以QUOTE<α+β<π,所以cos(α+β)=-QUOTE,則cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.7.已知平面上四個互異的點A,B,C,D滿意(-)·(2--)=0,則△ABC的形態(tài)肯定是 ()A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.鈍角三角形【解題指南】由向量的加法法則和減法法則化簡已知表達式,再由向量的垂直和等腰三角形的三線合一性質得解.【解析】選C.設E為BC邊的中點,由(-)·(2--)=0,得·(+)=0,又+=2,所以2·=0,所以在△ABC中,BC垂直于BC的中線AE,所以△ABC是等腰三角形.【補償訓練】若·+||2=0,則△ABC為 ()A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形 D.等腰直角三角形【解析】選A.0=·+||2=·(+)=·,所以⊥,所以∠BAC=90°.8.在△ABC中,AB=QUOTE,AC=2,E是邊BC的中點.O為△ABC所在平面內一點且滿意==,則·的值為 ()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因為E為BC中點,所以=QUOTE所以·=QUOTE·=QUOTE·+QUOTE·.因為==,所以△AOB和△AOC為等腰三角形,所以·=cos∠OAB=·QUOTE=QUOTE,同理可得·=QUOTE.所以·=QUOTE+QUOTE=QUOTE+1=QUOTE.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.已知單位向量a與b共線,則a·(a+b)的值可能為 ()A.0 B.1 C.2 D.-1【解析】選AC.因為單位向量a與b共線,所以當向量a與b方向相同時,a·(a+b)=a2+a·b=1+1×1×cos0=2.當向量a與b方向相反時,a·(a+b)=a2+a·b=1+1×1×cosπ=0.10.設向量a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2),若a與b的夾角大于90°,則實數(shù)m的值可以是 ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選A、B、C.a·b<0?(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)<0,即3m2-2m-8<0,所以-QUOTE<m<2.11.下列關于函數(shù)y=2cos2QUOTE-1的敘述正確的是 ()A.最小正周期為π,奇函數(shù)B.最小正周期為π,偶函數(shù)C.最小值為-3,最大值為1D.最小值為-1,最大值為1【解析】選AD.因為y=2cos2QUOTE-1=cosQUOTE=sin2x為奇函數(shù),T=QUOTE=π,最小值為-1,最大值為1.12.將函數(shù)y=sin2xcosφ+cos2xsinφ的圖像沿x軸向左平移QUOTE個單位后,得到一個偶函數(shù)的圖像,則φ的一個可能取值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】選AD.把函數(shù)y=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin(2x+φ)的圖像向左平移QUOTE個單位后,得到的圖像的解析式是y=sinQUOTE,該函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是QUOTE+φ=kπ+QUOTE,k∈Z,φ=kπ+QUOTE,k∈Z,依據(jù)選項檢驗可知φ的可能取值為QUOTE,-QUOTE.三、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.設a=(1,2),b=(1,-1),c=a+kb,若b⊥c,則實數(shù)k的值為.

【解析】由a=(1,2),b=(1,-1),c=a+kb=(1+k,2-k),若b⊥c,則1+k-2+k=0,解得k=QUOTE.答案:QUOTE14.正六邊形ABCDEF邊長為1,則·=.

【解析】依據(jù)題意作圖如下:由正六邊形的性質知,=2,所以·=·2=2||·||·cos60°,即·=2×1×1×QUOTE=1.答案:115.已知α是其次象限的角,tan(π+2α)=-QUOTE,則tanα=.

【解析】由tan(π+2α)=-QUOTE得tan2α=-QUOTE,又tan2α=QUOTE=-QUOTE,解得tanα=-QUOTE或tanα=2,又α是其次象限的角,所以tanα=-QUOTE.答案:-QUOTE16.矩形ABCD中,AB=3,AD=2,P為矩形內部一點且AP=1,若=x+y,則3x+2y的取值范圍是.

【解析】如圖,設∠PAB=θ,θ∈QUOTE,=1.由=x+y,得·=x+y·=9x,·=x·+y=4y,由向量數(shù)量積的幾何意義,得·=cosθ=3cosθ=9x,·=cos(QUOTE-θ)=2sinθ=4y,所以3x+2y=cosθ+sinθ=QUOTEsinQUOTE.由于θ∈QUOTE,得θ+QUOTE∈QUOTE,所以QUOTE<sinQUOTE≤1得1<QUOTEsinQUOTE≤QUOTE,所以3x+2y的取值范圍是(1,QUOTE].答案:(1,QUOTE]四、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知0<α<QUOTE,sinα=QUOTE.(1)求tanα的值.(2)求cos2α+sinQUOTE的值.【解析】(1)因為0<α<QUOTE,sinα=QUOTE,得cosα=QUOTE,所以tanα=QUOTE.(2)cos2α+sinQUOTE=1-2sin2α+cosα=1-QUOTE+QUOTE=QUOTE.18.(12分)求值:QUOTE.【解析】原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.19.(12分)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-QUOTE),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值.(2)記f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.【解析】(1)因為a=(cosx,sinx),b=(3,-QUOTE),a∥b,所以-QUOTEcosx=3sinx.若cosx=0,則sinx=0與sin2x+cos2x=1沖突,故cosx≠0.于是tanx=-QUOTE.又x∈[0,π],所以x=QUOTE.(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-QUOTE)=3cosx-QUOTEsinx=2QUOTEcosQUOTE.因為x∈[0,π],所以x+QUOTE∈QUOTE,從而-1≤cosQUOTE≤QUOTE.于是,當x+QUOTE=QUOTE,即x=0時,f(x)取到最大值3;當x+QUOTE=π,即x=QUOTE時,f(x)取到最小值-2QUOTE.20.(12分)已知a=(2,3),b=(x,2).(1)當a-2b與2a+b平行時,求x的值.(2)當a與b夾角為銳角時,求x的取值范圍.【解析】(1)由題意得:a-2b=(2-2x,-1),2a+b=(4+x,8),由a-2b與2a+b平行得:(2-2x)·8-(-1)·(4+x)=0,所以x=QUOTE.(2)由題意得,QUOTE即QUOTE所以x>-3且x≠QUOTE.21.(12分)已知向量a=(2sinx,cosx),b=(cosx,2cosx).(1)設f(x)=a·b,求f(x)的單調遞增區(qū)間.(2)若c=(2,1),向量a-b與c共線,且x為其次象限角,求(a+b)·c的值.【解析】(1)f(x)=2sinx·cosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=QUOTEsinQUOTE+1,由2kπ-QUOTE≤2x+QUOTE≤2kπ+QUOTE,得kπ-QUOTE≤x≤kπ+QUOTE,得f(x)的單調遞增區(qū)間為QUOTE,k∈Z.(2)因為a-b=(2sinx-cosx,-cosx),c=(2,1),a-b與向量c共線,所以2sinx-cosx=-2cosx,即tanx=-QUOTE.又因為x是其次象限角,所以sinx=QUOTE,cosx=-QUOTE,(a+b)·c=2(2sinx+cosx)+3cosx=4sinx+5cosx=-QUOTE.【拓展延長】向量與三角函數(shù)綜合題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式,運用向量共線或垂直或等式成立等條件,得到三角函數(shù)的關系式,然后求解.(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標,要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_形式,解題思路是經(jīng)過向量的運算,利用三角函數(shù)在定義域內的有界性,求得值域等.22.(12分)已知函數(shù)fQUOTE=QUOTEsin2x-cos2x+1.(1)求y=fQUOTE在區(qū)間QUOTE上的單調遞增區(qū)間.(2)求y=fQUOTE在QUOTE的值域.【解題指南】(1)利用協(xié)助角公式可將函數(shù)化簡為fQUOTE=2sinQUOTE+1;令2kπ-QUOTE≤2x-QUOTE≤2kπ+QUOTE可求出fQUOTE的單調遞增區(qū)間,截取在QUOTE上的部分即可得到所求的單調遞增區(qū)間;(2)利用x的范圍可求得2x-QUOTE的范圍,對應正弦函數(shù)的圖像可求得sinQUOTE的范圍,進而得到函數(shù)的值域.【解析】(1)fQUOTE=QUOTEsin2x-cos2x+1=2sinQUOTE+1,令2kπ-QUOTE≤2x-