2024-2025學(xué)年河南省鄭州四中九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河南省鄭州四中九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.3x+2=0 B.x+y2=?2 C.a2.如圖，已知DE//BC，EF//AB，則下列比例式中錯誤的是(

)

A.

ADAB=AEAC B.CECF=3.學(xué)校聯(lián)歡會設(shè)計了一個“配紫色”游戲：如圖是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，A盤被分成面積相等的幾個扇形，B盤中藍色扇形區(qū)域所占的圓心角是120°.同學(xué)們同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，如果其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍色，那么可以配成紫色，贏得游戲.若小李同學(xué)同時轉(zhuǎn)動A盤和B盤，她贏得游戲的概率是(

)A.13 B.16 C.254.如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DH⊥AB于點H，連接OH，∠CAD=25°，則∠DHO的度數(shù)是(

)

A.25° B.30° C.35° D.40°5.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，AC與BD相交于點O，則△ABO的面積與△CDO的面積的比為(

)A.1：2

B.2：2

C.1：4

6.如圖，已知D是△ABC的邊AC上一點，根據(jù)下列條件，不能判定△CAB∽△CBD的是(

)A.∠A=∠CBD

B.∠CBA=∠CDB

C.AB?CD=BD?7.如圖，將矩形ABCD對折，使AB與CD邊重合，得到折痕MN，再將點A沿過點D的直線折疊到MN上，對應(yīng)點為A′，折痕為DE，AB=10，BC=6，則A′N的長度為(

)A.10?3B.4 C.10?2D.38.操場上有一根豎直的旗桿AB，它的一部分影子(BC)落在水平地面上，另一部分影子(CD)落在對面的墻壁上，經(jīng)測量，墻壁上的影高為1.2m，地面的影長為2.8m，同時測得一根高為2m的竹竿OM的影長是ON=1.4m，請根據(jù)以上信息，則旗桿的高度是(

)A.4.5m

B.104.7m

C.5.2m

D.5.7m9.如圖，正方形ABCD的邊長為22，P為對角線BD上動點，過P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，連接EF，則EF的最小值為(

)A.2

B.4

C.2

D.10.如圖，?OABC的頂點O(0,0)，A(1,2)，點C在x軸的正半軸上，延長BA交y軸于點D.將△ODA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OD′A′，當(dāng)點D的對應(yīng)點D′落在OA上時，D′A′的延長線恰好經(jīng)過點C，則點C的坐標為(

)

A.(23,0) B.(25,0)二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.若mn=25，則12.初三某班同學(xué)互贈紀念卡片，若每兩個同學(xué)均互贈一張，最終贈送卡片共1892張，設(shè)全班共有x人，根據(jù)題意，可列方程為______．13.若線段MN的長為1，P是MN的黃金分割點，則MP的長為______．14.如圖，點A(0,?2)，B(1,0)，將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，則點D的坐標是______．15.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，點P，Q分別為AB，BC上一個動點，將△PQB沿PQ折疊得到△PQD，點B的對應(yīng)點是點D，若點D始終在邊AC上，當(dāng)△APD與△ABC相似時，AP的長為

．

三、解答題：本題共8小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題8分)

解下列一元二次方程：

(1)x2?x?2=0；

17.(本小題8分)

某學(xué)校課后服務(wù)，為學(xué)生們提供了手工烹飪，文學(xué)賞析，體育鍛煉，編導(dǎo)表演四種課程(依次用A，B，C，D表示)，為了解學(xué)生對這四種課程的喜好情況，校學(xué)生會隨機抽取部分學(xué)生進行了“你最喜歡哪一種課外活動(必選且只選一種)”的問卷調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果，小明同學(xué)繪制了如圖所示的不完整的兩個統(tǒng)計圖．

(1)請根據(jù)統(tǒng)計圖將下面的信息補充完整：

①參加問卷調(diào)查的學(xué)生共有______人；

②扇形統(tǒng)計圖中“D”對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為______；

(2)若該校共有學(xué)生2000名，請你估計該校全體學(xué)生中最喜歡C課程的學(xué)生有多少人？

(3)現(xiàn)從喜歡編導(dǎo)表演課程的甲、乙、丙、丁四名學(xué)生中任選兩人搭檔表演雙人相聲，請用樹狀圖或列表法求“恰好甲和丁同學(xué)被選到”的概率．18.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+2(m+1)x+m?1=0有兩個不相等的實數(shù)根．

(1)求m的取值范圍；

(2)若該方程的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，且x19.(本小題8分)

如圖，小亮同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與樹頂B在同一直線上．已知紙板的兩條邊EF=30cm，DE=40cm，延長DF交AB于點C，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=12m，求樹高AB．20.(本小題8分)

如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE//AC，且DE=12AC，連接AE，CE．

(1)求證：四邊形OCED為矩形；

(2)若菱形ABCD的邊長為4，∠BCD=60°，求21.(本小題8分)

公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．

(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；

(2)若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為多少元/個？22.(本小題8分)

在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F是對角線AC上的兩個動點，分別從A、C同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，其中0≤t≤10．

(1)若G，H分別是AD，BC中點，則四邊形EGFH一定是怎樣的四邊形(E、F相遇時除外)？

答：______；(直接填空，不用說理)

(2)在(1)條件下，若四邊形EGFH為矩形，求t的值；

(3)在(1)條件下，若G向D點運動，H向B點運動，且與點E，F(xiàn)以相同的速度同時出發(fā)，若四邊形EGFH為菱形，求t的值．23.(本小題8分)

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB邊上的動點、DE/?/BC交AC于點E．

問題發(fā)現(xiàn)：(1)如圖2，當(dāng)∠BAC=45°時，ECDB=______；EC與BD所在直線相交所成的銳角等于______．

類比探究：(2)當(dāng)∠BAC=30°時，把△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，請求出ECDB的值以及EC與BD所在直線相交所成的銳角．

拓展應(yīng)用：(3)若AC=4，BC=2，點D為AB邊的中點，△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點B、D、E三點在同一直線上時，請直接寫出線段EC的長度．

答案解析1.D

【解析】解：3x+2=0是一元一次方程，故不符合題意；

x+y2=?2是二元二次方程，故不符合題意；

ax2+2x?1=0是二元三次方程，故不符合題意；

x2=7x是一元二次方程，符合題意．

故選：2.C

【解析】解：∵DE//BC，∴ADAB=AEAC，故A正確；∵EF//AB，∴CEAE=CFFB，即CECF=EAFB，故B正確；

∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=AD3.A

【解析】解：畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結(jié)果，其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色、另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍色的有3種情況，

∴小李同學(xué)同時轉(zhuǎn)動A盤和B盤，她贏得游戲的概率是39=13，

故選：A．

畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色、另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍色的有3種情況，然后由概率公式求解即可．

4.A

【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°，AC⊥BD，

∴∠ABD=90°?∠BAO=65°，

∵DH⊥AB，BO=DO，

∴∠BDH=90°?∠ABD=25°，HO=12BD=DO，

∴∠DHO=∠BDH=25°，故選：A5.C

【解析】解：設(shè)小方格的邊長為1，

由圖可知，AB//CD，

∴△ABO∽△CDO，且AB=2，CD=22，

∴S△ABO：S△CDO=(AB：CD)2，

∴S△ABO：S△CDO=(26.C

【解析】解：∵∠C是公共角，

∴再加上∠A=∠CBD或∠CBA=∠CDB都可以證明△CAB∽△CBD，故A，B不符合題意，

C選項中的對兩邊成比例，但不是相應(yīng)的夾角相等，所以選項C符合題意．

∵∠C=∠C，

若再添加CDBC=BCAC，即BC2=AC?CD，可證明△CAB∽△CBD，故D不符合題意．

7.A

【解析】解：由折疊的性質(zhì)得，AM=DM=12AD，∠DMA′=∠AMA′=90°，AD=A′D，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠A=∠B=90°，

∵BC=6，

∴AD=6，

∴DM=3，

在Rt△DMA′中，由勾股定理得A′M=A′D2?DM2=62?32=33，

∵∠A=∠B=∠AMA′=90°，

∴四邊形ABNM是矩形，

∴MN=AB=10，

∴A′N=MN?A′M=10?38.C

【解析】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，

由題意可知，CD=1.2m，BC=DE=2.8m，OM=2m，ON=1.4m，

則OMON=AEDE，

∴21.4=AB?1.22.8，

解得AB=5.2，

∴旗桿的高度是5.2m，

故選：C．

過點D作9.A

【解析】解：連接PC，如下圖所示：

∵四邊形ABCD為正方形，且邊長為22，

∴BC=22，∠BCD=∠ABC=90°，∠BCD=45°，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴四邊形PECF是矩形，

∴EF=PC，

要求EF的最小值，只需求出PC的最小值即可，

∵點P在BD上，

根據(jù)“垂線段最短”可知：當(dāng)PC⊥BD時，PC為最短，

當(dāng)PC⊥BD時，由于∠BCD=45°，

∴△PBC為等腰直角三角形，即：PB=PC，

在Rt△PBC中，PB=PC，BC=22，

由勾股定理得：PB2+PC2=BC2，

∴2PC2=(22)2，

∴PC=2(舍去負值)，

即PC的最小值為2，

∴EF的最小值為2．

故選：A．

連接PC，先證四邊形PECF是矩形得EF=PC，據(jù)此得要求10.B

【解析】解：延長D′A′，由題意D′A′的延長線經(jīng)過點C，如圖，

∵A(1,2)，

∴AD=1，OD=2，

∴在Rt△ADO中，tan∠DOA=ADOD=12，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠OD′C=90°，OD′=OD=2，

∴∠D′OC+∠D′CO=90°，

又∵∠DOA+∠D′OC=90°，

∴∠DOA=∠D′CO，

∴tan∠D′CO=OD′D′C=12，

11.?2

【解析】解：設(shè)m=2k，n=5k，

則原式=2k?10k4k

=?8k4k

=?2．

故答案為：?2．

設(shè)m=2k，n=5k，代入化簡即可求出答案．

本題主要考查比例的性質(zhì)，設(shè)12.x(x?1)=1892

【解析】解：根據(jù)題意得，

x(x?1)=1892，

故答案為：x(x?1)=1892．

設(shè)全班有x人．根據(jù)互贈卡片一張，則x人共贈卡片x(x?1)張，列方程即可．

本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，這是一道典型的雙循環(huán)問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．13.3?52【解析】解：當(dāng)MP>NP時，MP=5?12，

當(dāng)MP<NP時，MP=1?5?12=3?52，

故答案為：5?114.(4,?6)

【解析】解：過點D作DE⊥y軸于點E，如圖，

∵點A(0,?2)、B(1,0)，

∴OA=2，OB=1．

∵線段AB平移得到線段DC，

∴AB/?/CD，AB=CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，BC=AD，

∵BC=2AB，

∴AD=2AB，

∵∠BAO+∠DAE=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠EAD．

∵∠AOB=∠AED=90°，

∴△ABO∽△DAE．

∴OADE=OBAE=ABAD=12，

∴DE=2OA=4，AE=2OB=2，

∴OE=OA+AE=6，

∴D(4,?6)．

故答案為：(4,?6)．

過點D作DE⊥y軸于點E，利用點A，B的坐標表示出線段OA，OB的長，利用平移的性質(zhì)和矩形的判定定理得到四邊形ABCD是矩形；利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段15.83或6?2【解析】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=2，

∴AB=2BC=4，∠B=60°，

當(dāng)△APD與△ABC相似時，

∵點D始終在邊AC上，

根據(jù)折疊PB=PD，

設(shè)AP=x，則PB=PD=4?x，

∴分兩種情況：

①△APD∽△ABC，

此時∠ADP=∠ACB=90°，

∴AP=2DP，

即x=2(4?x)，

解得x=83，

∴AP=83，

②△APD∽△ACB，

此時∠APD=∠ACB=90°，

∴DP=33AP，

即4?x=33x，

解得x=6?23，

∴AP=6?216.解：(1)因式分解，得(x?2)(x+1)=0，

于是得x?2=0，或x+1=0，

∴x1=2，x2=?1；

(2)原方程可化為2x2+5x+3=0，

方法一：因式分解，得(2x+3)(x+1)=0．

于是得2x+3=0，或x+1=0，

∴x1=?32，x2=?1．

方法二：公式法：∵a=2，b=5，c=3，

∴△=b【解析】(1)先利用十字相乘法進行因式分解，再將原方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程并求解即可；

(2)將原方程整理成一般式，再利用十字相乘法或公式法進行求解即可．

本題考查了利用因式分解法或公式法解一元二次方程，熟練掌握因式分解的方法及一元二次方程的公式法是解題的關(guān)鍵．17.240

36°

【解析】解：(1)①參加問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為84÷35%=240(人)．

故答案為：240．

②扇形統(tǒng)計圖中“D”對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為360°×24240=36°．

故答案為：36°．

(2)扇形統(tǒng)計圖中“D”對應(yīng)的百分比為24240×100%=10%，

∴扇形統(tǒng)計圖中“C”對應(yīng)的百分比為1?25%?35%?10%=30%，

2000×30%=600(人)，

∴該校全體學(xué)生中最喜歡C課程的學(xué)生約有600人．

(3)畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好甲和丁同學(xué)被選到的結(jié)果有2種，

∴“恰好甲和丁同學(xué)被選到”的概率為212=16．

(1)①用選擇B的學(xué)生人數(shù)除以其所占的百分比可得參加問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)．

②用360°乘以本次調(diào)查中選擇D的學(xué)生所占的百分比，即可得出答案．

(2)根據(jù)用樣本估計總體，用200018.解：(1)由題知，

[2(m+1)]2?4×m×(m?1)>0，

解得m>?13．

又m≠0，

所以m的取值范圍是m>?13且m≠0．

(2)因為該方程有兩個實數(shù)根分別為x1、x2，

所以x1+x2=?2m+2m，x1x2=m?1m．

又x12+x22【解析】(1)利用根的判別式即可解決問題．

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問題．

本題考查根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式及整體思想的巧妙運用是解題的關(guān)鍵．19.解：EF=30cm=0.3m，DE=40cm=0.4m，

∵∠DEF=∠DCB=90°，∠EDF=∠CDB，

∴△DEF∽△DCB，

∴EFBC=DEDC，

即0.3BC=0.412，

【解析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到EFBC=DEDC，據(jù)此可得BC的長，再根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．

本題考查了相似三角形的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證得20.(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=OC=12AC，

∴∠DOC=90°，

∵DE/?/AC，DE=12AC，

∴DE=OC，DE//OC，

∴四邊形OCED是平行四邊形，

又∵∠DOC=90°，

∴平行四邊形OCED是矩形；

(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BC=CD=4，OB=OD，AO=OC=12AC，

∵∠BCD=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∴BD=BC=4，

∴OD=OB=2，

∴OC=CD2?OD2=42?22=23，

【解析】(1)先證四邊形OCED是平行四邊形，再由∠DOC=90°，即可得出結(jié)論；

(2)證△BCD是等邊三角形，得BD=BC=4，再由勾股定理得OC，求得AC=2OC，然后由矩形的性質(zhì)得CE=OD=2，∠OCE=90°，最后由勾股定理即可得出答案．

本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明四邊形OCED為矩形是解題的關(guān)鍵．21.解：(1)設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，

依題意，得：150(1+x)2=216，

解得：x1=0.2=20%，x2=?2.2(不合題意，舍去)．

答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．

(2)設(shè)該品牌頭盔的實際售價為y元，

依題意，得：(y?30)[600?10(y?40)]=10000，

整理，得：y2?130y+4000=0，

解得：y1【解析】(1)設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)月銷售利潤=每個頭盔的利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結(jié)論．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．22.解：(1)四邊形EGFH是平行四邊形；

(2)連接GH，如圖：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AD=BC，AD//BC，

在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，

∴AC=AB2+BC2=62+82=10，

由(1)可知：G，H分別是AD，BC中點，

∴AG=12AD，BH=12BC，

∴AG=BH，

又∵AG//BH，∠B=90°，

∴四邊形ABHG是矩形，

∴GH=AB=6，

根據(jù)題意可知：AE=CF=t，

當(dāng)四邊形EGFH為矩形時，EF=GH，

當(dāng)E、F兩點相遇前，EF=10?2t，根據(jù)EF=GH可得10?2t=6，解得t=2；

當(dāng)E、F兩點相遇后EF=2t?10，根據(jù)EF=GH可得2t?10=6，解得t=8；

綜上所述，t的值為2或8；

(3)解：連接AH、CG，GH，GH與AC相交于點O，如圖所示：

∵四邊形EGFH為菱形，

∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，

又∵AE=CF，

∴OE+AE=OF+CF，

∴OA=OC，

又∵GH⊥EF，

∴GH垂直平分線段AC，

∴AH=CH，

設(shè)AH=CH=x，則BH=8?x，

由勾股定理得：AB2+BH2=A