專題10幾何圖形中動(dòng)角問題的三種考法(原卷版+解析)(北師大版)

專題10幾何圖形中動(dòng)角問題的三種考法類型一、定值問題例．如圖1，把一副三角板拼在一起，邊與直線重合，其中，．此時(shí)易得．(1)如圖2，三角板固定不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針開始旋轉(zhuǎn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，三角板一直在的內(nèi)部，設(shè)三角尺運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①當(dāng)時(shí)，；②求當(dāng)為何值時(shí)，使得；(2)如圖3，在（1）的條件下，若平分，平分．①當(dāng)時(shí)，；②請問在三角板的旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請敘述理由；如果不發(fā)生變化，請求出的度數(shù)．【變式訓(xùn)練1】已知與互補(bǔ)，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)若①如圖1，當(dāng)時(shí)，；②將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，求與的度數(shù)；(2)將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是否隨之的改變而改變？若不改變，請求出這個(gè)度數(shù)；若改變，請說明理由．【變式訓(xùn)練2】已知，如圖1，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放置于直線上，直角邊與直線重合，其中，然后將三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)，從點(diǎn)引射線和，平分，．(1)如圖2，填空：當(dāng)時(shí)，______．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，請判斷的值是否為定值，若為定值，求出該定值，若不是定值，請說明理由．類型二、數(shù)量關(guān)系問題例．已知，保持不動(dòng)，的邊與邊重合，然后將繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向任意轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，（本題中研究的其它角的度數(shù)均小于）(1)[特例分析]如圖1，若，則_______°，_______°(2)[一般化研究]如圖2，若，隨著的變化，探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)[繼續(xù)一般化]隨著的變化，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系、（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．【變式訓(xùn)練1】已知，平分．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)將繞頂點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至如圖②的位置，和有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(3)將繞頂點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至如圖③的位置，（2）中的關(guān)系是否成立？請說明理由．【變式訓(xùn)練2】如圖，，，射線平分，射線平分（本題中的角均為大于且小于的角）．(1)如圖，當(dāng)，重合時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)從圖中所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n度時(shí)，的值是否為定值？若是定值，求出的值，若不是，請說明理由．(3)當(dāng)從圖中所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n度時(shí)，與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？類型三、求運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題例1．已知，射線均為內(nèi)的射線．

(1)如圖1，若為的三等分線，則＝；(2)如圖2，若，平分平分，求的大小(3)射線以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，射線以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，射線始終平分，兩條射線同時(shí)從圖1的位置出發(fā)，當(dāng)其中一條射線到達(dá)的位置時(shí)兩條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，.例2．新定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)半角．如圖1，若射線，在的內(nèi)部，且，則是的內(nèi)半角．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：(1)如圖1，，，若是的內(nèi)半角，則；(2)如圖2，已知，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度（）至．若是的內(nèi)半角，求的值；(3)把一塊含有角的三角板按圖3方式放置．使邊與邊重合，邊與邊重合．如圖4，將三角板繞頂點(diǎn)以3度/秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，當(dāng)射線、、、構(gòu)成內(nèi)半角時(shí)，直接寫出的值．【變式訓(xùn)練1】已知直線過點(diǎn)O，，是的平分線．(1)操作發(fā)現(xiàn)：①如圖1，若，則°．②如圖1，若，則°．③如圖1，若，則．（用含α的代數(shù)式表示）(2)操作探究：將圖1中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，其他條件不變，③中的結(jié)論是否成立？試說明理由．(3)如圖3，已知，邊、邊分別繞著點(diǎn)O以每秒、每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)其中一邊與重合時(shí)都停止旋轉(zhuǎn)），求：運(yùn)動(dòng)多少秒后，【變式訓(xùn)練2】平面上順時(shí)針排列射線，，，射線分別平分，（題目中所出現(xiàn)的角均小于）．(1)如圖1，若，則___________，___________；(2)如圖2，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，將繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)將繞點(diǎn)O以每秒逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)時(shí)，直接寫出t的值．課后訓(xùn)練1．已知，以射線為起始邊，按順時(shí)針方向依次作射線、，使得，設(shè)，.(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，若，求的度數(shù)；(2)備用圖①，當(dāng)時(shí)，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)備用圖②，當(dāng)時(shí)，分別在內(nèi)部和內(nèi)部作射線，，使，，求的度數(shù).2．點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，在直線AB同側(cè)任作射線OC，OD，使得．(1)如圖1，過點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，則的度數(shù)是___________°；(2)如圖2，過點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，求出與的數(shù)量關(guān)系；(3)過點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，若，求出的度數(shù)．3．已知，是過點(diǎn)O的射線，射線分別平分和．(1)如圖1，若是的三等分線，則_________；(2)如圖2，在內(nèi)，若，則_________；（用含的代數(shù)式表示）(3)如圖3，若，將繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的外部，請直接寫出此時(shí)的度數(shù)．4．問題情境：是一條射線，分別是和的角平分線．當(dāng)是直角，，射線在的內(nèi)部時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)的度數(shù)是_____；當(dāng)是直角，，射線在的內(nèi)部時(shí)，的度數(shù)是____°．探索發(fā)現(xiàn)：分別是和的角平分線，當(dāng)射線在的外面時(shí)．若是直角，，求出的大??；若是直角，，寫出的度數(shù)；數(shù)學(xué)思考：分別是和的角平分線，若的度數(shù)是，，直接寫出的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）5．已知，過頂點(diǎn)O作射線，且平分．(1)如圖1，若平分，則的度數(shù)為___________；(2)若，求的度數(shù)；(3)嘉嘉說：“如圖2，若在內(nèi)，平分，則的度數(shù)不變．”請你判斷嘉嘉的說法是否正確，并說明理由；(4)若在外，設(shè)平分，當(dāng)時(shí)，直接寫出的度數(shù)．6．在內(nèi)部作射線，，在的右側(cè)，且．(1)如圖1，若，平分，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2，平分，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，請過點(diǎn)作射線，使平分，再作的角平分線．若，，請直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．7．（1）【特例感知】如圖1，已知線段，，點(diǎn)C和點(diǎn)D分別是，的中點(diǎn)．若，則________cm；（2）【知識(shí)遷移】我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖2，已知∠AOB在∠MON內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，射線OC和射線OD分別平分∠AOM和∠BON；①若，，求∠COD的度數(shù)；②請你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三個(gè)角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）【類比探究】如圖3，∠AOB在∠MON內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，若，，，，求∠COD的度數(shù)．（用含有k的式子表示計(jì)算結(jié)果）．

專題10幾何圖形中動(dòng)角問題的三種考法類型一、定值問題例．如圖1，把一副三角板拼在一起，邊與直線重合，其中，．此時(shí)易得．(1)如圖2，三角板固定不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針開始旋轉(zhuǎn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，三角板一直在的內(nèi)部，設(shè)三角尺運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①當(dāng)時(shí)，；②求當(dāng)為何值時(shí)，使得；(2)如圖3，在（1）的條件下，若平分，平分．①當(dāng)時(shí)，；②請問在三角板的旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請敘述理由；如果不發(fā)生變化，請求出的度數(shù)．【答案】(1)①；②(2)①；②不變化，【分析】（1）①根據(jù)題意和角的和差進(jìn)行求解即可；②由，結(jié)合題意可得，從而得出，，進(jìn)而求出時(shí)間；（2）①根據(jù)平分，平分，可得，則可以將整理為，進(jìn)而得出答案；②根據(jù)平分，平分，可得，，進(jìn)而推導(dǎo)出，繼而得出答案．【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，，∴，故答案為：；②∵，∴，∴，∴秒，∴當(dāng)為秒時(shí)，；（2）①∵平分，平分，∴，∴，故答案為：；②的度數(shù)不發(fā)生變化，理由：平分，∴，∵平分，∴，，∵，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，角平分線的定義，讀懂題意，能準(zhǔn)確得出相應(yīng)角的數(shù)量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】已知與互補(bǔ)，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)若①如圖1，當(dāng)時(shí)，；②將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，求與的度數(shù)；(2)將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)是否隨之的改變而改變？若不改變，請求出這個(gè)度數(shù)；若改變，請說明理由．【答案】(1)①150；②，或，(2)不改變，其度數(shù)為【分析】（1）①先根據(jù)求出，再根據(jù)計(jì)算即可；②設(shè)，分兩種情況：(Ⅰ)在內(nèi)部，(Ⅱ)在內(nèi)部，分別討論即可；（2）設(shè)，求出所有情況后判斷即可．【詳解】（1）①∵，∴，∵，，∴，故答案為150；②(Ⅰ)當(dāng)在內(nèi)部時(shí)（如圖1），設(shè)，則，，由得，，解得，∴，∴；(Ⅱ)當(dāng)在內(nèi)部時(shí)（如圖2），設(shè)，則，由得，，解得，，，∴；（2）不改變，其度數(shù)為．設(shè)，由條件知，分四種情況：ⅰ)當(dāng)在內(nèi)部時(shí)（如圖3），，，，∴；ⅱ)當(dāng)在內(nèi)部時(shí)（如圖4），，，∴；ⅲ)當(dāng)在內(nèi)部時(shí)（如圖5），，，∴；ⅳ)當(dāng)在外部時(shí)（如圖6），；綜上所述，在旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)不改變，其度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差，關(guān)鍵是運(yùn)用角的和差正確表示所需要的角．【變式訓(xùn)練2】已知，如圖1，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放置于直線上，直角邊與直線重合，其中，然后將三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)，從點(diǎn)引射線和，平分，．(1)如圖2，填空：當(dāng)時(shí)，______．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，請判斷的值是否為定值，若為定值，求出該定值，若不是定值，請說明理由．【答案】(1)30(2)(3)是定值，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意，可得，再結(jié)合角平分線的定義即可獲得答案；（2）當(dāng)時(shí)，由題意可得，結(jié)合角平分線的定義易得，再由，可知，然后根據(jù)即可獲得答案；（3）當(dāng)時(shí)，由題意可得，，結(jié)合角平分線的定義易得，再由，，可推導(dǎo)，然后根據(jù)，進(jìn)而確定．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，由題意可知，是平角，∴，又∵平分，∴．故答案為：30；（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，∵是平角，，，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴；（3）當(dāng)時(shí)（如圖3），為定值．理由如下：∵是平角，，，∴，，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴為定值，定值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、幾何圖形中角度運(yùn)算等知識(shí)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．類型二、數(shù)量關(guān)系問題例．已知，保持不動(dòng)，的邊與邊重合，然后將繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向任意轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，（本題中研究的其它角的度數(shù)均小于）(1)[特例分析]如圖1，若，則_______°，_______°(2)[一般化研究]如圖2，若，隨著的變化，探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)[繼續(xù)一般化]隨著的變化，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系、（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)30；180(2)，理由見解析(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【分析】（1）由轉(zhuǎn)動(dòng)角度可知，，進(jìn)而利用已知角的和差關(guān)系可求的度數(shù)；（2）分在內(nèi)部，在外部時(shí)，在外部時(shí)，在外部時(shí)，在外部時(shí)，在外部時(shí)，作出圖形進(jìn)行討論即可；（3）根據(jù)在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中的度數(shù)，分五種情況，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，作出圖形進(jìn)行討論即可．【詳解】（1）由轉(zhuǎn)動(dòng)角度可知，，∵，即：，∴，故答案為：30；180．（2），理由如下：如圖，在內(nèi)部，在外部時(shí)，∵；∴，如圖，在外部時(shí)，在外部時(shí)，如圖，在外部時(shí)，在內(nèi)部時(shí)，∵；∴，綜上，；（3）A、O、D線B、O、C線①當(dāng)時(shí)，，則，∴；②當(dāng)時(shí)，，∴③當(dāng)時(shí)，，∴④當(dāng)時(shí)，，∴⑤當(dāng)時(shí)，，∴綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了角的有關(guān)計(jì)算，根據(jù)題目要求作出圖形，利用角度的和差關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵問題．【變式訓(xùn)練1】已知，平分．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)將繞頂點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至如圖②的位置，和有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(3)將繞頂點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至如圖③的位置，（2）中的關(guān)系是否成立？請說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)不成立，理由見解析【分析】（1）先求出的度數(shù)，根據(jù)，求出，角平分線得到，再利用，即可得解；（2）設(shè)，易得：，求出，即可得出結(jié)論；（3）設(shè)，則，，求出，進(jìn)而得到和的數(shù)量關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵平分，∴，∴；（2）解：；理由如下：設(shè)，則，，∵平分，∴，∴，∴；（3）不成立，理由如下：設(shè)，則，∵平分，∴，∴，∴；∴（2）中的關(guān)系不成立．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算，正確的識(shí)圖，理清角的和差關(guān)系，熟練掌握角平分線平分角，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】如圖，，，射線平分，射線平分（本題中的角均為大于且小于的角）．(1)如圖，當(dāng)，重合時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)從圖中所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n度時(shí)，的值是否為定值？若是定值，求出的值，若不是，請說明理由．(3)當(dāng)從圖中所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n度時(shí)，與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【答案】(1)(2)為定值，理由見解析(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義知、，再根據(jù)可得答案；(2)由題意知、，根據(jù)角平分線的定義得、，代入計(jì)算可得答案；(3)分情況計(jì)算，利用n表示出，，再根據(jù)角之間的關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：，，射線平分，射線平分，、，；（2）解：的值為定值，理由如下：如圖：從圖中所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n度，，點(diǎn)C、D在直線的右側(cè)，射線平分，射線平分，，，，的值為定值；（3）解：當(dāng)時(shí)，如圖2：由(2)知，；當(dāng)時(shí)，如圖3所示，，，射線平分，射線平分，，，；當(dāng)時(shí)，如圖4所示，，，射線平分，射線平分，，，；綜上，與具有的數(shù)量關(guān)系為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算以及角平分線的定義，找準(zhǔn)各角之間的和差關(guān)系，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．類型三、求運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題例1．已知，射線均為內(nèi)的射線．

(1)如圖1，若為的三等分線，則＝；(2)如圖2，若，平分平分，求的大小(3)射線以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，射線以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，射線始終平分，兩條射線同時(shí)從圖1的位置出發(fā)，當(dāng)其中一條射線到達(dá)的位置時(shí)兩條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，.【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）根據(jù)三等分角的定義求解即可；（2）設(shè)，根據(jù)角平分線性質(zhì)表示出，，根據(jù)求解即可；（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間分類討論，表示出，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵為的三等分線，，∴，；故答案為：．（2）解：設(shè)，則，，，∵平分平分，∴，，．（3）解：如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，，∵射線平分，∴，，，解得，；如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，，∵射線平分，∴，，，解得，（舍去）；如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，，∵射線平分，∴，，，解得，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，，∵射線平分，∴，，，解得，【點(diǎn)睛】本題考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)表示出角的度數(shù)，利用角的和差關(guān)系求解．例2．新定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的內(nèi)半角．如圖1，若射線，在的內(nèi)部，且，則是的內(nèi)半角．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：(1)如圖1，，，若是的內(nèi)半角，則；(2)如圖2，已知，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度（）至．若是的內(nèi)半角，求的值；(3)把一塊含有角的三角板按圖3方式放置．使邊與邊重合，邊與邊重合．如圖4，將三角板繞頂點(diǎn)以3度/秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，當(dāng)射線、、、構(gòu)成內(nèi)半角時(shí)，直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)的值為或30或90或【分析】（1）根據(jù)題意算出的度數(shù)，利用即可算出的度數(shù)；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可推出和，然后可用含有的式子表示和的度數(shù)，根據(jù)是的內(nèi)半角，即可求出的值；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成內(nèi)半角的情況總共有四種，分別畫出圖形，求出對應(yīng)值即可．【詳解】（1）解：∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，故答案為：；（2）解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，∴，，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得，∴的值為；（3）解：①如圖4所示，此時(shí)是的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，∴，，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得；②如圖所示，此時(shí)是的半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，，∴，，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得；③如圖所示，此時(shí)是的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，∴，，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得；④如圖所示，此時(shí)是的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，∴，，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得．綜上所述，當(dāng)射線、、、構(gòu)成內(nèi)半角時(shí)，的值為或30或90或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面內(nèi)角的相關(guān)計(jì)算，解題關(guān)鍵是理解內(nèi)半角并根據(jù)旋轉(zhuǎn)情況畫出圖形．【變式訓(xùn)練1】已知直線過點(diǎn)O，，是的平分線．(1)操作發(fā)現(xiàn)：①如圖1，若，則°．②如圖1，若，則°．③如圖1，若，則．（用含α的代數(shù)式表示）(2)操作探究：將圖1中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，其他條件不變，③中的結(jié)論是否成立？試說明理由．(3)如圖3，已知，邊、邊分別繞著點(diǎn)O以每秒、每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)其中一邊與重合時(shí)都停止旋轉(zhuǎn)），求：運(yùn)動(dòng)多少秒后，【答案】(1)①；②；③(2)成立；理由見詳解(3)或【分析】（1）①②③如圖1，根據(jù)平角的定義和角平分線的定義，求出，利用角的差可得結(jié)論；（2）由，可得，則，根據(jù)平分，可得；所以．（3）設(shè)t秒后，可得或，即可解得或；【詳解】（1）∵，∴，∵OE平分，∴，∴，故答案為：；②∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，故答案為：；③，∴，∴，∵平分，∴；∴．故答案為．（2）成立，理由如下：設(shè)，∴，∵平分，∴；∴．∴③中所求出的結(jié)論還成立．（3）設(shè)t秒后，根據(jù)題意得：可得或，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或均符合題意，答：運(yùn)動(dòng)或秒后，；【點(diǎn)睛】本題主要考查角度的和差計(jì)算，角平分線的定義（從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線），解決本題的關(guān)鍵是由圖形得到角度之間的關(guān)系．【變式訓(xùn)練2】平面上順時(shí)針排列射線，，，射線分別平分，（題目中所出現(xiàn)的角均小于）．(1)如圖1，若，則___________，___________；(2)如圖2，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，將繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)將繞點(diǎn)O以每秒逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)時(shí)，直接寫出t的值．【答案】(1)，(2)(3)當(dāng)時(shí)，或【分析】（1）先根據(jù)，射線平分求出，進(jìn)而得到，即可求出，再根據(jù)射線平分求出，最后計(jì)算即可；（2）先由，射線平分求出，再由射線分別平分求出，最后根據(jù)計(jì)算即可．（3）先根據(jù)題意得到，，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)前，再由“將繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)”得到恒定，然后分類討論即可．【詳解】（1）∵，射線平分，∴，∴，∴，∵射線平分，∴，∴，故答案為，；（2）∵，射線平分，∴，∵射線分別平分，∴，∴，∵，，∴，∴；（3）∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵將繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴度數(shù)恒定，即恒定，在和相遇前，∵，射線平分，∴，∵，，∴，解得；在和相遇后，此時(shí)，∵射線平分，∴∵，，∴，即，解得；即當(dāng)時(shí)，或．【點(diǎn)睛】本題考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算，難度較大，需要有良好的空間想象能力．因?yàn)轭}干要求題目中所出現(xiàn)的角均小于，所以第三問無需考慮后再次出現(xiàn)的情況．課后訓(xùn)練1．已知，以射線為起始邊，按順時(shí)針方向依次作射線、，使得，設(shè)，.(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，若，求的度數(shù)；(2)備用圖①，當(dāng)時(shí)，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)備用圖②，當(dāng)時(shí)，分別在內(nèi)部和內(nèi)部作射線，，使，，求的度數(shù).【答案】(1)；(2)；理由見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)圖形可知，繼而根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)圖形得出，計(jì)算，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況討論，①當(dāng)時(shí)，射線與重合，射線與互為反向延長線，②當(dāng)時(shí)，如圖4，射線、在的外部，結(jié)合圖形分析即可求解．【詳解】（1）如圖1，，在內(nèi)部，，，，，；（2）；理由如下：如圖2，，射線、分別在內(nèi)、外部，，，，；（3）①當(dāng)時(shí)，射線與重合，射線與互為反向延長線，則，，如圖3，，，，，；②當(dāng)時(shí)，如圖4，射線、在的外部，如圖4，則，，，，，，，.綜合①②得．【點(diǎn)睛】本題考查了結(jié)合圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．2．點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，在直線AB同側(cè)任作射線OC，OD，使得．(1)如圖1，過點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，則的度數(shù)是___________°；(2)如圖2，過點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，求出與的數(shù)量關(guān)系；(3)過點(diǎn)O作射線，當(dāng)恰好為的角平分線時(shí)，另作射線，使得平分，若，求出的度數(shù)．【答案】(1)45(2)(3)為或【分析】（1）直接通過角平分線的定義直接求解即可．（2）用同一個(gè)角度表示不同的角，直接求解即可．（3）分類討論H，K的位置關(guān)系直接求解即可．【詳解】（1）平分，平分，，（2）平分，，根據(jù)圖形有：，，，，，（3）當(dāng)H在K左側(cè)時(shí)平分平分當(dāng)K在H左側(cè)時(shí)平分平分綜上所述：為或【點(diǎn)睛】此題考查角度的計(jì)算，解題關(guān)鍵是分類討論H和K的位置．3．已知，是過點(diǎn)O的射線，射線分別平分和．(1)如圖1，若是的三等分線，則_________；(2)如圖2，在內(nèi)，若，則_________；（用含的代數(shù)式表示）(3)如圖3，若，將繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的外部，請直接寫出此時(shí)的度數(shù)．【答案】(1)100(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，，，則；（2），，，，則；（3）反向延長、得到、，然后分類討論：當(dāng)在內(nèi)部，當(dāng)、在內(nèi)部，當(dāng)在內(nèi)部三種情況分別求解即可．【詳解】（1）解：、是的三等分線，，射線、分別平分和，，，；（2）射線、分別平分和，，，，，，，，；故答案為：；（3）反向延長、得到、，如圖，當(dāng)在內(nèi)部，設(shè)，則，，，，，，；當(dāng)、在內(nèi)部，設(shè)，則，，∵，∴，∴；當(dāng)在內(nèi)部，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴；綜上：的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，理清角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．問題情境：是一條射線，分別是和的角平分線．當(dāng)是直角，，射線在的內(nèi)部時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)的度數(shù)是_____；當(dāng)是直角，，射線在的內(nèi)部時(shí)，的度數(shù)是____°．探索發(fā)現(xiàn)：分別是和的角平分線，當(dāng)射線在的外面時(shí)．若是直角，，求出的大?。蝗羰侵苯?，，寫出的度數(shù)；數(shù)學(xué)思考：分別是和的角平分線，若的度數(shù)是，，直接寫出的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【答案】問題情境：；；探索發(fā)現(xiàn)：；；數(shù)學(xué)思考：【分析】問題情境：根據(jù)，分別是和的角平分線，計(jì)算即可得到答案；根據(jù)，分別是和的角平分線，計(jì)算即可得到答案；探索發(fā)現(xiàn)：根據(jù)，，分別是和的角平分線，計(jì)算即可得到答案；根據(jù)，，分別是和的角平分線，計(jì)算即可得到答案；數(shù)學(xué)思考：分兩種情況討論：當(dāng)在內(nèi)部時(shí)；當(dāng)在外部時(shí)，計(jì)算得出答案即可．【詳解】解：問題情境：，分別是和的角平分線，，故答案為：；，分別是和的角平分線，，故答案為：；探索發(fā)現(xiàn)：，分別是和的角平分線，，為；，，分別是和的角平分線，，為；數(shù)學(xué)思考：分兩種情況當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖所示，，的度數(shù)是，，，當(dāng)在外部時(shí)，如圖所示，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與角平分線有關(guān)的角度的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)，分清所求角的構(gòu)成．5．已知，過頂點(diǎn)O作射線，且平分．(1)如圖1，若平分，則的度數(shù)為___________；(2)若，求的度數(shù)；(3)嘉嘉說：“如圖2，若在內(nèi)，平分，則的度數(shù)不變．”請你判斷嘉嘉的說法是否正確，并說明理由；(4)若在外，設(shè)平分，當(dāng)時(shí)，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)或(3)正確，見解析(4)或【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義先求的度數(shù)，再求的度數(shù)即可；（2）先求，再求，然后分兩種情況根據(jù)角平分線的定義即可；（3）由角平分線的定義得，然后根據(jù)求解即可；（4）分3種情況解答：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)，在的下方；③當(dāng)時(shí)，在的上方．【詳解】（1）∵，平分，∴，∵平分，∴；（2）∵