專題05動(dòng)點(diǎn)問題與一元二次方程(原卷版+解析)

專題05動(dòng)點(diǎn)問題與一元二次方程1．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開始移動(dòng)，點(diǎn)P的速度為1cm/秒，點(diǎn)Q的速度為2cm/秒，點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)．下列時(shí)間瞬間中，能使△PBQ的面積為15cm2的是（）A．2秒鐘 B．3秒鐘 C．4秒鐘 D．5秒鐘2．如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1cm/s的速度，沿AB向終點(diǎn)B移動(dòng)；點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)，其中一點(diǎn)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止．連接PQ，若經(jīng)x秒后P，Q兩點(diǎn)之間的距離為42，那么x的值為．3．一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)，其截面如圖所示．正方形DEFH的邊長為2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．當(dāng)正方形DEFH運(yùn)動(dòng)到什么位置，即當(dāng)AE＝米時(shí)，有DC2＝AE2+BC2．4．如圖，A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB＝16cm，AD＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向D移動(dòng)．（1）P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為33cm2；（2）P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)．（1）如果P，Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使PQ的長為42厘米？（2）點(diǎn)P，Q在移動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半．若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說明理由．6．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OACB為矩形，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，6），一個(gè)單位長度是1cm，若點(diǎn)P從O點(diǎn)沿OA向點(diǎn)A以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A沿AC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，如果P，Q分別從O，A同時(shí)出發(fā)，問：（1）經(jīng)過多長時(shí)間△PAQ的面積為2cm2？（2）△PAQ的面積能否達(dá)到3cm2？請說明理由；（3）經(jīng)過多長時(shí)間，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為17cm？7．（易錯(cuò)題）如圖，長方形ABCD中（長方形的對邊平行且相等，每個(gè)角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以1cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），問：（1）當(dāng)t＝1s時(shí)，四邊形BCQP面積是多少？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q距離是3cm？（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)P，Q，D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．8．（易錯(cuò)題）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒，使△PBQ的面積等于8cm2？（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能說明理由．（3）若P點(diǎn)沿射線AB方向從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移動(dòng)，P，Q同時(shí)出發(fā)，問幾秒后，△PBQ的面積為1cm2？9．如圖，已知矩形ABCD的邊長AB＝3cm，BC＝6cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，問：（1）經(jīng)過多少時(shí)間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的19（2）是否存在時(shí)間t，使△AMN的面積達(dá)到3.5cm2？若存在，求出時(shí)間t；若不存在，說明理由．10．已知：如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于6cm2？（2）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面積能否等于8cm2？說明理由．11．（易錯(cuò)題）如圖，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分別從A、B、C、D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止．已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ＝xcm（x≠0），則AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．（1）當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；（3）以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．12．（易錯(cuò)題）如圖，在邊長為12cm的等邊三角形ABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以每秒鐘1cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以每秒鐘2cm的速度移動(dòng)．若P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，其中任意一點(diǎn)到達(dá)目的地后，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，求：（1）經(jīng)過6秒后，BP＝cm，BQ＝cm；（2）經(jīng)過幾秒后，△BPQ是直角三角形？（3）經(jīng)過幾秒△BPQ的面積等于103cm213．（易錯(cuò)題）如圖，長方形ABCD（長方形的對邊相等，每個(gè)角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2厘米/秒的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以1厘米/秒的速度向D移動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，問：（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，四邊形BCQP面積是多少？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q距離是3cm？（3）當(dāng)t＝以點(diǎn)P、Q、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．（直接寫出答案）14．（易錯(cuò)題）等腰△ABC的直角邊AB＝BC＝10cm，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度做直線運(yùn)動(dòng)，已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，Q沿邊BC的延長線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC相交于點(diǎn)D．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△PCQ的面積為S．（1）求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度是否改變？證明你的結(jié)論．

專題05動(dòng)點(diǎn)問題與一元二次方程1．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開始移動(dòng)，點(diǎn)P的速度為1cm/秒，點(diǎn)Q的速度為2cm/秒，點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)．下列時(shí)間瞬間中，能使△PBQ的面積為15cm2的是（）A．2秒鐘 B．3秒鐘 C．4秒鐘 D．5秒鐘解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒后，能使△PBQ的面積為15cm2，則BP為（8﹣t）cm，BQ為2tcm，由三角形的面積計(jì)算公式列方程得，12×（8﹣t）×2解得t1＝3，t2＝5（當(dāng)t＝5時(shí)，BQ＝10，不合題意，舍去）．∴動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，能使△PBQ的面積為15cm2．答案：B．2．如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1cm/s的速度，沿AB向終點(diǎn)B移動(dòng)；點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)，其中一點(diǎn)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止．連接PQ，若經(jīng)x秒后P，Q兩點(diǎn)之間的距離為42，那么x的值為2或25解：∵∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm，∴AB＝6cm．∴BQ＝2x，PB＝6﹣x．∵P，Q兩點(diǎn)之間的距離為42，∴BQ2+PB2＝PQ2，∴（2x）2+（6﹣x）2＝（42）2，整理得，5x2﹣12x+4＝0，解得x1＝2，x2=2答案：2或253．（易錯(cuò)題）一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)，其截面如圖所示．正方形DEFH的邊長為2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．當(dāng)正方形DEFH運(yùn)動(dòng)到什么位置，即當(dāng)AE＝143米時(shí)，有DC2＝AE2+BC2解：如圖，連接CD，

設(shè)AE＝x米，∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米，∴AC＝12米，∴EC＝（12﹣x）米，∵正方形DEFH的邊長為2米，即DE＝2米，∴DC2＝DE2+EC2＝4+（12﹣x）2，AE2+BC2＝x2+36，∵DC2＝AE2+BC2，∴4+（12﹣x）2＝x2+36，解得：x=14答案：1434．如圖，A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB＝16cm，AD＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向D移動(dòng)．（1）P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為33cm2；（2）P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．解：（1）設(shè)P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到x秒時(shí)四邊形PBCQ的面積為33cm2，則PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，根據(jù)梯形的面積公式得12（16﹣3x+2x解之得x＝5，（2）設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過t秒時(shí)，點(diǎn)P，Q間的距離是10cm，作QE⊥AB，垂足為E，則QE＝AD＝6，PQ＝10，∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，解得t1＝4.8，t2＝1.6．答：（1）P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到5秒時(shí)四邊形PBCQ的面積為33cm2；（2）從出發(fā)到1.6秒或4.8秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10cm．5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)．（1）如果P，Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使PQ的長為42厘米？（2）點(diǎn)P，Q在移動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半．若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說明理由．解：（1）設(shè)x秒鐘后，可使PQ的長為42cm，由題意得：（6﹣x）2+（2x）2＝（42）2，解得：x＝2或x=2答：P、Q同時(shí)出發(fā)2或25秒鐘后，可使PQ的長為42（2）不存在．理由：設(shè)y秒時(shí)，△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半，由題意得：12（6﹣y）?2y=整理，得y2﹣6y+12＝0，∵Δ＝36﹣4×12＜0，∴方程無解，即：不存在．6．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OACB為矩形，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，6），一個(gè)單位長度是1cm，若點(diǎn)P從O點(diǎn)沿OA向點(diǎn)A以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A沿AC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，如果P，Q分別從O，A同時(shí)出發(fā)，問：（1）經(jīng)過多長時(shí)間△PAQ的面積為2cm2？（2）△PAQ的面積能否達(dá)到3cm2？請說明理由；（3）經(jīng)過多長時(shí)間，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為17cm？解：（1）設(shè)經(jīng)過xs，△PAQ的面積為2cm2，由題意得12（3﹣x）?2x解得x1＝1，x2＝2，所以經(jīng)過1秒或2秒時(shí)，△PAQ的面積為2cm2；（2）設(shè)經(jīng)過xs，△PAQ的面積為3cm2，由題意得12（3﹣x）?2x即x2﹣3x+3＝0，因?yàn)閎2﹣4ac＝﹣3＜0，所以此方程沒有實(shí)數(shù)根，所以△PAQ的面積不能達(dá)到3cm2；（3）設(shè)經(jīng)過t秒，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為17cm，根據(jù)題意得（2t）2+（3﹣t）2＝17，∴t1＝﹣0.8（不合題意舍去），t2＝2，答：經(jīng)過2秒后，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為17cm．7．（易錯(cuò)題）如圖，長方形ABCD中（長方形的對邊平行且相等，每個(gè)角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以1cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），問：（1）當(dāng)t＝1s時(shí)，四邊形BCQP面積是多少？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q距離是3cm？（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)P，Q，D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝2cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵CQ＝1cm，AP＝2cm，∴PB＝6﹣2＝4（cm）．∴S=(1+4)×22=5（答：四邊形BCQP面積是5cm2；（2）如圖1，當(dāng)t＜2時(shí)，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四邊形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．∵AP＝2t（cm），∴PE＝6﹣2t﹣t＝（6﹣3t）cm．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝9，解得：t=6±∵t＜2，∴t=6?如圖2，當(dāng)t＞2時(shí)，作QE⊥CD于E，∴∠PEQ＝90°．∵∠B＝∠C＝90°，∴四邊形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．∵CQ＝t，∴QE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4＝9，解得：t=6±∵t＞2，∴t=6+綜上所述：t=6?53（3）如圖3，當(dāng)PQ＝DQ時(shí)，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四邊形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．∵PQ＝DQ，∴PQ＝6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t=3±如圖4，當(dāng)PD＝PQ時(shí)，作PE⊥DQ于E，∴DE＝QE=12DQ，∠∵∠A＝∠D＝90°，∴四邊形APED是矩形，∴PE＝AD＝2cm．DE＝AP＝2t，∵DQ＝6﹣t，∴DE=6?t∴2t=6?t解得：t=6如圖5，當(dāng)PD＝QD時(shí)，∵AP＝2t，CQ＝t，∴DQ＝6﹣t，∴PD＝6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2＝（6﹣t）2，解得t1=?6+2333，t綜上所述：t=3+72或3?728．（易錯(cuò)題）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒，使△PBQ的面積等于8cm2？（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能說明理由．（3）若P點(diǎn)沿射線AB方向從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移動(dòng)，P，Q同時(shí)出發(fā)，問幾秒后，△PBQ的面積為1cm2？解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒，使△PBQ的面積等于8cm2，依題意有12（6﹣x）?2x解得x1＝2，x2＝4，經(jīng)檢驗(yàn)，x1，x2均符合題意．故經(jīng)過2秒或4秒，△PBQ的面積等于8cm2；（2）設(shè)經(jīng)過y秒，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分，依題意有△ABC的面積=112（6﹣y）?2yy2﹣6y+12＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，∴此方程無實(shí)數(shù)根，∴線段PQ不能將△ABC分成面積相等的兩部分；（3）①點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段CB上（0＜m≤4），設(shè)經(jīng)過m秒，依題意有12（6﹣m）（8﹣2mm2﹣10m+23＝0，解得m1＝5+2，m2＝5?經(jīng)檢驗(yàn)，m1＝5+2∴m＝5?2②點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在射線CB上（4＜n≤6），設(shè)經(jīng)過n秒，依題意有12（6﹣n）（2nn2﹣10n+25＝0，解得n1＝n2＝5，經(jīng)檢驗(yàn)，n＝5符合題意．③點(diǎn)P在射線AB上，點(diǎn)Q在射線CB上（k＞6），設(shè)經(jīng)過k秒，依題意有12（k﹣6）（2kk2﹣10k+23＝0，解得k1＝5+2，k2＝5?經(jīng)檢驗(yàn)，k1＝5?2∴k＝5+2綜上所述，經(jīng)過（5?2）秒，5秒，（5+2）秒后，△PBQ的面積為1cm9．如圖，已知矩形ABCD的邊長AB＝3cm，BC＝6cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，問：（1）經(jīng)過多少時(shí)間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的19（2）是否存在時(shí)間t，使△AMN的面積達(dá)到3.5cm2？若存在，求出時(shí)間t；若不存在，說明理由．解：（1）設(shè)經(jīng)過ts，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的19，則DN＝2tcm，AM＝tcm，AN＝AD﹣DN＝（6﹣2t）cm∴12AN?AM=19AD?AB，即12（6﹣2t整理得：t2﹣3t+2＝0，即（t﹣1）（t﹣2）＝0，解得：t1＝1，t2＝2，則經(jīng)過1s或2s，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的19（2）不存在，理由為：假設(shè)存在時(shí)間ts，使△AMN的面積達(dá)到3.5cm2，則12AN?AM整理得：2t2﹣6t+7＝0，∵Δ＝36﹣56＝﹣20＜0，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，則△AMN的面積不能達(dá)到3.5cm2．10．已知：如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于6cm2？（2）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面積能否等于8cm2？說明理由．解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒以后△PBQ面積為612×（5﹣x）×2整理得：x2﹣5x+6＝0解得：x＝2或x＝3答：2或3秒后△PBQ的面積等于6cm2（2）當(dāng)PQ＝5時(shí)，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2＝PQ2，∴（5﹣t）2+（2t）2＝52，5t2﹣10t＝0，t（5t﹣10）＝0，t1＝0（舍棄），t2＝2，∴當(dāng)t＝2時(shí)，PQ的長度等于5cm．（3）設(shè)經(jīng)過x秒以后△PBQ面積為8，12×（5﹣x）×2整理得：x2﹣5x+8＝0△＝25﹣32＝﹣7＜0∴△PQB的面積不能等于8cm2．11．（易錯(cuò)題）如圖，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分別從A、B、C、D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止．已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ＝xcm（x≠0），則AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．（1）當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；（3）以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形．①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，由x2+2x＝20，得x1=21?1，x2因?yàn)锽Q+CM＝x+3x＝4（21?1）＜20，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M所以x=21②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，由x+3x＝20，得x＝5．此時(shí)DN＝x2＝25＞20，不符合題意．故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合．所以所求x的值為21?（2）由（1）知，點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，由20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2），解得x1＝0（舍去），x2＝2．當(dāng)x＝2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形．②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，由20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20，解得x1＝﹣10（舍去），x2＝4．當(dāng)x＝4時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形．所以當(dāng)x＝2或x＝4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．（3）過點(diǎn)Q，M分別作AD的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．由于2x＞x，所以點(diǎn)E一定在點(diǎn)P的左側(cè)．若以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，則點(diǎn)F一定在點(diǎn)N的右側(cè)，且PE＝NF，即2x﹣x＝x2﹣3x．解得x1＝0（舍去），x2＝4．由于當(dāng)x＝4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，所以以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯形．12．（易錯(cuò)題）如圖，在邊長為12cm的等邊三角形ABC中，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以每秒鐘1cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以每秒鐘2cm的速度移動(dòng)．若P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，其中任意一點(diǎn)到達(dá)目的地后，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，求：（1）經(jīng)過6秒后，BP＝6cm，BQ＝12cm；（2）經(jīng)過幾秒后，△BPQ是直角三角形？（3）經(jīng)過幾秒△BPQ的面積等于103cm2解：（1）由題意，得AP＝6cm，BQ＝12cm．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝12cm，∴BP＝12﹣6＝6cm．答案：6、12．（2）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝12cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，∴∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ．∵BP＝12﹣x，BQ＝2x，∴12﹣x＝2×2x，∴x=12當(dāng)∠QPB＝90°時(shí)，∴∠PQB＝30°，∴BQ＝2PB，∴2x＝2（12﹣x），x＝6答6秒或125秒時(shí)，△BPQ（3）作QD⊥AB于D，∴∠QDB＝90°，∴∠DQB＝30°，∴DB=12BQ＝在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ=3x∴(12?x)3解得；x1＝10，x2＝2，∵x＝10時(shí)，2x＞12，故舍去∴x＝2．答：經(jīng)過2秒△BPQ的面積等于103cm213．（易錯(cuò)題）如圖，長方形ABCD（長方形的對邊相等，每個(gè)角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2厘米/秒的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q以1厘米/秒的速度向D移動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，問：（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，四邊形BCQP面積是多少？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q距離是3cm？（3）當(dāng)t＝3+72，3?72，65，?6+2333．解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵CQ＝1cm，AP＝2cm，∴AB＝6﹣2＝4cm．∴S=2(1+4)2=5答：四邊形BCQP面積是5cm2；（2）如圖1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四邊形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝9，解得：t=6±如圖2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ＝90°．∵∠B＝∠C＝90°，∴四邊形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm，BP＝C