數(shù)據(jù)分析：假設(shè)檢驗(yàn)：方差分析ANOVA教程

數(shù)據(jù)分析：假設(shè)檢驗(yàn)：方差分析ANOVA教程1數(shù)據(jù)分析：假設(shè)檢驗(yàn)：方差分析ANOVA1.1方差分析ANOVA簡(jiǎn)介1.1.11什么是方差分析方差分析(AnalysisofVariance,ANOVA)是一種統(tǒng)計(jì)方法，用于比較多個(gè)組別之間的平均數(shù)是否相等。它通過(guò)分析數(shù)據(jù)的方差來(lái)判斷不同組別之間的差異是否顯著，從而幫助我們理解不同因素對(duì)結(jié)果的影響。ANOVA可以分為單因素方差分析和多因素方差分析，具體取決于我們想要分析的因素?cái)?shù)量。1.1.22方差分析的基本假設(shè)方差分析在進(jìn)行時(shí)，需要滿(mǎn)足以下基本假設(shè)：獨(dú)立性：樣本數(shù)據(jù)之間相互獨(dú)立。正態(tài)性：每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)應(yīng)遵循正態(tài)分布。方差齊性：所有組別的方差應(yīng)大致相等。1.1.33方差分析的應(yīng)用場(chǎng)景方差分析廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域，包括但不限于：醫(yī)學(xué)研究：比較不同治療方法對(duì)患者恢復(fù)速度的影響。教育研究：評(píng)估不同教學(xué)方法對(duì)學(xué)生成績(jī)的影響。工業(yè)生產(chǎn)：分析不同生產(chǎn)條件對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的影響。1.2示例：?jiǎn)我蛩胤讲罘治黾僭O(shè)我們有三個(gè)不同教學(xué)方法（A、B、C）對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的影響數(shù)據(jù)，我們想要使用ANOVA來(lái)檢驗(yàn)這三種方法是否對(duì)成績(jī)有顯著影響。1.2.1數(shù)據(jù)樣例方法成績(jī)A85A88A90B78B82B80C92C94C901.2.2Python代碼示例importpandasaspd

fromscipy.statsimportf_oneway

#創(chuàng)建數(shù)據(jù)

data={

'A':[85,88,90],

'B':[78,82,80],

'C':[92,94,90]

}

#轉(zhuǎn)換為DataFrame

df=pd.DataFrame(data)

#執(zhí)行單因素方差分析

fvalue,pvalue=f_oneway(df['A'],df['B'],df['C'])

#輸出結(jié)果

print("F值:",fvalue)

print("P值:",pvalue)1.2.3代碼解釋導(dǎo)入庫(kù)：我們使用pandas來(lái)處理數(shù)據(jù)，scipy.stats中的f_oneway函數(shù)來(lái)進(jìn)行方差分析。創(chuàng)建數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)以字典形式存儲(chǔ)，每個(gè)鍵代表一種教學(xué)方法，值是一個(gè)成績(jī)列表。轉(zhuǎn)換為DataFrame：將字典轉(zhuǎn)換為DataFrame，便于數(shù)據(jù)處理。執(zhí)行方差分析：使用f_oneway函數(shù)，傳入不同方法的成績(jī)列表，計(jì)算F值和P值。輸出結(jié)果：F值表示組間方差與組內(nèi)方差的比值，P值用于判斷差異是否顯著。1.3示例：多因素方差分析假設(shè)我們想要分析教學(xué)方法和學(xué)生性別對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)的影響，這需要使用多因素方差分析。1.3.1數(shù)據(jù)樣例方法性別成績(jī)AM85AF88AM90BM78BF82BM80CM92CF94CM901.3.2Python代碼示例importpandasaspd

fromstatsmodels.formula.apiimportols

fromstatsmodels.stats.anovaimportanova_lm

#創(chuàng)建數(shù)據(jù)

data={

'方法':['A','A','A','B','B','B','C','C','C'],

'性別':['M','F','M','M','F','M','M','F','M'],

'成績(jī)':[85,88,90,78,82,80,92,94,90]

}

#轉(zhuǎn)換為DataFrame

df=pd.DataFrame(data)

#使用ols函數(shù)擬合模型

model=ols('成績(jī)~C(方法)+C(性別)',data=df).fit()

#執(zhí)行多因素方差分析

anova_results=anova_lm(model)

#輸出結(jié)果

print(anova_results)1.3.3代碼解釋導(dǎo)入庫(kù)：使用pandas處理數(shù)據(jù)，statsmodels.formula.api中的ols函數(shù)擬合線性模型，statsmodels.stats.anova中的anova_lm函數(shù)進(jìn)行多因素方差分析。創(chuàng)建數(shù)據(jù)：數(shù)據(jù)以字典形式存儲(chǔ)，包括教學(xué)方法、性別和成績(jī)。轉(zhuǎn)換為DataFrame：將字典轉(zhuǎn)換為DataFrame。擬合模型：使用ols函數(shù)，模型公式為成績(jī)~C(方法)+C(性別)，其中C()表示分類(lèi)變量。執(zhí)行方差分析：使用anova_lm函數(shù)，傳入擬合的模型，計(jì)算ANOVA結(jié)果。輸出結(jié)果：結(jié)果包括F值、P值等，用于判斷教學(xué)方法和性別對(duì)成績(jī)的影響是否顯著。通過(guò)以上示例，我們可以看到方差分析在數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用，以及如何使用Python進(jìn)行方差分析的計(jì)算。在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)數(shù)據(jù)的特性和研究目的，選擇合適的方差分析類(lèi)型是非常重要的。2方差分析的類(lèi)型2.11單因素ANOVA2.1.1原理單因素ANOVA（AnalysisofVariance），也稱(chēng)為一元ANOVA，用于檢驗(yàn)一個(gè)分類(lèi)自變量對(duì)一個(gè)連續(xù)因變量的影響是否顯著。它通過(guò)比較不同組間的方差與組內(nèi)方差來(lái)判斷自變量的不同水平是否對(duì)因變量有顯著影響。單因素ANOVA的基本假設(shè)包括：-正態(tài)性：每個(gè)組的因變量數(shù)據(jù)應(yīng)近似正態(tài)分布。-方差齊性：不同組的方差應(yīng)大致相等。-獨(dú)立性：觀測(cè)值之間相互獨(dú)立。2.1.2內(nèi)容與示例假設(shè)我們有三個(gè)不同品牌的肥料，想要測(cè)試它們對(duì)植物生長(zhǎng)的影響。我們隨機(jī)選取了15株植物，分為三組，每組使用一種肥料，然后測(cè)量植物的高度。importnumpyasnp

importpandasaspd

fromscipyimportstats

importmatplotlib.pyplotasplt

#創(chuàng)建數(shù)據(jù)

np.random.seed(0)

fertilizer_A=np.random.normal(10,2,5)

fertilizer_B=np.random.normal(12,2,5)

fertilizer_C=np.random.normal(15,2,5)

#數(shù)據(jù)整理

data={'FertilizerA':fertilizer_A,

'FertilizerB':fertilizer_B,

'FertilizerC':fertilizer_C}

df=pd.DataFrame(data)

#執(zhí)行單因素ANOVA

fvalue,pvalue=stats.f_oneway(df['FertilizerA'],df['FertilizerB'],df['FertilizerC'])

#輸出結(jié)果

print("F-value:",fvalue)

print("P-value:",pvalue)

#繪制箱線圖

plt.boxplot([fertilizer_A,fertilizer_B,fertilizer_C],labels=['A','B','C'])

plt.ylabel('PlantHeight')

plt.title('PlantHeightbyFertilizer')

plt.show()在這個(gè)例子中，我們使用了scipy.stats.f_oneway函數(shù)來(lái)執(zhí)行單因素ANOVA。如果p值小于0.05，我們通常會(huì)拒絕零假設(shè)，認(rèn)為不同肥料對(duì)植物生長(zhǎng)有顯著影響。2.22多因素ANOVA2.2.1原理多因素ANOVA（Two-wayANOVA或FactorialANOVA）用于檢驗(yàn)兩個(gè)或多個(gè)分類(lèi)自變量對(duì)一個(gè)連續(xù)因變量的影響，以及這些自變量之間的交互作用是否顯著。多因素ANOVA可以揭示自變量單獨(dú)和共同對(duì)因變量的影響。2.2.2內(nèi)容與示例假設(shè)我們想要測(cè)試不同肥料和不同灌溉量對(duì)植物生長(zhǎng)的影響。我們有三個(gè)肥料品牌和兩種灌溉量，每種組合下有5株植物。importstatsmodels.apiassm

fromstatsmodels.formula.apiimportols

#創(chuàng)建數(shù)據(jù)

np.random.seed(0)

fertilizer=['A','B','C']*10

irrigation=['Low']*5+['High']*5+['Low']*5+['High']*5+['Low']*5+['High']*5

height=np.concatenate((np.random.normal(10,2,5),np.random.normal(12,2,5),np.random.normal(15,2,5),

np.random.normal(12,2,5),np.random.normal(14,2,5),np.random.normal(17,2,5)))

#數(shù)據(jù)整理

df=pd.DataFrame({'Fertilizer':fertilizer,'Irrigation':irrigation,'Height':height})

#執(zhí)行多因素ANOVA

model=ols('Height~C(Fertilizer)+C(Irrigation)+C(Fertilizer):C(Irrigation)',data=df).fit()

anova_table=sm.stats.anova_lm(model,typ=2)

#輸出結(jié)果

print(anova_table)在這個(gè)例子中，我們使用了statsmodels庫(kù)的ols函數(shù)來(lái)構(gòu)建模型，并通過(guò)anova_lm函數(shù)執(zhí)行多因素ANOVA。C(Fertilizer):C(Irrigation)表示我們正在測(cè)試肥料和灌溉量之間的交互作用。2.33重復(fù)測(cè)量ANOVA2.3.1原理重復(fù)測(cè)量ANOVA（RepeatedMeasuresANOVA）用于分析同一組受試者在不同時(shí)間點(diǎn)或不同條件下的測(cè)量結(jié)果。它考慮了受試者之間的變異和受試者內(nèi)不同條件下的變異，適用于縱向數(shù)據(jù)或?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)中包含多個(gè)測(cè)量點(diǎn)的情況。2.3.2內(nèi)容與示例假設(shè)我們想要測(cè)試一種藥物對(duì)血壓的影響，藥物在三個(gè)時(shí)間點(diǎn)（0周、4周、8周）進(jìn)行測(cè)量。importpingouinaspg

#創(chuàng)建數(shù)據(jù)

np.random.seed(0)

subject=['S1','S2','S3','S4','S5']

week_0=np.random.normal(120,10,5)

week_4=np.random.normal(115,10,5)

week_8=np.random.normal(110,10,5)

#數(shù)據(jù)整理

df=pd.DataFrame({'Subject':subject*3,'Week':['0']*5+['4']*5+['8']*5,

'BP':np.concatenate((week_0,week_4,week_8))})

#執(zhí)行重復(fù)測(cè)量ANOVA

aov=pg.rm_anova(dv='BP',within='Week',subject='Subject',data=df)

#輸出結(jié)果

print(aov)在這個(gè)例子中，我們使用了pingouin庫(kù)的rm_anova函數(shù)來(lái)執(zhí)行重復(fù)測(cè)量ANOVA。如果p值小于0.05，我們通常會(huì)拒絕零假設(shè)，認(rèn)為藥物對(duì)血壓有顯著影響。以上示例展示了如何使用Python中的不同庫(kù)來(lái)執(zhí)行單因素ANOVA、多因素ANOVA和重復(fù)測(cè)量ANOVA，幫助理解這些統(tǒng)計(jì)方法在實(shí)際數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用。3方差分析的步驟3.11數(shù)據(jù)準(zhǔn)備在進(jìn)行方差分析（ANOVA）之前，數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備是至關(guān)重要的第一步。這包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)以及確保數(shù)據(jù)滿(mǎn)足ANOVA的分析要求。假設(shè)我們有一組數(shù)據(jù)，來(lái)自三個(gè)不同的樣本組，我們想要分析這些組的平均值是否有顯著差異。以下是一個(gè)使用Python和pandas庫(kù)進(jìn)行數(shù)據(jù)準(zhǔn)備的例子：importpandasaspd

importnumpyasnp

#創(chuàng)建數(shù)據(jù)

data={

'Group':['A']*10+['B']*10+['C']*10,

'Value':np.concatenate((np.random.normal(10,2,10),

np.random.normal(12,2,10),

np.random.normal(14,2,10)))

}

#轉(zhuǎn)換為DataFrame

df=pd.DataFrame(data)

#查看前幾行數(shù)據(jù)

print(df.head())3.1.1數(shù)據(jù)樣例GroupValue

0A10.236

1A11.872

2A9.502

3A10.324

4A12.4503.22檢查假設(shè)ANOVA分析基于幾個(gè)關(guān)鍵假設(shè)：正態(tài)性、獨(dú)立性和方差齊性。在執(zhí)行ANOVA之前，我們需要檢查這些假設(shè)是否成立。3.2.1正態(tài)性檢驗(yàn)使用Shapiro-Wilk檢驗(yàn)來(lái)檢查每個(gè)組的數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布。fromscipy.statsimportshapiro

#分組數(shù)據(jù)

grouped=df.groupby('Group')

#對(duì)每個(gè)組進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)

forname,groupingrouped:

stat,p=shapiro(group['Value'])

print(f'Group{name}:p={p}')

ifp>0.05:

print('DatalooksGaussian(failtorejectH0)')

else:

print('DatadoesnotlookGaussian(rejectH0)')3.2.2方差齊性檢驗(yàn)使用Levene檢驗(yàn)來(lái)檢查方差是否齊性。fromscipy.statsimportlevene

#提取各組數(shù)據(jù)

group_a=df[df['Group']=='A']['Value']

group_b=df[df['Group']=='B']['Value']

group_c=df[df['Group']=='C']['Value']

#執(zhí)行Levene檢驗(yàn)

stat,p=levene(group_a,group_b,group_c)

print(f'LeveneTest:p={p}')

ifp>0.05:

print('Assumptionofequalvariancesismet')

else:

print('Assumptionofequalvariancesisnotmet')3.33執(zhí)行ANOVA分析一旦數(shù)據(jù)準(zhǔn)備完成并且假設(shè)得到驗(yàn)證，我們就可以使用ANOVA來(lái)分析不同組之間的平均值差異是否顯著。fromscipy.statsimportf_oneway

#執(zhí)行ANOVA

fvalue,pvalue=f_oneway(group_a,group_b,group_c)

print(f'ANOVAF-value:{fvalue},p-value:{pvalue}')

ifpvalue>0.05:

print('Nosignificantdifferencebetweenthegroups')

else:

print('Significantdifferencebetweenthegroups')3.44解釋結(jié)果ANOVA分析的結(jié)果通常由F值和p值組成。F值是組間方差與組內(nèi)方差的比值，p值則表示如果組間差異是由隨機(jī)誤差引起的概率。如果p值小于0.05，我們通常會(huì)拒絕零假設(shè)，認(rèn)為至少有一組的平均值與其他組有顯著差異。接下來(lái)，可能需要進(jìn)行事后檢驗(yàn)（如TukeyHSD檢驗(yàn)）來(lái)確定具體是哪些組之間存在差異。fromstatsmodels.stats.multicompimportpairwise_tukeyhsd

#執(zhí)行TukeyHSD檢驗(yàn)

tukey=pairwise_tukeyhsd(endog=df['Value'],

groups=df['Group'],

alpha=0.05)

print(tukey)3.4.1結(jié)果解釋假設(shè)我們的ANOVA分析顯示p值小于0.05，這意味著組間平均值的差異不是由隨機(jī)誤差引起的，至少有一組與其他組有顯著差異。通過(guò)查看TukeyHSD檢驗(yàn)的結(jié)果，我們可以確定具體是哪些組之間存在顯著差異，從而更深入地理解數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)和特性。4單因素ANOVA詳解4.11單因素ANOVA的假設(shè)單因素ANOVA（AnalysisofVariance），即單因素方差分析，是一種統(tǒng)計(jì)方法，用于檢驗(yàn)一個(gè)分類(lèi)自變量對(duì)一個(gè)連續(xù)因變量的影響是否顯著。在進(jìn)行單因素ANOVA之前，需要滿(mǎn)足以下假設(shè)：獨(dú)立性：樣本間相互獨(dú)立，每個(gè)觀測(cè)值都來(lái)自不同的群體。正態(tài)性：每個(gè)群體的數(shù)據(jù)應(yīng)遵循正態(tài)分布。這可以通過(guò)繪制數(shù)據(jù)的直方圖或使用正態(tài)性檢驗(yàn)（如Shapiro-Wilk檢驗(yàn)）來(lái)驗(yàn)證。方差齊性：所有群體的方差應(yīng)相等，即滿(mǎn)足方差齊性假設(shè)。Levene檢驗(yàn)或Bartlett檢驗(yàn)可以用來(lái)檢驗(yàn)方差齊性。4.1.1示例：正態(tài)性檢驗(yàn)假設(shè)我們有三個(gè)群體的數(shù)據(jù)，我們使用Python的scipy庫(kù)來(lái)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。importnumpyasnp

fromscipyimportstats

#假設(shè)數(shù)據(jù)

group1=np.random.normal(10,2,100)

group2=np.random.normal(12,2,100)

group3=np.random.normal(14,2,100)

#正態(tài)性檢驗(yàn)

shapiro_result1=stats.shapiro(group1)

shapiro_result2=stats.shapiro(group2)

shapiro_result3=stats.shapiro(group3)

#輸出結(jié)果

print("Group1Shapiro-WilkTest:",shapiro_result1)

print("Group2Shapiro-WilkTest:",shapiro_result2)

print("Group3Shapiro-WilkTest:",shapiro_result3)4.1.2示例：方差齊性檢驗(yàn)使用scipy庫(kù)的Levene檢驗(yàn)來(lái)檢查方差齊性。#方差齊性檢驗(yàn)

levene_result=stats.levene(group1,group2,group3)

#輸出結(jié)果

print("LeveneTestforEqualityofVariances:",levene_result)4.22單因素ANOVA的計(jì)算過(guò)程單因素ANOVA通過(guò)比較組間方差與組內(nèi)方差來(lái)檢驗(yàn)自變量對(duì)因變量的影響。計(jì)算過(guò)程包括：計(jì)算總均值：所有觀測(cè)值的平均值。計(jì)算組間平方和（SSB）：各組均值與總均值的差異平方和。計(jì)算組內(nèi)平方和（SSE）：各組內(nèi)觀測(cè)值與該組均值的差異平方和。計(jì)算總平方和（SST）：所有觀測(cè)值與總均值的差異平方和。計(jì)算組間方差（MSB）：SSB除以組間自由度。計(jì)算組內(nèi)方差（MSE）：SSE除以組內(nèi)自由度。計(jì)算F值：MSB除以MSE。查找F分布表或使用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算P值：P值小于設(shè)定的顯著性水平（如0.05）則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為自變量對(duì)因變量有顯著影響。4.2.1示例：?jiǎn)我蛩谹NOVA計(jì)算使用Python的statsmodels庫(kù)進(jìn)行單因素ANOVA計(jì)算。importstatsmodels.apiassm

fromstatsmodels.formula.apiimportols

#假設(shè)數(shù)據(jù)

data={'value':np.concatenate([group1,group2,group3]),

'group':['A']*len(group1)+['B']*len(group2)+['C']*len(group3)}

#轉(zhuǎn)換為DataFrame

df=pd.DataFrame(data)

#使用ols公式定義模型

model=ols('value~C(group)',data=df).fit()

#進(jìn)行ANOVA

anova_table=sm.stats.anova_lm(model,typ=2)

#輸出ANOVA結(jié)果

print(anova_table)4.33單因素ANOVA的實(shí)際案例分析假設(shè)我們正在研究三種不同肥料對(duì)作物產(chǎn)量的影響。我們收集了使用每種肥料的作物產(chǎn)量數(shù)據(jù)，現(xiàn)在使用單因素ANOVA來(lái)檢驗(yàn)肥料類(lèi)型對(duì)作物產(chǎn)量的影響是否顯著。4.3.1數(shù)據(jù)肥料類(lèi)型作物產(chǎn)量A10,12,11,10,11B14,15,13,14,15C16,17,16,15,164.3.2示例：使用Python進(jìn)行單因素ANOVAimportpandasaspd

importstatsmodels.apiassm

fromstatsmodels.formula.apiimportols

#數(shù)據(jù)

data={'yield':[10,12,11,10,11,14,15,13,14,15,16,17,16,15,16],

'fertilizer':['A','A','A','A','A','B','B','B','B','B','C','C','C','C','C']}

#轉(zhuǎn)換為DataFrame

df=pd.DataFrame(data)

#使用ols公式定義模型

model=ols('yield~C(fertilizer)',data=df).fit()

#進(jìn)行ANOVA

anova_table=sm.stats.anova_lm(model,typ=2)

#輸出ANOVA結(jié)果

print(anova_table)在上述代碼中，我們首先創(chuàng)建了一個(gè)包含作物產(chǎn)量和肥料類(lèi)型的DataFrame。然后，我們使用ols函數(shù)定義了一個(gè)模型，其中yield是因變量，fertilizer是分類(lèi)自變量。最后，我們使用anova_lm函數(shù)進(jìn)行ANOVA分析，并輸出結(jié)果。如果ANOVA的P值小于0.05，我們可以拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為不同肥料類(lèi)型對(duì)作物產(chǎn)量有顯著影響。這將指導(dǎo)我們進(jìn)一步分析哪些肥料類(lèi)型之間的差異是顯著的，可能需要進(jìn)行事后檢驗(yàn)（如TukeyHSD檢驗(yàn)）。4.3.3結(jié)論通過(guò)單因素ANOVA，我們可以有效地檢驗(yàn)一個(gè)分類(lèi)自變量對(duì)一個(gè)連續(xù)因變量的影響是否顯著。在實(shí)際應(yīng)用中，確保滿(mǎn)足ANOVA的假設(shè)條件是至關(guān)重要的，以保證分析結(jié)果的可靠性。一旦發(fā)現(xiàn)顯著差異，進(jìn)一步的事后檢驗(yàn)可以幫助我們理解差異的具體來(lái)源。5多因素ANOVA詳解5.11多因素ANOVA的假設(shè)多因素ANOVA（AnalysisofVariance）是一種統(tǒng)計(jì)方法，用于分析兩個(gè)或更多自變量對(duì)一個(gè)連續(xù)因變量的影響。在進(jìn)行多因素ANOVA之前，需要滿(mǎn)足以下假設(shè)：正態(tài)性：每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)應(yīng)遵循正態(tài)分布。這可以通過(guò)繪制直方圖、Q-Q圖或使用正態(tài)性檢驗(yàn)（如Shapiro-Wilk檢驗(yàn)）來(lái)檢查。方差齊性：所有組的方差應(yīng)相等，即滿(mǎn)足方差齊性假設(shè)。Levene檢驗(yàn)或Bartlett檢驗(yàn)可以用來(lái)驗(yàn)證這一點(diǎn)。獨(dú)立性：觀測(cè)值之間應(yīng)相互獨(dú)立，即一個(gè)觀測(cè)值的結(jié)果不會(huì)影響另一個(gè)觀測(cè)值的結(jié)果。線性關(guān)系：自變量與因變量之間的關(guān)系應(yīng)是線性的?？梢酝ㄟ^(guò)繪制散點(diǎn)圖來(lái)檢查。5.1.1示例：檢查正態(tài)性和方差齊性假設(shè)我們有以下數(shù)據(jù)集，包含兩個(gè)自變量（factor1和factor2）和一個(gè)因變量response：importpandasaspd

importnumpyasnp

fromscipyimportstats

importseabornassns

importmatplotlib.pyplotasplt

#創(chuàng)建數(shù)據(jù)集

np.random.seed(0)

data={

'factor1':np.repeat(['A','B','C'],30),

'factor2':np.tile(['X','Y','Z'],30),

'response':np.random.normal(loc=[10,12,14,11,13,15],scale=[2,2,2,2,2,2],size=90)

}

df=pd.DataFrame(data)

#檢查正態(tài)性

forgroupindf.groupby(['factor1','factor2']):

_,p=stats.shapiro(group[1]['response'])

ifp<0.05:

print(f"組{group[0]}的數(shù)據(jù)不滿(mǎn)足正態(tài)性假設(shè)。")

else:

print(f"組{group[0]}的數(shù)據(jù)滿(mǎn)足正態(tài)性假設(shè)。")

#檢查方差齊性

_,p=stats.levene(df[df['factor1']=='A']['response'],

df[df['factor1']=='B']['response'],

df[df['factor1']=='C']['response'])

ifp<0.05:

print("數(shù)據(jù)不滿(mǎn)足方差齊性假設(shè)。")

else:

print("數(shù)據(jù)滿(mǎn)足方差齊性假設(shè)。")5.22多因素ANOVA的交互作用交互作用是指兩個(gè)或更多自變量對(duì)因變量的影響不是獨(dú)立的，而是相互依賴(lài)的。在多因素ANOVA中，交互作用的檢驗(yàn)非常重要，因?yàn)樗梢詭椭覀兝斫庾宰兞恐g是否存在協(xié)同或抵消效應(yīng)。5.2.1示例：分析交互作用使用statsmodels庫(kù)來(lái)分析交互作用：importstatsmodels.apiassm

fromstatsmodels.formula.apiimportols

#定義模型，包括交互項(xiàng)

model=ols('response~C(factor1)*C(factor2)',data=df).fit()

#進(jìn)行ANOVA分析

anova_table=sm.stats.anova_lm(model,typ=2)

print(anova_table)如果交互作用項(xiàng)的p值小于0.05，我們可以說(shuō)自變量之間存在顯著的交互作用。5.33多因素ANOVA的實(shí)際案例分析假設(shè)我們正在研究不同教學(xué)方法（method）和學(xué)生年齡（age_group）對(duì)學(xué)生成績(jī)（score）的影響。數(shù)據(jù)集如下：#創(chuàng)建數(shù)據(jù)集

np.random.seed(0)

data={

'method':np.repeat(['Lecture','Discussion','Project'],60),

'age_group':np.tile(['Young','Old'],90),

'score':np.random.normal(loc=[70,75,80,72,77,82],scale=[5,5,5,5,5,5],size=180)

}

df=pd.DataFrame(data)

#定義模型

model=ols('score~C(method)*C(age_group)',data=df).fit()

#進(jìn)行ANOVA分析

anova_table=sm.stats.anova_lm(model,typ=2)

print(anova_table)在這個(gè)例子中，我們首先創(chuàng)建了一個(gè)包含教學(xué)方法和年齡組的數(shù)據(jù)集。然后，我們定義了一個(gè)模型，包括主效應(yīng)和交互作用。最后，我們使用anova_lm函數(shù)來(lái)執(zhí)行多因素ANOVA，并打印出ANOVA表，以檢查教學(xué)方法、年齡組以及它們之間的交互作用對(duì)學(xué)生成績(jī)的影響是否顯著。通過(guò)以上步驟，我們可以深入理解多因素ANOVA的原理和應(yīng)用，以及如何在Python中使用statsmodels庫(kù)來(lái)執(zhí)行多因素ANOVA分析。6重復(fù)測(cè)量ANOVA詳解6.11重復(fù)測(cè)量ANOVA的假設(shè)重復(fù)測(cè)量ANOVA（RepeatedMeasuresANOVA）是一種統(tǒng)計(jì)方法，用于分析在不同時(shí)間點(diǎn)或不同條件下對(duì)同一組參與者進(jìn)行多次測(cè)量的數(shù)據(jù)。與傳統(tǒng)的ANOVA相比，重復(fù)測(cè)量ANOVA考慮了數(shù)據(jù)的依賴(lài)性，即同一參與者在不同時(shí)間點(diǎn)或條件下的測(cè)量結(jié)果可能相互關(guān)聯(lián)。以下是重復(fù)測(cè)量ANOVA的基本假設(shè)：正態(tài)性：在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)或條件下的數(shù)據(jù)應(yīng)遵循正態(tài)分布。球形假設(shè)（Sphericity）：這是重復(fù)測(cè)量ANOVA特有的假設(shè)，意味著所有配對(duì)差異的方差相等。如果球形假設(shè)不成立，可能需要使用Greenhouse-Geisser或Huynh-Feldt校正來(lái)調(diào)整自由度，從而更準(zhǔn)確地估計(jì)p值。獨(dú)立性：雖然同一參與者的數(shù)據(jù)在不同時(shí)間點(diǎn)或條件下不獨(dú)立，但不同參與者之間的數(shù)據(jù)應(yīng)是獨(dú)立的。方差齊性：在不同時(shí)間點(diǎn)或條件下的數(shù)據(jù)方差應(yīng)相等。6.22重復(fù)測(cè)量ANOVA的計(jì)算過(guò)程重復(fù)測(cè)量ANOVA的計(jì)算過(guò)程涉及以下幾個(gè)步驟：計(jì)算總平方和（SST）：這是所有觀測(cè)值與總平均值差異的平方和。計(jì)算誤差平方和（SSE）：這是每個(gè)觀測(cè)值與該參與者在所有條件下的平均值差異的平方和。計(jì)算處理平方和（SSTreatment）：這是不同條件下的平均值與總平均值差異的平方和。計(jì)算主體間平方和（SSBetween）：這是不同參與者之間的平均值與總平均值差異的平方和。計(jì)算主體內(nèi)平方和（SSWithin）：這是處理平方和與主體間平方和的差值，反映了同一參與者在不同條件下的差異。計(jì)算F比率：通過(guò)處理平方和與誤差平方和的比值來(lái)計(jì)算F比率，用于檢驗(yàn)不同條件下的平均值是否有顯著差異。確定p值：通過(guò)F比率和自由度來(lái)查找F分布表，或使用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算p值，以判斷處理效果是否顯著。6.2.1示例代碼假設(shè)我們有一組數(shù)據(jù)，記錄了10名參與者在三種不同條件下的反應(yīng)時(shí)間，我們可以使用Python的pingouin庫(kù)來(lái)進(jìn)行重復(fù)測(cè)量ANOVA分析。importpingouinaspg

importpandasaspd

#創(chuàng)建數(shù)據(jù)

data={

'Subject':['P1','P2','P3','P4','P5','P6','P7','P8','P9','P10'],

'Condition1':[1.2,1.5,1.3,1.1,1.4,1.6,1.2,1.3,1.4,1.5],

'Condition2':[1.4,1.7,1.5,1.3,1.6,1.8,1.4,1.5,1.6,1.7],

'Condition3':[1.6,1.9,1.7,1.5,1.8,2.0,1.6,1.7,1.8,1.9]

}

#轉(zhuǎn)換為長(zhǎng)格式

df=pd.melt(pd.DataFrame(data),id_vars=['Subject'],value_vars=['Condition1','Condition2','Condition3'],

var_name='Condition',value_name='ReactionTime')

#執(zhí)行重復(fù)測(cè)量ANOVA

aov=pg.rm_anova(dv='ReactionTime',within='Condition',subject='Subject',data=df)

print(aov)6.33重復(fù)測(cè)量ANOVA的實(shí)際案例分析6.3.1案例描述假設(shè)我們正在研究一種新藥對(duì)患者血壓的影響。我們選擇了10名高血壓患者，在他們服用藥物前、服用藥物一周后、服用藥物兩周后分別測(cè)量了血壓。我們想要知道藥物是否對(duì)血壓有顯著的影響。6.3.2數(shù)據(jù)SubjectBeforeWeek1Week2P1140130125P2145135130P3150140135P4142132128P5148138133P6152142137P7143133128P8147137132P9155145140P101491391346.3.3分析過(guò)程使用上述代碼示例中的方法，我們可以將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為適合重復(fù)測(cè)量ANOVA的格式，并進(jìn)行分析。#數(shù)據(jù)輸入

data={

'Subject':['P1','P2','P3','P4','P5','P6','P7','P8','P9','P10'],

'Before':[140,145,150,142,148,152,143,147,155,149],

'Week1':[130,135,140,132,138,142,133,137,145,139],

'Week2':[125,130,135,128,133,137,128,132,140,134]

}

#轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)格式

df=pd.melt(pd.DataFrame(data),id_vars=['Subject'],value_vars=['Before','Week1','Week2'],

var_name='TimePoint',value_name='BloodPressure')

#執(zhí)行重復(fù)測(cè)量ANOVA

aov=pg.rm_anova(dv='BloodPressure',within='TimePoint',subject='Subject',data=df)

print(aov)6.3.4結(jié)果解釋輸出的ANOVA結(jié)果將包括F比率和p值。如果p值小于0.05，我們可以拒絕零假設(shè)，認(rèn)為藥物對(duì)血壓有顯著影響。此外，我們還可以查看效應(yīng)量（如eta-squared），以了解處理效果的大小。6.3.5注意事項(xiàng)在進(jìn)行重復(fù)測(cè)量ANOVA時(shí)，應(yīng)檢查球形假設(shè)是否成立。如果數(shù)據(jù)違反了球形假設(shè)，可以使用Greenhouse-Geisser或Huynh-Feldt校正來(lái)調(diào)整結(jié)果，確保分析的準(zhǔn)確性。7方差分析的后續(xù)檢驗(yàn)7.11多重比較檢驗(yàn)7.1.1原理在完成ANOVA分析后，如果發(fā)現(xiàn)組間存在顯著差異，我們通常需要進(jìn)一步確定是哪些組之間存在差異。多重比較檢驗(yàn)（MultipleComparisonTests）就是用于檢測(cè)多個(gè)組之間的兩兩差異的統(tǒng)計(jì)方法。由于進(jìn)行多次比較會(huì)增加犯I型錯(cuò)誤（即錯(cuò)誤地拒絕原假設(shè)）的風(fēng)險(xiǎn)，因此多重比較檢驗(yàn)通常會(huì)采用一些方法來(lái)控制這種風(fēng)險(xiǎn)，如Tukey檢驗(yàn)、Bonferroni校正等。7.1.2內(nèi)容多重比較檢驗(yàn)涉及對(duì)所有可能的組對(duì)進(jìn)行比較，以確定哪些組的均值之間存在顯著差異。在進(jìn)行多重比較時(shí)，我們關(guān)注的是調(diào)整后的p值，以確保在多次比較中保持整體的顯著性水平。7.22Tukey檢驗(yàn)7.2.1原理Tukey的HSD（HonestlySignificantDifference）檢驗(yàn)是一種常用的多重比較方法，它使用學(xué)生化范圍分布（StudentizedRangeDistribution）來(lái)計(jì)算調(diào)整后的p值。Tukey檢驗(yàn)可以控制實(shí)驗(yàn)的全局錯(cuò)誤率，確保在進(jìn)行所有可能的兩兩比較時(shí)，整體的I型錯(cuò)誤率不超過(guò)預(yù)定的水平。7.2.2內(nèi)容Tukey檢驗(yàn)適用于等方差的假設(shè)下，且樣本量相等或不相等的情況。它通過(guò)計(jì)算組間均值的差異與標(biāo)準(zhǔn)誤差的比值，來(lái)確定哪些組間的差異是顯著的。7.2.3示例代碼假設(shè)我們有三個(gè)組的數(shù)據(jù)，分別存儲(chǔ)在group1、group2和group3中，我們可以使用Python的statsmodels庫(kù)來(lái)進(jìn)行Tukey檢驗(yàn)。importstatsmodels.apiassm

fromstatsmodels.stats.multicompimportpairwise_tukeyhsd

importnumpyasnp

importpandasaspd

#創(chuàng)建示例數(shù)據(jù)

np.random.seed(123)

group1=np.random.normal(loc=5,scale=1,size=100)

group2=np.random.normal(loc=6,scale=1,size=100)

group3=np.random.normal(loc=7,scale=1,size=100)

#將數(shù)據(jù)組合成一個(gè)DataFrame

data=pd.DataFrame({'value':np.concatenate([group1,group2,group3]),

'group':['A']*100+['B']*100+['C']*100})

#進(jìn)行Tukey檢驗(yàn)

tukey=pairwise_tukeyhsd(endog=data['value'],

groups=data['group'],

alpha=0.05)

#輸出結(jié)果

print(tukey)7.2.4解釋在上述代碼中，我們首先生成了三個(gè)組的數(shù)據(jù)，每個(gè)組的數(shù)據(jù)都來(lái)自不同的正態(tài)分布。然后，我們將這些數(shù)據(jù)組合成一個(gè)DataFrame，其中value列存儲(chǔ)了所有組的數(shù)據(jù)，group列標(biāo)識(shí)了數(shù)據(jù)所屬的組。最后，我們使用pairwise_tukeyhsd函數(shù)進(jìn)行Tukey檢驗(yàn)，alpha=0.05表示我們希望控制的全局錯(cuò)誤率。7.33Bonferroni校正7.3.1原理Bonferroni校正是另一種控制多重比較中I型錯(cuò)誤率的方法。它通過(guò)將顯著性水平（α）除以比較的次數(shù)（m），來(lái)降低每個(gè)單獨(dú)比較的顯著性水平，從而控制全局的I型錯(cuò)誤率不超過(guò)α。7.3.2內(nèi)容Bonferroni校正簡(jiǎn)單直觀，但有時(shí)會(huì)過(guò)于保守，尤其是在比較次數(shù)很多的情況下，可能會(huì)降低檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)功效。7.3.3示例代碼使用Python的scipy庫(kù)，我們可以進(jìn)行Bonferroni校正的多重比較檢驗(yàn)。fromscipy.statsimportttest_ind

fromstatsmodels.stats.multitestimportmultipletests

#假設(shè)我們有四個(gè)組的數(shù)據(jù)

np.random.seed(123)

group1=np.random.normal(loc=5,scale=1,size=100)

group2=np.random.normal(loc=6,scale=1,size=100)

group3=np.random.normal(loc=7,scale=1,size=100)

group4=np.random.normal(loc=8,scale=1,size=100)

#進(jìn)行所有兩兩比較

p_values=[]

foriinrange(4):

forjinrange(i+1,4):

p_value=ttest_ind(eval(f'group{i+1}'),eval(f'group{j+1}')).pvalue

p_values.append(p_value)

#使用Bonferroni校正

reject,pvals_corrected,_,_=multipletests(p_values,alpha=0.05,method='bonferroni')

#輸出校正后的p值

print(pvals_corrected)7.3.4解釋在示例代碼中，我們首先生成了四個(gè)組的數(shù)據(jù)，每個(gè)組的數(shù)據(jù)都來(lái)自不同的正態(tài)分布。然后，我們使用ttest_ind函數(shù)對(duì)所有可能的兩兩組進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，得到原始的p值列表。最后，我們使用multipletests函數(shù)進(jìn)行Bonferroni校正，method='bonferroni'指定了我們使用的是Bonferroni校正方法。校正后的p值列表將輸出，我們可以根據(jù)這些p值來(lái)判斷哪些組間的差異是顯著的。8方差分析的常見(jiàn)問(wèn)題與解答8.11如何選擇正確的ANOVA類(lèi)型8.1.1原理與內(nèi)容在進(jìn)行方差分析時(shí)，選擇正確的ANOVA類(lèi)型至關(guān)重要，以確保分析的準(zhǔn)確性和有效性。ANOVA（AnalysisofVariance）有幾種主要類(lèi)型，包括單因素ANOVA、重復(fù)測(cè)量ANOVA、多因素ANOVA和協(xié)方差分析（ANCOVA）。選擇哪種類(lèi)型取決于你的研究設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)特性。8.1.1.1單因素ANOVA適用場(chǎng)景：當(dāng)你的研究中只有一個(gè)獨(dú)立變量，且該變量有三個(gè)或更多水平時(shí)。示例：假設(shè)你正在研究三種不同肥料對(duì)作物產(chǎn)量的影響。肥料類(lèi)型是獨(dú)立變量，作物產(chǎn)量是因變量。8.1.1.2重復(fù)測(cè)量ANOVA適用場(chǎng)景：當(dāng)同一個(gè)樣本在不同時(shí)間點(diǎn)或不同條件下被測(cè)量多次時(shí)。示例：研究一種藥物對(duì)患者血壓的影響，測(cè)量患者在服用藥物前、服用藥物后一周、服用藥物后兩周的血壓。8.1.1.3多因素ANOVA適用場(chǎng)景：當(dāng)你的研究中有兩個(gè)或更多獨(dú)立變量時(shí)。示例：研究不同肥料和灌溉方式對(duì)作物產(chǎn)量的影響。肥料類(lèi)型和灌溉方式是兩個(gè)獨(dú)立變量，作物產(chǎn)量是因變量。8.1.1.4協(xié)方差分析（ANCOVA）適用場(chǎng)景：當(dāng)你的研究中除了一個(gè)或多個(gè)分類(lèi)的獨(dú)立變量外，還有一個(gè)或多個(gè)連續(xù)的協(xié)變量時(shí)。示例：研究不同教學(xué)方法對(duì)學(xué)生考試成績(jī)的影響，同時(shí)考慮學(xué)生的初始知識(shí)水平作為協(xié)變量。8.1.2代碼示例：?jiǎn)我蛩谹NOVAimportpandasaspd

importnumpyasnp

fromscipyimportstats

#創(chuàng)建數(shù)據(jù)

data={

'Fertilizer':['A','A','A','B','B','B','C','C','C'],

'Yield':[10,12,11,15,16,14,18,20,19]

}

df=pd.DataFrame(data)

#單因素ANOVA

fvalue,pvalue=stats.f_oneway(df[df['Fertilizer']=='A']['Yield'],

df[df['Fertilizer']=='B']['Yield'],

df[df['Fertilizer']=='C']['Yield'])

print("F-value:",fvalue)

print("P-value:",pvalue)8.22方差分析假設(shè)不滿(mǎn)足時(shí)的處理方法8.2.1原理與內(nèi)容方差分析基于幾個(gè)關(guān)鍵假設(shè)：正態(tài)性、獨(dú)立性和方差齊性。當(dāng)這些假設(shè)不滿(mǎn)足時(shí)，結(jié)果可能不可靠。處理方法包括數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換、使用非參數(shù)檢驗(yàn)或調(diào)整模型。8.2.1.1數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換適用場(chǎng)景：當(dāng)數(shù)據(jù)不滿(mǎn)足正態(tài)性或方差齊性時(shí)。示例：對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換或平方根轉(zhuǎn)換，以改善數(shù)據(jù)的分布特性。8.2.1.2非參數(shù)檢驗(yàn)適用場(chǎng)景：當(dāng)數(shù)據(jù)不滿(mǎn)足正態(tài)性或獨(dú)立性假設(shè)時(shí)。示例：使用Kruskal-Wallis檢驗(yàn)作為單因素ANOVA的非參數(shù)替代。8.2.1.3調(diào)整模型適用場(chǎng)景：當(dāng)模型中存在協(xié)變量時(shí)，可以考慮使用ANCOVA。示例：在模型中加入?yún)f(xié)變量，以控制其對(duì)因變量的影響。8.2.2代碼示例：非參數(shù)檢驗(yàn)（Kruskal-Wallis）#使用Kruskal-Wallis檢驗(yàn)

h,p=stats.kruskal(df[df['Fertilizer']=='A']['Yield'],

df[df['Fertilizer']=='B']['Yield'],

df[df['Fertilizer']=='C']['Yield'])

print("H-value:",h)

print("P-value:",p)8.33方差分析與t檢驗(yàn)的區(qū)別8.3.1原理與內(nèi)容方差分析和t檢驗(yàn)都是用于比較不同組間均值差異的統(tǒng)計(jì)方法，但它們?cè)谶m用場(chǎng)景和功能上有所不同。8.3.1.1方差分析適用場(chǎng)景：當(dāng)比較三個(gè)或更多組的均值時(shí)。優(yōu)點(diǎn)：可以同時(shí)比較多個(gè)組，減少多重比較的錯(cuò)誤率。8.3.1.2t檢驗(yàn)適用場(chǎng)景：當(dāng)比較兩個(gè)組的均值時(shí)。優(yōu)點(diǎn)：在比較兩個(gè)組時(shí)，t檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)功效可能高于ANOVA。8.3.2代碼示例：t檢驗(yàn)#t檢驗(yàn)示例

t_stat,p_val=stats.ttest_ind(df[df['Fertilizer']=='A']['Yield'],

df[df['Fertilizer']=='B']['Yield'])

print("T-statistic:",t_stat)

print("P-value:",p_val)8.3.3結(jié)論選擇正確的ANOVA類(lèi)型、處理假設(shè)不滿(mǎn)足的情況以及理解方差分析與t檢驗(yàn)的區(qū)別，對(duì)于進(jìn)行有效的數(shù)據(jù)分析至關(guān)重要。通過(guò)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法和工具，可以確保研究結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。9方差分析的軟件實(shí)現(xiàn)9.11使用R語(yǔ)言進(jìn)行方差分析在R語(yǔ)言中，ANOVA（方差分析）可以通過(guò)aov()函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。此函數(shù)適用于單因素和多因素的ANOVA分析。下面，我們將通過(guò)一個(gè)具體的數(shù)據(jù)集示例來(lái)展示如何使用R進(jìn)行方差分析。9.1.1數(shù)據(jù)準(zhǔn)備假設(shè)我們有一個(gè)數(shù)據(jù)集，其中包含不同肥料對(duì)作物產(chǎn)量的影響。數(shù)據(jù)集有兩列：fertilizer（肥料類(lèi)型）和yield（作物產(chǎn)量）。#創(chuàng)建數(shù)據(jù)集

data<-data.frame(

fertilizer=factor(rep(c("A","B","C"),each=10)),

yield=c(rnorm(10,200,10),rnorm(10,220,10),rnorm(10,230,10))

)9.1.2方差分析使用aov()函數(shù)進(jìn)行方差分析，然后使用summary()函數(shù)查看結(jié)果。#進(jìn)行ANOVA分析

model<-aov(yield~fertilizer,data=data)

#查看ANOVA結(jié)果

summary(model)9.1.3結(jié)果解釋summary()函數(shù)的輸出將包括方差來(lái)源、自由度、平方和、均方、F值和P值。如果P值小于0.05，我們可以拒絕零假設(shè)，認(rèn)為肥料類(lèi)型對(duì)作物產(chǎn)量有顯著影響。9.22使用Python進(jìn)行方差分析Python中，ANOVA可以通過(guò)scipy.stats庫(kù)中的f_oneway()函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。下面是一個(gè)使用Python進(jìn)行單因素ANOVA的例子。9.2.1數(shù)據(jù)準(zhǔn)備我們將使用與R示例相同的數(shù)據(jù)集，但使用Python的Pandas庫(kù)來(lái)處理數(shù)據(jù)。importpandasaspd

importnumpyasnp

fromscipy.statsimportf_oneway

#創(chuàng)建數(shù)據(jù)集

data=pd.DataFrame({

'fertilizer':np.repeat(['A','B','C'],repeats=10),

'yield':np.concatenate([np.random.normal(200,10,10),np.random.normal(220,10,10),np.random.normal(230,10,10)])

})9.2.2方差分析使用f_oneway()函數(shù)進(jìn)行方差分析。#分組數(shù)據(jù)

group_A=data[data['fertilizer']=='A']['yield']

group_B=data[data['fertilizer']=='B']['yield']

group_C=data[data['fertilizer']=='C']['yield']

#進(jìn)行ANOVA分析

fvalue,pvalue=f_oneway(group_A,group_B,group_C)

#輸出結(jié)果

print("F-value:",fvalue)

print("P-value:",pvalue)9.2.3結(jié)果解釋如果P值小于0.05，我們可以認(rèn)為不同肥料類(lèi)型對(duì)作物產(chǎn)量的影響是顯著的。9.33使用SPSS進(jìn)行方差分析在SPSS中，ANOVA可以通過(guò)菜單操作或使用SPSS語(yǔ)法來(lái)實(shí)現(xiàn)。