2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第3節(jié)圓的方程學(xué)案含解析

圓的方程[考試要求]1.駕馭確定圓的幾何要素，駕馭圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心(a，b)，半徑r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)提示：當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一個(gè)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；當(dāng)D2＋E2－4F＜0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0沒有意義，不表示任何圖形．2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])1．圓的三特性質(zhì)(1)圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．()(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個(gè)圓．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不肯定表示圓．()(4)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√二、教材習(xí)題衍生1．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()A．(2,3)，3 B．(－2,3)，eq\r(3)C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq\r(13)D[圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標(biāo)是(2，－3)，半徑r＝eq\r(13).]2．已知點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝eq\r(2)C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4A[AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，|AB|＝eq\r([1－－1]2＋－1－12)＝2eq\r(2)，所以圓的方程為x2＋y2＝2.]3．過點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C[設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.因?yàn)閳A心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.]4．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為________．x2＋y2－2x＝0[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,2＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝0.))∴圓的方程為x2＋y2－2x＝0.]考點(diǎn)一圓的方程求圓的方程的兩種方法1．若不同的四點(diǎn)A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圓，則a的值為________．7[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，分別代入A，B，Ceq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25＋5D＋F＝0，,1－D＋F＝0，,9＋9－3D＋3E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－\f(25,3)，,F＝－5.))所以A，B，C三點(diǎn)確定的圓的方程為x2＋y2－4x－eq\f(25,3)y－5＝0.因?yàn)镈(a,3)也在此圓上，所以a2＋9－4a－25－5＝0.所以a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值為7.]2．(2024·包頭青山區(qū)模擬)已知圓C過點(diǎn)A(6,0)，B(1,5)，且圓心在直線l：2x－7y＋8＝0上，則圓C的方程為________．(x－3)2＋(y－2)2＝13[法一：(幾何法)kAB＝eq\f(5－0,1－6)＝－1，則AB的垂直平分線方程為y－eq\f(5,2)＝x－eq\f(7,2)，即x－y－1＝0，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0，,2x－7y＋8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))r＝eq\r(6－32＋0－22)＝eq\r(13)，故圓C的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝13.法二：(待定系數(shù)法)設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6－a2＋0－b2＝r2，,1－a2＋5－b2＝r2，,2a－7b＋8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,r2＝13，))故所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝13.]3．已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長(zhǎng)為eq\r(6)，則圓C的方程為________．(x－1)2＋(y＋1)2＝2[法一：由圓C的圓心在直線x＋y＝0上，∴設(shè)圓C的圓心為(a，－a)．又∵圓C與直線x－y＝0相切，∴半徑r＝eq\f(2|a|,\r(2))＝eq\r(2)|a|.又圓C在直線x－y－3＝0上截得的弦長(zhǎng)為eq\r(6)，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|2a－3|,\r(2))，∴d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝r2，即eq\f(2a－32,2)＋eq\f(3,2)＝2a2，解得a＝1，∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法二：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)，∵圓心在直線x＋y＝0上，∴－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)＝0，即D＋E＝0，①又∵圓C與直線x－y＝0相切，∴eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)，即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②又知圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2)－3)),\r(2))，由已知得d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝r2，∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③聯(lián)立①②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝0，))故所求圓的方程為x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.]4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a(－2，－4)5[由已知方程表示圓，則a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.當(dāng)a＝2時(shí)，方程不滿意表示圓的條件，故舍去．當(dāng)a＝－1時(shí)，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓．]點(diǎn)評(píng)：(1)幾何法的關(guān)鍵是定圓心．(2)已知圓心位置常設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，已知圓上三點(diǎn)常設(shè)圓的一般式．(3)涉及圓的弦長(zhǎng)問題，一般是利用半弦長(zhǎng)、弦心距和半徑構(gòu)成直角三角形求解．(4)方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件為A＝B＞0，C＝0，D2＋E2－4AF＞0.考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法(1)形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題．(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題．斜率型、截距型、距離型最值問題[典例1－1]已知實(shí)數(shù)x，y滿意方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．(1)eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)(如圖①)．所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).圖①圖②圖③(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)(如圖②)．所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何學(xué)問知，x2＋y2在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖③)．又圓心到原點(diǎn)的距離為eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).點(diǎn)評(píng)：與圓有關(guān)的斜率型、截距型、距離型最值問題一般依據(jù)相應(yīng)幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．利用對(duì)稱性求最值[典例1－2]已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為()A．5eq\r(2)－4 B．eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2) D．eq\r(17)A[P是x軸上隨意一點(diǎn)，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3(圖略)，則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5eq\r(2)，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5eq\r(2)－4.]點(diǎn)評(píng)：求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：(1)“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離．(2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同始終線上的兩線段之和，一般要通過對(duì)稱性解決．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]A[圓心(2,0)到直線的距離d＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以點(diǎn)P到直線的距離d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]．依據(jù)直線的方程可知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以△ABP的面積S＝eq\f(1,2)|AB|d1＝eq\r(2)d1.因?yàn)閐1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]，所以S∈[2,6]，即△ABP面積的取值范圍是[2,6]．]2．(2024·南寧模擬)一束光線從點(diǎn)A(－3,2)動(dòng)身，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長(zhǎng)度是()A．4 B．5C．5eq\r(2)－1 D．2eq\r(6)－1C[依據(jù)題意，設(shè)A′與A關(guān)于x軸對(duì)稱，且A(－3,2)，則A′的坐標(biāo)為(－3，－2)，又由A′C＝eq\r(25＋25)＝5eq\r(2)，則A′到圓C上的點(diǎn)的最短距離為5eq\r(2)－1.故這束光線從點(diǎn)A(－3,2)動(dòng)身，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長(zhǎng)度是5eq\r(2)－1，故選C.]考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法(1)干脆法：干脆依據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解．(2)定義法：依據(jù)圓的定義列方程求解．(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列出方程求解．(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿意的關(guān)系式求解．[典例2]已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．[解](1)(干脆法)設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．(定義法)設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)(代入法)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．點(diǎn)評(píng)：此類問題在解題過程中，常因忽視對(duì)特別點(diǎn)的驗(yàn)證而造成解題失誤．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1A[設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0，y0)，PQ中點(diǎn)為M(x，y)，依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2，))因?yàn)镼(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化為(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故選A.]2．(多選)(2024·福建漳州月考)古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)覺，“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ(λ>0，且λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，點(diǎn)P滿意eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(1,2).設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，下列結(jié)論正確的是()A．C的方程為(x＋4)2＋y2＝9B．在x軸上存在異于A，B的兩定點(diǎn)D，E，使得eq\f(|PD|,|PE|)＝eq\f(1,2)C．當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是∠APB的平分線D．在C上存在點(diǎn)M，使得|MO|＝2|MA|BC[對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(1,2)＝eq\f(\r(x＋22＋y2),\r(x－42＋y2))，化簡(jiǎn)整理得P的軌跡方程為x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，可設(shè)D