天津市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題含解析

PAGE24-天津市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題（含解析）一、選擇題(共9小題;共45分)1.設(shè)，，則A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：求出，得到的范圍，進而可得結(jié)果．詳解：.,即又即故選B.點睛：本題主要考查對數(shù)的運算和不等式，屬于中檔題．2.設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為同一個單調(diào)區(qū)間上，再比較大?。驹斀狻渴荝的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)單調(diào)遞減，∴，，故選C．【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，解題關(guān)鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值．3.已知a，b，c，d是四個互不相等的正實數(shù)，滿意，且，則下列選項正確的是A.B.C.D.【答案】D【解析】分析】通過取特別值，依次解除選項，得到結(jié)果.【詳解】選項：取，，，則，，可知錯誤；選項：取，，，則，，可知錯誤；選項：取，，，則，，又，可知錯誤；選項：設(shè)，，則則要證，只需證即證：，又，只需即可即證：又，則只需即可即綜上所述：，可知正確.本題正確選項：【點睛】本題考查不等式相關(guān)問題，通過取特別值解除的方法是較簡潔的方法.證明的難點在于能夠?qū)⒗闷椒讲罟竭M行分子有理化，將問題進行轉(zhuǎn)化.4.已知隨機變量滿意P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，則A.<，< B.<，>C.>，< D.>，>【答案】A【解析】∵，∴，∵，∴，故選A．【名師點睛】求離散型隨機變量的分布列，首先要依據(jù)詳細(xì)狀況確定的取值狀況，然后利用排列，組合與概率學(xué)問求出取各個值時的概率．對于聽從某些特別分布的隨機變量，其分布列可以干脆應(yīng)用公式給出，其中超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．由已知本題隨機變量聽從兩點分布，由兩點分布數(shù)學(xué)期望與方差的公式可得A正確．5.如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，.（）若A.是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列C.是等差數(shù)列D.是等差數(shù)列【答案】A【解析】【詳解】表示點到對面直線的距離（設(shè)為）乘以長度的一半，即，由題目中條件可知的長度為定值，那么我們須要知道的關(guān)系式，由于和兩個垂足構(gòu)成了直角梯形，那么，其中為兩條線的夾角，即為定值，那么，，作差后：，都為定值，所以為定值．故選A．【此處有視頻，請去附件查看】6.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖像上，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】可將問題轉(zhuǎn)化，求直線關(guān)于直線的對稱直線，再分別探討兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨界點，進一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對稱直線為，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，單減，當(dāng)時，，單增；當(dāng)時，，，當(dāng)，當(dāng)時，單減，當(dāng)時，單增；依據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖：當(dāng)與（）相切時，得，解得；當(dāng)與（）相切時，滿意，解得，結(jié)合圖像可知，即，故選：A【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點問題，導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)增減性，找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題7.已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】當(dāng)時，最多一個零點；當(dāng)時，，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖，依據(jù)草圖可得．【詳解】當(dāng)時，，得；最多一個零點；當(dāng)時，，，當(dāng)，即時，，在，上遞增，最多一個零點．不合題意；當(dāng)，即時，令得，，函數(shù)遞增，令得，，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個零點；依據(jù)題意函數(shù)恰有3個零點函數(shù)在上有一個零點，在，上有2個零點，如圖：且，解得，，．故選．【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類探討，這一過程中有可能分類不全面、不徹底.8.梯形中，，點在直線上，點在直線上，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)平面對量基本定理，將當(dāng)作兩組基底向量，再依據(jù)向量線性運算的加法與減法法則，代換出，結(jié)合，化簡得，將表示成的關(guān)系式，再結(jié)合基本不等式求解即可【詳解】，，由，化簡得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號故選：A【點睛】本題考查平面對量基本定理的應(yīng)用，向量的加法與減法的線性運算，基本不等式求最值，運算實力，屬于難題9.設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結(jié)論：①在（）有且僅有3個極大值點②在（）有且僅有2個微小值點③在（）單調(diào)遞增④的取值范圍是[)其中全部正確結(jié)論的編號是A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④【答案】D【解析】【分析】本題為三角函數(shù)與零點結(jié)合問題，難度大，通過整體換元得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像分析得出答案．【詳解】當(dāng)時，，∵f（x）在有且僅有5個零點，∴，∴，故④正確，由，知時，令時取得極大值，①正確；微小值點不確定，可能是2個也可能是3個，②不正確；因此由選項可知只需推斷③是否正確即可得到答案，當(dāng)時，，若f（x）在單調(diào)遞增，則，即，∵，故③正確．故選D．【點睛】微小值點個數(shù)動態(tài)的，易錯，③正確性考查需仔細(xì)計算，易出錯，本題主要考查了整體換元的思想解三角函數(shù)問題，屬于中檔題．二、填空題(共6小題;共30分)10.已知，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】可采納拼湊法，令，再結(jié)合基本不等式求解即可【詳解】因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時取到“=”號故答案為：【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題11.如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點，，，則的值是_______.【答案】【解析】因為，，因此，【考點】向量數(shù)量積【名師點睛】探討向量的數(shù)量積，一般有兩個思路，一是建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)探討向量的數(shù)量積；二是利用一組基底表示全部向量，兩種思路實質(zhì)相同，但坐標(biāo)法更易理解和化簡.對于涉及中線的向量問題，一般利用向量加、減法的平行四邊形法則進行求解．【此處有視頻，請去附件查看】12.已知為正實數(shù)，且，則的最小值為____．【答案】.【解析】分析：先通過結(jié)合基本不等式求出，再開方得到的最小值.詳解：由題得，代入已知得，兩邊除以得當(dāng)且僅當(dāng)ab=1時取等.所以即的最小值為.故答案為點睛：本題的難點在要考慮到通過變形轉(zhuǎn)化得到，再想到兩邊除以得，重點考查學(xué)生的邏輯分析推理轉(zhuǎn)化的實力.13.正項數(shù)列的前項和滿意.若對于隨意的，都有成立，則整數(shù)的最大值為_________________.【答案】1【解析】【分析】依據(jù)可求得，進而得到的通項公式；依據(jù)通項公式可證得數(shù)列為遞減數(shù)列，可求得，由此得到的最大值為.【詳解】當(dāng)時，，解得，當(dāng)且時由得：，即整理得：，即因為滿意，則即，即數(shù)列遞減數(shù)列又則整數(shù)的最大值為【點睛】本題考查數(shù)列綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠利用求得的通項公式，進一步證明得到數(shù)列為遞減數(shù)列，從而通過極限求得結(jié)果；難點是對于數(shù)列是遞減數(shù)列的證明上，對計算實力要求較高.14.已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是___________．【答案】(1).(1,4)(2).【解析】分析:依據(jù)分段函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個不等式組，分別求解，最終求并集.先探討一次函數(shù)零點的取法，再對應(yīng)確定二次函數(shù)零點的取法，即得參數(shù)的取值范圍.詳解：由題意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是當(dāng)時，，此時，即在上有兩個零點；當(dāng)時，，由在上只能有一個零點得.綜上，的取值范圍為.點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用方法和思路：(1)干脆法：干脆依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．15.已知函數(shù)，則:(1)曲線的斜率為的切線方程為__________;(2)設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為.當(dāng)最小時，的值為__________．【答案】(1).與(2).-3【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線的斜率，再結(jié)合點斜式求出方程即可（2）令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得，再令，則，，結(jié)合肯定值函數(shù)的對稱性，進一步探討參數(shù)與-3的關(guān)系即可求解【詳解】(1)由得，令，即，得或又所以曲線的斜率為的切線方程是與即與(2)令.由得，令得或的狀況如表:所以的最小值為，最大值為，可令，則，，此時依據(jù)肯定值函數(shù)的對稱性進行分類探討，當(dāng)時，即時，如圖：函數(shù)的對稱軸為，此時；當(dāng)時，即時，如圖：，當(dāng)時，；當(dāng)時，即時，如圖：，當(dāng)時，；綜上所述，當(dāng)最小時，的值為-3【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值，肯定值函數(shù)的對稱軸與最值的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)會轉(zhuǎn)化函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于難題三、解答題(共5小題;共65分)16.秉承提升學(xué)生核心素養(yǎng)的理念，學(xué)校開設(shè)以提升學(xué)生跨文化素養(yǎng)為核心的多元文化融合課程.選某藝術(shù)課程的學(xué)生唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有人，會跳舞的有人，現(xiàn)從中選人，設(shè)為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù)，且(1)求選該藝術(shù)課程的學(xué)生人數(shù);(2)寫出的概率分布列并計算.【答案】(1)人(2)分布列見解析，【解析】【分析】（1）可設(shè)既會唱歌又會跳舞的有人，表示出藝術(shù)課的總?cè)藬?shù)和只會一項的人數(shù)，先求對立事務(wù)的概率，既會唱歌又會跳舞的對立事務(wù)為：只會唱歌或跳舞中的一項，再依據(jù)古典概型公式即可求解；（2）依據(jù)題意求出每一符合條件的概率事務(wù)對應(yīng)的概率值，列出分布列，求值即可；【詳解】(1)設(shè)既會唱歌又會跳舞的有人，則該藝術(shù)課程的總?cè)藬?shù)共有人，那么只會一項的人數(shù)是人.因為所以，即，解得.故選該藝術(shù)課程的共有人.(2)因為，所以的概率分布列為所以【點睛】本題考查集合中容斥原理的應(yīng)用，組合公式的應(yīng)用，古典概型，分布列和期望的求法，屬于中檔題17.如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點G在PB上，且．推斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)見解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合兩個半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得點G的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面的法向量和直線AG的方向向量可推斷直線是否在平面內(nèi).【詳解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以點A為坐標(biāo)原點，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知：，由可得點F的坐標(biāo)為，由可得，設(shè)平面AEF的法向量為：，則，據(jù)此可得平面AEF的一個法向量為：，很明顯平面AEP的一個法向量為，，二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為.(Ⅲ)易知，由可得，則，留意到平面AEF的一個法向量為：，其且點A平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).18.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，成等差數(shù)列，且滿意，數(shù)列的前項和，且(1)求數(shù)列和的通項公式;.(2)設(shè)，求證:【答案】(1)，(2)證明見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，結(jié)合成等差數(shù)列化簡，可得，解得，再結(jié)合，可求得首項，進而求出；采納化簡即可求得；（2）由（1）化簡得，結(jié)合疊加法公式即可求證【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，有，所以因為,所以，且，解得或(舍)，因為所以所以所以數(shù)列的通項公式為當(dāng)時，整理得,即所以數(shù)列是首項為的常數(shù)列.所以，即，所以數(shù)列的通項公式為.(2)由(1)，得所以【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式的求法，與的關(guān)系求通項，裂項公式、疊加法的應(yīng)用，屬于中檔題19.已知數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和，并求滿意的全部正整數(shù).【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.【解析】分析：（1）設(shè)，推導(dǎo)出，由此能證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）推導(dǎo)出，由，得，，從而由此能求出滿意Sn＞0的全部正整數(shù)n的值．（1）設(shè)，因為，所以數(shù)列是以即為首項，以為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，即，由，得，所以，，明顯當(dāng)時，單調(diào)遞減，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，；，同理，當(dāng)且僅當(dāng)時，，綜上，滿意的全部正整數(shù)為和.點睛：本題考查等比數(shù)列的證明，考查滿意數(shù)列的前n項和的正整數(shù)的最大值的求法，考查等比數(shù)列、分組求和法等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運算求解實力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．20.已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）若是的極大值點，求．【答案】（1）見解析（2）【解析】分析：（1）求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性證明即可．（2）分類探討和,構(gòu)造函數(shù),探討的性質(zhì)即可得到a的范