廣東省揭陽市兩校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024—2025學(xué)年度8月底高三兩校聯(lián)考數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集的定義，將兩個(gè)集合的條件聯(lián)立即可得到結(jié)果.【詳解】由，或，知.故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分式不等式和一元二次不等式的解法，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】由得，解得，由得，所以，解得，所以“”是“”成立的必要不充分條件.故選：B3.已知函數(shù)的值域?yàn)镽，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的值域，而的值域?yàn)?，進(jìn)而得，由此可求出的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，而的值域?yàn)椋院瘮?shù)的值域包含,所以，解得，故選：B4.如圖，已知，，點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D在函數(shù)的圖象上，若四邊形為正方形，則（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出及，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解.【詳解】依題意，，由四邊形為正方形，得，則點(diǎn)，而點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，即，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以.故選：B5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將所給三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.6.神舟十二號(hào)載人飛船搭載3名宇航員進(jìn)入太空，在中國空間站完成了為期三個(gè)月的太空駐留任務(wù)，期間進(jìn)行了很多空間實(shí)驗(yàn)，目前已經(jīng)順利返回地球．在太空中水資源有限，要通過回收水的方法制造可用水．回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空中的水收集起來經(jīng)過特殊的凈水器處理成飲用水，循環(huán)使用．凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20%，要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需要過濾的次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】設(shè)過濾次數(shù)為，原來水中雜質(zhì)為1，則，即，所以，所以，所以，因?yàn)椋缘淖钚≈禐?4，則至少要過濾14次．故選：C.7.設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，，則橢圓E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓定義結(jié)合勾股定理解得，進(jìn)而可得，在△中，利用勾股定理列式求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋瑒t，，由橢圓的定義可得，，因?yàn)?，即，在中，則，即，解得，可得，在△中，可得，整理得，所以橢圓E的離心率為.故選：B．8.已知數(shù)列滿足，前n項(xiàng)和為，，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳解】數(shù)列中，，由，得，，則有，因此數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A、B選項(xiàng)畫出和的圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行比較，C選項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，借助單調(diào)性進(jìn)行判斷，D選項(xiàng)作減法，借助對(duì)數(shù)運(yùn)算及基本不等式進(jìn)行比較.【詳解】作出和的圖象，如圖所示，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，故A，B正確.令，則，在上單調(diào)遞減，所以，故C錯(cuò)誤.，所以，故D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.函數(shù)的圖象不可能關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增D.若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】利用周期的定義判斷A；利用對(duì)稱性的概念判斷B；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷C；設(shè)，得在上有解，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，則當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，由，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，又在上有解，即方程在上有解，得在上有解，而在上單調(diào)遞減，則，D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)t的可能取值為（）A.1 B. C.3 D.4【答案】CD【解析】【分析】令，則，可判斷是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，不等式可變形得，所以，令，換元法求出的最大值，即可．【詳解】令，則，的定義域?yàn)椋?，所以，所以是奇函?shù)，不等式等價(jià)于，即，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，可得單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以在(0,+∞)單調(diào)遞增，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)且定義域?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，令，只需，令，則，，所以，對(duì)稱軸為，所以時(shí)，，所以，可得實(shí)數(shù)的可能取值為3或4.故選：CD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，且是奇函數(shù)且是增函數(shù)，去掉外層函數(shù)，將原不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.定義運(yùn)算則不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由題意可得：對(duì)任意恒成立，分和兩種情況，結(jié)合一元二次不等式恒成立問題分析求解.【詳解】由題意可得對(duì)任意恒成立，若，則，符合題意，即成立；若，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.已知過原點(diǎn)O的直線與交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），過A作x軸的垂線與函數(shù)交于C點(diǎn)，過B點(diǎn)作x軸的垂線與函數(shù)交于D點(diǎn)，當(dāng)平行于x軸時(shí)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為__________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線過原點(diǎn)及平行于x軸列式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)，則，而，由平行于x軸，得，解得，于是，整理，即，解得，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.故答案為：214.已知是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)x∈R恒成立，則的值為_______．【答案】9【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與恒成立，求出函數(shù)的解析式即可．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=fx是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)x所以存在常數(shù)，使得，則，即，又因?yàn)?，則，注意到在上單調(diào)遞增，且，可得，所以，即.故答案為：9.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，．（1）求角B的大小；（2）若的面積，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件和正弦定理邊化角，三角恒等變換即可求出B；(2)根據(jù)三角形面積公式求出a，根據(jù)余弦定理求出b.和分別由正弦定理表示出和，根據(jù)，即可得.【小問1詳解】∵，∴由正弦定理得，，即，即，即，即，，，，∵B∈0,【小問2詳解】，.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，，，∴.16.如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，，平面.（1）證明：BDCC1；（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）連接,根據(jù)題意證得和，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得；（2）取中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)，求得平面和的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，求得，即可求解.【小問1詳解】證明:如圖所示，連接,因?yàn)闉槔馀_(tái)，所以四點(diǎn)共面，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?【小問2詳解】解：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸橇庑?，且，所以是正三角形，所以，即，由于平面，以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，可得設(shè)平面的法向量，則，取，可得，所以.又由平面的法向量為，所以，解得由于二面角為銳角，則點(diǎn)在線段上，所以，即故上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為.17.設(shè)函數(shù)，滿足：①；②對(duì)任意，恒成立．（1）求函數(shù)的解析式．（2）設(shè)矩形的一邊在軸上，頂點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上．設(shè)矩形的面積為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，結(jié)合題設(shè)條件即可得解；（2）先利用導(dǎo)數(shù)判斷的圖象性質(zhì)，從而利用矩形面積公式得到關(guān)于的表達(dá)式，從而得證.【小問1詳解】因?yàn)?，由，得，則；由，得，恒成立，即恒成立，所以，所以，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，令，得；令，得；所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．不妨設(shè)，，由知，那么，；故，因?yàn)?，所以?8.已知函數(shù)是奇函數(shù).（e是自然對(duì)數(shù)的底）（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）若時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，若以a，b，c為長度的線段可以構(gòu)成三角形時(shí)，均有以，，為長度的線段也能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)n的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)求出，再檢驗(yàn)的奇偶性；（2）若，將關(guān)于x的不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，利用基本不等式得，從而可得；（3）化簡，設(shè)，得，且，根據(jù)題意得恒成立，根據(jù)基本不等式得，由求出的最大值即為的最大值.【小問1詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且定義域?yàn)镽，所以，即，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)是奇函數(shù)所以.【小問2詳解】由（1）知，由時(shí)，恒成立，得，因?yàn)椋?，設(shè)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，故，所以.【小問3詳解】由題意得：不妨設(shè)，以a，b，c為長度的線段可以構(gòu)成三角形，即，且，以，，為長度的線段也能構(gòu)成三角形，則恒成立，得恒成立，因?yàn)?，僅當(dāng)a=b時(shí)前一個(gè)等號(hào)成立，所以，即，于是n的最大值為.19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明．【答案】（1）答案見解析（2）（3）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，證明見解析【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，再分與兩種情況分類討論的單調(diào)性即可求解；（2）根據(jù)條件，分離常量得到，構(gòu)造，將問題轉(zhuǎn)化成求的最大值，即可解決問題；（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求解．【小問1詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，令，解得（舍去負(fù)根），令，得；令，得．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】由恒成立，得上恒成立，所以在上恒成立．令，則．令，易知在上單調(diào)遞減．又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也是最大值，即，所以，即的取值范圍為．【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減．又，所以在上存在唯一的零點(diǎn)．設(shè)在上的零點(diǎn)為，可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，解法一：，因?yàn)椋?，故．又，所以．又，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)．又，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，所以在上沒有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，而，所以，故在上沒有零點(diǎn)．綜上