貴州省部分校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（解析）

貴州省高三年級入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算定義求解即可．【詳解】由題可知，，所以，故選：A．2.若向量，的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量夾角公式，數(shù)量積及模的坐標(biāo)計算公式求解即可．【詳解】由題可知，，故選：C．3.已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A.2 B.3 C.6 D.4【答案】D【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為直線過圓心即，再利用基本不等式可得答案.【詳解】因為圓關(guān)于直線對稱，所以直線過圓心，即，則因為，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，則的最小值是4.故選：D.4.的展開式中項的系數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二項式定理得到展開式通項，再求解即可.【詳解】由二項式定理得的展開式的通項為，化簡得，令，解得，所以項的系數(shù)為，故B正確.故選：B5.已知函數(shù)有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可.【詳解】因為有三個零點(diǎn)，所以有三個根，所以和有三個交點(diǎn)，而，令，，令，，所以在上分別單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以極小值為，極大值為，當(dāng)時，，時，，所以，故B正確.故選：B6.如圖所示，為測量一座古塔高度，工作人員從塔底同一水平面的處測得塔頂C的仰角為，然后從處出發(fā)朝古塔方向走了60米到達(dá)處，在處測得塔頂C的仰角為，把塔頂正下方的一點(diǎn)記為點(diǎn)，則該古塔的高度為（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】C【解析】【分析】利用兩角差的正切公式結(jié)合銳角三角函數(shù)定義求解即可.【詳解】由題意得，，，，所以，且設(shè)，得到即為所求古塔高度，而，由銳角三角函數(shù)的定義得，解得，故C正確.故選：C7.已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，橢圓的兩個焦點(diǎn)是，，線段的中點(diǎn)為，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線段的中點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法求得，再利用三角形面積公式求解．【詳解】設(shè)Ax1,y1則，所以，即，解得，所以，則，所以，故選：B．8.已知函數(shù)滿足：對任意實數(shù)x，y，都有成立，且．給出下列四個結(jié)論：①；②的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；③若，則；④，．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A.①③ B.③④ C.②③ D.②④【答案】C【解析】【分析】令可判斷①；令，求出可得的圖象關(guān)于對稱，再由圖象平移規(guī)律可判斷②；根據(jù)可判斷③；令求出，再令可判斷④.【詳解】對于①，令，則，所以，故錯誤；對于②，令，則，所以的圖象關(guān)于對稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故正確；對于③，因為，若，則，故正確；對于④，令，則，可得，令，則，故錯誤.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若z為純虛數(shù)，則B.若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則C.若，則D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】由復(fù)數(shù)，若z為純虛數(shù)，得，即可判斷A；若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則，得到，即可判斷B；若，則，則，即可判斷C；若，則，解得，即可判斷D.【詳解】由，若z為純虛數(shù)，即且，則，故A錯誤；若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則，得，即，故B正確；若，則，則，故C正確；若，則，解得，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，若將的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D.在上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】利用二倍角公式結(jié)合輔助角公式化簡，并結(jié)合給定條件判斷A，利用函數(shù)平移的性質(zhì)結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷B，利用對稱中心的求法求解對稱中心判斷C，舉反例判斷D即可.【詳解】因為，所以，所以，而將的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合，所以，解得，故A錯誤，此時，向右平移個單位長度后，設(shè)得到的新函數(shù)為，，由正弦函數(shù)性質(zhì)得是奇函數(shù)，故B正確，令，解得，當(dāng)時，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故C正確，由題意得，，，所以在上不單調(diào)，故D錯誤.故選：BC11.已知拋物線的準(zhǔn)線l與圓相切，P為C上的動點(diǎn)，N是圓M上的動點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為Q，C的焦點(diǎn)為F，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)F的坐標(biāo)為B.的最小值為C.存在兩個P點(diǎn)，使得D.若為正三角形，則圓M與直線PQ相交【答案】ACD【解析】【分析】對A，準(zhǔn)線與圓相切，可知，即可確定焦點(diǎn)為F坐標(biāo)，即可判斷選項；對B，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)將軍飲馬理論可判斷選項；對C，若，則PM=PF，做中垂線，解出方程，與拋物線聯(lián)立，解得個數(shù)，即可判斷幾個交點(diǎn)；對D，根據(jù)為正三角形，可得解得縱坐標(biāo)，和圓與軸交點(diǎn)比較，即可判斷.【詳解】對A，準(zhǔn)線與圓相切，可知，可得，所以F1,0，故A正確；對B，根據(jù)可得，可確定最小值為，故B錯誤；對C，若，則PM=PF，做中垂線，根據(jù)題意知，設(shè)為中點(diǎn)，則可得，直線斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式可確定為，與拋物線聯(lián)立得，，所以可知有兩個解，所以存在兩個P點(diǎn)，使得，故C正確；對D，根據(jù)為正三角形，所以，則，且，所以可得，和圓與軸交點(diǎn)為0,3，QA=23>3，所以可知圓M與直線PQ相交，故故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：合理利用拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離和到準(zhǔn)線距離相等.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，則______．【答案】##【解析】【分析】分段函數(shù)求值，由內(nèi)到外，分別代入對應(yīng)解析式即可得解.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以.故答案為：.13.已知一組樣本數(shù)據(jù)1，2，m，6極差為6，若，則______，這組數(shù)據(jù)的方差為______．【答案】①.②.##【解析】【分析】由極差為6，可得,求出平均數(shù)，再由方差計算公式，即可求出方差.【詳解】因為一組樣本數(shù)據(jù)1，2，m，6的極差為6，且，所以,解得，則，所以方差為.故答案為：，.14.在三棱錐中，，，D為AC的中點(diǎn)，平面ABC，且，則三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】由已知，利用余弦定理可得，再由正弦定理可得的外接圓的半徑為，結(jié)合立體圖形，設(shè)三棱錐的外接球球心到平面的距離為，設(shè)外接球的半徑為，在中和直角梯形中，由等量關(guān)系建立方程組，解出，即可得到三棱錐外接球的表面積.【詳解】在中，，，由余弦定理得，所以，設(shè)的外接圓的半徑為，則由正弦定理得，解得結(jié)合圖形分析：因為D為AC的中點(diǎn)，平面ABC，且，在中，，，又，則圓心到點(diǎn)的距離為，另設(shè)三棱錐的外接球球心到平面的距離為，設(shè)外接球的半徑為，則中，，即，直角梯形中，，即，解得，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：球的性質(zhì)：①球的任何截面均為圓面；②球心和截面圓心的連線垂直于該截面.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極小值．【答案】（1）（2）的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；的極小值為【解析】【分析】（1）由切點(diǎn)為1,f1，求出切線斜率（2）由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，解出的定義域內(nèi)的范圍，即可求出的單調(diào)區(qū)間，由的單調(diào)情況，可以得到的極小值．【小問1詳解】因為，定義域為0,+∞，所以，，則，又，所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1令得，令得，故所求三角形的面積為．【小問2詳解】因為，，令得或，令得或，令得，又函數(shù)的定義域為0,+∞，所以增區(qū)間為，，減區(qū)間為，所以的極小值為．16.甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，每局勝者得1分，負(fù)者得0分，約定一方比另一方多3分或比賽滿7局時結(jié)束，并規(guī)定：當(dāng)一方比另一方多3分或比賽滿7局時，得分多的一方才算贏．假設(shè)在每局比賽中不存在平局，且甲每局獲勝的概率為，各局比賽相互獨(dú)立．已知前3局中，甲勝1局，乙勝2局，兩人又打了局后比賽結(jié)束．（1）求甲獲得這次比賽勝利的概率；（2）求的分布列及期望．【答案】（1）（2）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)甲先得分的情況進(jìn)行分類討論，由此求得甲獲勝的概率.（2）根據(jù)的取值進(jìn)行分類討論，由相互獨(dú)立事件概率計算公式計算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】情況1：在接下來的比賽中，甲連贏局，則甲獲勝，概率為；情況2：在接下來的比賽中，前局甲贏局，負(fù)局，第局甲贏，則甲獲勝，概率為.所以甲獲得這次比賽勝利的概率為.【小問2詳解】的可能取值為，時，在接下來比賽中，乙連贏局，所以，則，所以的分布列為：數(shù)學(xué)期望.17.在三棱錐中，，，，為線段的中點(diǎn)．（1）證明：．（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明求解即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩平面夾角的向量求法求解即可.【小問1詳解】作面，，如圖，以中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如下空間直角坐標(biāo)系，所以，因為，所以，是等邊三角形，設(shè)，因為為線段中點(diǎn)，所以，，故，所以，，得到，因為，所以，而，，所以，解得，所以，，所以，設(shè)，因為是等邊三角形，所以，故，而，，所以，解得，所以，因為，所以，，故，由兩點(diǎn)間距離公式得，解得，所以，故，而，可得，故得證.【小問2詳解】由上問得，，設(shè)面的法向量為，所以，故得到，令，解得，，所以，而，，設(shè)面的法向量為，所以，故得到，令，解得，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知雙曲線的離心率為，實軸長為6，A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，設(shè)直線l過定點(diǎn)，且與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程；（2）證明：直線AE與AF的斜率之積為定值．【答案】（1）（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）由實軸長為6，得，由離心率為，得，再由得，即可得到雙曲線C的方程；（2）設(shè)，，直線，直線與雙曲線聯(lián)立方程得，根據(jù)韋達(dá)定理得，，根據(jù)斜率公式得，最后代入化簡計算即可得證.【小問1詳解】因為雙曲線的實軸長為6，所以，因為雙曲線的離心率為，所以，解得，由，得，則C的方程為．【小問2詳解】設(shè)，，因為直線過定點(diǎn)B-2,0，顯然直線l不垂直于軸，則設(shè)直線，聯(lián)立方程組，消去x得，由，得，則，，因為A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，所以，直線AE的斜率，直線AF的斜率，所以，即直線AE與AF的斜率之積為定值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵在于設(shè)出直線l的方程，然后直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，代入的表達(dá)式，化簡即可得到定值.19.若n項有窮數(shù)列滿足，，…，，即，則稱有窮數(shù)列為“對稱數(shù)列”．（1）設(shè)數(shù)列是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，，若成等差數(shù)列，且，試寫出所有可能的數(shù)列．（2）已知遞增數(shù)列的前n項和為，且．①求的通項公式；②組合數(shù)具有對稱性，恰好構(gòu)成一個“對稱數(shù)列”，記，求．【答案】（1）答案見解（2）①；②【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)及已知條件求解即可；（2）由及為遞增數(shù)列，利用求解即可；通過構(gòu)造，根