湖南省平江縣頤華高級中學2024-2025學年高三上學期入學考試數(shù)學試題（解析）

頤華學校2025屆高三第一學期入學考試試題（數(shù)學）時量：120分鐘分值：150分一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的定義求出，結合交集與補集運算即可求解.【詳解】因為，所以，則，故選：D2.已知向量滿足，且，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由得，結合，得，由此即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選：B.3.已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段PP'，為垂足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為（A.（） B.（）C.（） D.（）【答案】A【解析】【分析】設點，由題意，根據(jù)中點的坐標表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設點，則，因為為的中點，所以，即，又在圓上，所以，即，即點的軌跡方程為.故選：A4.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【詳解】，又函數(shù)定義域為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.5.設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．【詳解】解：依題意可得，因為，所以，要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：則，解得，即．故選：C．6.已知正實數(shù)a，b滿足，若不等式對任意的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求出的最小值16，分離參數(shù)即可.【詳解】因為，，，所以，當且僅當，即，時取等號．由題意，得，即對任意的實數(shù)x恒成立，又，所以，即．故選：D．7.已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】解法一：根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高，做輔助線，結合正三棱臺的結構特征求得，進而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關系可得，進而可求正三棱錐的高，即可得結果.【詳解】解法一：分別取的中點，則，可知，設正三棱臺的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設，則，，可得，結合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因為，則，可知，則，設正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.8.已知函數(shù)，若關于x的方程有五個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出的圖象，令，則，由題意結合圖象可知方程有兩個不相等的根，且，或，，令，則結合一元二次方程根分布情況可求得結果.【詳解】的圖象如下圖，令，則，因為關于x的方程有五個不同的實數(shù)根，所以由函數(shù)圖象可知關于的方程有兩個不相等的實根，且，或，，令，若，則，即，解得，若，，則，無解，綜上，，故選：C二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的通項公式為，則下列說法正確的是（）A.是數(shù)列的最小項 B.是數(shù)列的最大項C.是數(shù)列的最大項 D.當時，數(shù)列遞減【答案】BCD【解析】【分析】設第項為an的最大項，根據(jù)列出不等式組，求解即可判斷BCD，利用數(shù)列的單調(diào)性及范圍判斷A．【詳解】設第項為an的最大項，則，即，所以，又，所以或，故數(shù)列an中與均為最大項，且，當時，數(shù)列an遞減，故BCD正確，當趨向正無窮大時，無限趨向于0且大于0，且，所以不是數(shù)列an的最小項，且數(shù)列an無最小值，故A錯誤故選：BCD10.點O在ΔABC所在的平面內(nèi),則以下說法正確的有A.若,則點O為ΔABC的重心B.若,則點O為ΔABC的垂心C.若,則點O為ΔABC的外心D.若,則點O為ΔABC的內(nèi)心【答案】AC【解析】【分析】逐項進行分析即可.【詳解】解：選項A，設D為的中點，由于，所以為邊上中線的三等分點(靠近點D)，所以O為ΔABC的重心；選項B，向量分別表示在邊和上的單位向量，設為和，則它們的差是向量，則當，即時，點O在的平分線上，同理由，知點O在的平分線上，故O為ΔABC的內(nèi)心；選項C，是以為鄰邊的平行四邊形的一條對角線，而是該平行四邊形的另一條對角線，表示這個平行四邊形是菱形，即，同理有，于是O為ΔABC的外心；選項D，由得，∴，即，∴．同理可證，∴，，，即點O是ΔABC的垂心；故選：AC．【點睛】本題主要考查平面向量在三角形中的應用，考查向量的數(shù)量積，考查三角形的“五心”，屬于中檔題．11.設函數(shù)，則（）A.當時，有三個零點B.當時，是的極大值點C.存在a，b，使得為曲線的對稱軸D.存在a，使得點為曲線的對稱中心【答案】AD【解析】【分析】A選項，先分析出函數(shù)的極值點為，根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；B選項，根據(jù)極值和導函數(shù)符號的關系進行分析；C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計算判斷；D選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進行計算判斷，亦可利用拐點結論直接求解.【詳解】A選項，，由于，故時，故在上單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；B選項，，時，，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.方法二：直接利用拐點結論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數(shù)的零點，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD【點睛】結論點睛：（1）的對稱軸為；（2）關于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復數(shù)滿足，則__________．【答案】【解析】【分析】利用復數(shù)的混合運算求出，再利用共軛復數(shù)的概念求解．【詳解】因為，，，所以，所以．13.在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點，為線段上的動點，為中點，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】解法一：根據(jù)平面向量線性運算及數(shù)量積的定義即可求解；解法二：建立直角坐標系，由向量數(shù)量積的坐標運算公式即可求解．【詳解】解法一：由題意可知：，因為為線段上的動點，設，則，又因為為中點，則，可得，又因為，可知：當時，取到最小值．解法二：以為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，則，可得，因點在線段上，設，且為中點，則，可得則，且，所以當時，取到最小值為．故答案為：．14.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.【詳解】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有種，設前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，故有2種，若，則，則為：，，故有10種，當，則，則為：，，故有16種，當，則，同理有16種，當，則，同理有10種，當，則，同理有2種，共與的差的絕對值不超過12時不同的抽取方法總數(shù)為，故所求概率為.故答案：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業(yè)成績的關系，從該地區(qū)29000名學生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時間范圍學業(yè)成績優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？（2）估計該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）（3）是否有的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相關占比，乘以總人數(shù)即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可得到答案；（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設，計算卡方值和臨界值比較大小即可得到結論.【小問1詳解】由表可知鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為占比，則估計該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為．【小問2詳解】估計該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時長約為．則估計該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長為0.9小時.【小問3詳解】由題列聯(lián)表如下：其他合計優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計222358580提出零假設：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不少于1小時但少于2小時無關．其中．．則零假設不成立，即有的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關．16.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【小問1詳解】因為，即，而，所以；【小問2詳解】由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．17.如圖，在四棱錐中，，，,點在上，且，．（1）若為線段中點，求證：平面．（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點為，接，可證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量后可求夾角的余弦值.【小問1詳解】取的中點為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因為，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則設平面的法向量為，則由可得，取，設平面的法向量為，則由可得，取，故，故平面與平面夾角的余弦值為18.已知函數(shù)．（1）當時，求的極值；（2）當時，，求的取值范圍．【答案】（1）極小值為，無極大值.（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的單調(diào)性和零點可求函數(shù)的極值.（2）求出函數(shù)的二階導數(shù)，就、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，，故，因為在上為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當時，，當時，，故在處取極小值且極小值為，無極大值.【小問2詳解】，設，則，當時，，故在上增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當時，當時，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上f'x<0即故在上，不合題意，舍.當，此時在0,+∞上恒成立，同理可得在0,+∞上恒成立，不合題意，舍；綜上，.【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時還需要對導數(shù)進一步利用導數(shù)研究其符號特征，處理此類問題時注意利用范圍端點的性質(zhì)來確定如何分類.19.已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構造點：過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為.（1）若，求；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設為的面積，證明：對任意正整數(shù)，.【答案】（1），（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）直接根據(jù)題目中的構造方式計算出的坐標即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗證結論；（3）思路一：使用平面向量數(shù)量積和等比數(shù)列工具，證明的取值為與無關的定值即可.思路二：使用等差數(shù)列工具，證明的取值為與無關的定值即可.【小問1詳解】由已知有，故方程為.當時，過且斜率為的直線為，與聯(lián)立得到.解得或，所以該直線與的不同于的交點為，該點顯然在的左支上.故，從而，.【小問2詳解】由于過且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.展開即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點，故方程必有一根.從而根據(jù)韋達定理，另一根，相應的.所以該直線與的不同于的交點為，而注意到的橫坐標亦可通過韋達定理表示為，故一定在的左支上.所以.這就得到，.所以.再由，就知道，