2023年上海中考數學重難點精講精練08銳角三角函數及其應用(真題10道+模擬30道)(含詳解)

2023中考數學重難題型押題培優(yōu)導練案（上海專用）

專題08銳角三角函數及其應用

【方法歸納】題型概述，方法小結，有的放矢

考點考查年份考查頻率

銳角三角函數及其應用（大題）2012.2013.2014.2015.2016.2017.11年10考

2018.2020.2021.2022

銳角三角函數及其應用是上海市近幾年必考的解答題，常見的考法有兩種：解直角三角形、銳角三角函數

的實際應用.

1.銳角三角函數基礎知識:

在Rt&ISC中，ZC=90°,乙4,N3,ZC所對的邊分別是a,b,C,

1）三邊之間的關系："+"=/；

2）銳角之間的關系：4+4=90。；

3）邊、角之間的關系：

aba

^nA=—tcosA=—,tan>4=—,

ccb

sln^=-,cosB--,tan^=—；

cca

4）面積公式：金M（h為斜邊上的高）.

2.解直角三角形的應用

（1）通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關測量問.

如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關鍵在于構造出直角三角形，通過測量角的度數和測量邊

的長度，計算出所要求的物體的高度或長度.

（2）解直角三角形的一般過程是：

①將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，構造出直角三角形轉化為解直角三角形問題）.

②根據題目已知特點選用適當銳角三角函數或邊角關系去解直角三角形，得到數學問題的答案，再轉化得

到實際問題的答案.

【典例剖析】典例精講，方法提煉，精準提分

【例1】（2021?上海）如圖，己知△4B。中，ACLBD,BC=8,8=4,cosZABC=-,B尸為A。邊

5

上的中線.（1）求AC的長;

（2）求tan/必。的值.

燈桿AB的長.

（1）如圖（1）所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部。米的點。處，測角儀高為b米，從。點

測得A點的仰角為a,求燈桿48的高度.（用含a,b,a的代數式表示）

（2）我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義.如圖（2）所示，現(xiàn)

將一高度為2米的木桿CG放在燈桿48前，測得其影長C"為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米

至DE的位置，此時測得其影長。尸為3米，求燈桿A8的高度.

必刷真題，關注素養(yǎng)，把握核心

1.（2012?上海）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,。是邊AB的中點，BELCD,垂足為點E.已知

3

AC=\5,cosA=—.

5

（1）求線段CO的長；

（2）求sin/OBE的值.

動的支點，點E是欄桿兩段的連接點.當車輛經過時，欄桿AE尸升起后的位置如圖2所示，其示意圖如

圖3所示，其中A8_LBC,EF//BC,NE4B=143°,AB=AE=1.2米，求當車輛經過時，欄桿E尸段距

離地面的高度（即直線E尸上任意一點到直線BC的距離）.

（結果精確到0.1米，欄桿寬度忽略不計參考數據：sin37°20.60,cos37°^0.80,tan37"^0.75.）

△A8C中，N4CB=90°,CO是斜邊AB上的中線，過點4作4E_1_C7）,AE分別與8、CB相交于點

H、E,AH=2CH.

⑴求sinB的值；

（2）如果CO=J可，求3E的值.

（2015?上海）如圖，MN表示?段筆直的高架道路，線段A8表示高架道路

旁的一排居民樓，已知點A到MN的距離為15米，84的延長線與MN相交于點。，且N8ON=30°,

假設汽車在高速道路上行駛時，周圍39米以內會受到噪音的影響.

（1）過點4作MN的垂線，垂足為點，，如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛，當汽車到達點

P處時，噪音開始影響這一排的居民樓，那么此時汽車與點〃的距離為多少米？

（2）降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板，當汽車行駛到點Q時，它與這一排居民樓的距

離QC為39米，那么對于這一排居民樓，高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長？（精確到1米）

（參考數據：V3^L7）

（2016?上海）如圖，在RlZ\A8C中，NACB=90°,AC=BC=3,點

。在邊AC上，且AO=2CQ,DELAB,垂足為點E,聯(lián)結CE,求:

（1）線段BE的長；

（2）NEC8的余切值.

1.（2022?上海楊浦?二模）如圖，已知在平行四邊形4BC0中，過點D作。E148,垂足為點E,AD=17,AB=

O

20,cusA=-.

⑴求平行四邊形43CD的面積;

(2)連接CE,求sin/BCE的值.

2.（2022?上海奉賢?二模）如圖，已知點E在邊4c上，R^BAC=LCBE,過點A作的平行線,

（1）求證：AB2=BEB。；

(2)如果AB=4,COSNABC=

4

①當BE=BC,求CE的長;

②當A8=DC時，求NB4C的正弦值.

3.（2022?上海虹口?二模）如圖，在△4BC中，乙8=45。，CO是48邊上的中線，過點。作OE1BC,垂足為

點E,若CO=5,sin乙BCD=1.

⑴求8c的長;

⑵求/AC8的正切值.

4.（2022?上海松江?二模）己知△48C中，AB=AC,AD.BE是△ABC的兩條高，直線BE與直線AD交于點

Q?

P(1)如圖，當NBAC為銳角時,

①求證：O82=DQDA；

②如果券=3,求”的正切值：

(2)如果BQ=3,EQ=2,求△ABC的面積.

5.(2022?上海閔行?二模)直角三角形中一個銳角的大小與兩條邊的長度的比值之間有明確的聯(lián)系，我們用

銳角三角比來表示.類似的，在等腰三角形中也可以建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與

腰的長度的比值叫做頂角的正對.如圖,松48。中，48=4C,頂角A的正對記作pre人這時pre4=警=能

A

仔細閱讀上述關于頂角的正對的定義，解決下列問題：(1、蹉60°的值為().

BC

A.-；B.1；C.巴D.2.

A22

(2)對于0。<A<180°,乙4的正對值pry的取值范圍是.

(3)如果sinA=2，其中乙4為銳角，試求的值.

I/PAD

6.(2022?上海黃浦?二模)如圖，已知在AABC中，NACB=90。，BO平分乙ABC,BC=CD,BD、AC交于

點E.

A

/求證：AB^CDi

B

C

(2)已知BC=6,AB=10,求tan/EBC的值.

7.（2022,海金山?二模）如圖，梯形A6c。中，ADHBC,E是AB的中點，ZCDE=90",CD=6,lanZDCE=1.

⑴求CE的長:

⑵求NAOE的余弦.

8.（2022?上海浦東新.二模）如圖，在△ABC中，sin8二點點/在BC上，AB=AF=5,過點尸作E尸_LC8交

4c十點E,且AE：EC=3：5,求8尸的長與cotC的值.

9.（2022?上海徐匯?二模）如圖，△ABC中，AB=BC=\3,AC=\0,NABC的平分線與邊AC交于點凡

且與外角NACO的平分線CE交于點E.

⑴求sinA的值;

（2）求E尸的長.

1（）.（2022.上海嘉定?二模）如圖，已知平行四邊形ABCO中，七是邊CO的中點，連接AE并延長交BC的

延長線于點F,連接AC.

⑴求證：AD=CF；

(2)若凡且AB=8,BC=5,求sin/4CE的值.

11.（2022?上海?位育中學模擬預測）在△ABC中，NA8C的角平分線交4c邊于點D

A

（2）若80=9,sinZDfiC=pBC=7或，求tanC.

12.（2022.上海崇明?二模）為解決群眾“健身去哪兒”問題，某區(qū)2021年新建、改建90個市民益智健身苑點，

如圖1是某益智健身苑點中的“側擺器鍛煉方法：面對器械，雙手緊握扶手，雙腳站立于踏板上，腰部發(fā)

力帶動下肢做左右擺式運動.

80厘米，在側擺運動過程中，點4為踏板中心在側擺運動過程中的最低點位置，點8為踏板中心在側擺運

動過程中的最高點位置，^BOA=25。，求踏板中心點在最高位置與最低位置時的高度差.（精確到0.1厘米）

（sin25°?0.423,cos25°?0.906,tan25。*0.466）

（2）小杰在側擺器上進行鍛煉，原計劃消耗400大卡的能量，由于小杰加快了運動頻率，每小時能量消耗比

原計劃增加了100大卡，結果比原計劃提早12分鐘完成任務，求小杰原計劃完成鍛煉需多少小時？

13.（2022?上海長寧?二模）冬至是一年中太陽光照射最少的日子，如果此時樓房最低層能采到陽光，一年

四季整座樓均能受到陽光的照射，所以冬至是選房買房時確定陽光照射的最好時機.某居民小區(qū)有一朝向為

正南方向的居民樓，該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓前面20米處要蓋

一棟高25米的新樓，已知上海地區(qū)冬至正午的陽光與水平線夾角為29。（參考數據:s加2930.48""29%0.87；

D

居

居

樓

超

20米f市6米

B

⑴冬至中午時，超市以上的居民住房采光是否有影響，為什么？

（2）若要使得超市全部采光不受影響，兩樓應至少相距多少米？（結果保留整數）

14.（2022?上海?一模）如圖，在數學綜合實踐活動課上，兩名同學要測量小河對岸大樹8c的高度，甲同學

在點A測得大樹頂端8的仰角為45。，乙同學從A點出發(fā)沿斜坡走6西米到達斜坡上點D,在此處測得樹頂

端點8的仰角為26.7。，且斜坡4口的坡度為1：2.

（2）依據他們測量的數據求出大樹8c的高度.（參考數據：&1126.7。乜）.45,cos26.70M.89,tan26.7OM.50）

15.（2022?上海?二模）如圖，已知電線桿A8上有一盞路燈A.燈光下，身高1.2米的小明在點。處時，他

的影子是C7J，他從C,處沿方向行走2.1米，到點N處時，他的影子是《匕在A處測得“、〃的俯角分

別是53。、370.（參考數據：sin37M）.60,cos37°~0.80,tan37°^0.75.）

（1）影子長C。、石戶分別是多少米？

（2）求電線桿4B的高度.

16.（2022?上海金山區(qū)世界外國語學校一模）在一次課外活動中，某數學興趣小組測量一棵樹CD的高度.如

圖所示，測得斜坡8E的坡度i=1:4,坡底AE的長為8米，在8處測得樹CO頂部。的仰角為30。，在E處測得

樹。。頂部。的仰角為60。.求樹高CD.（結果保留根號）

（2020?上海大學附屬學校三模）如圖，某校教學樓AB后方有

一斜坡，己知斜坡CO的長為12米，坡角a為60。.根據有關部門的規(guī)定，/把39。時，才能避免滑坡危險.學

校為了消除安全隱患，決定對斜坡C。進行改造，在保持坡腳。不動的情況下，學校至少要把坡頂。向后

水平移動多少米才能保證教學樓的安全？（結果取整數）（參考數據：5%39%0.63,°0539叱0.78,柩〃39。乜）.81,

72=1.41,仔=1.73,12.24）

18.（2021?上海嘉定?二模）某小區(qū)外面的一段長120米的街道上要開辟停車

位，計劃每個停車位都是同樣的長方形且每個長方形的寬均為2.2米，如果長方形的較長的邊與路段的邊平

行，如圖1所示，那么恰好能夠停放24輛車.（備注：位=1.414，6=1.732,遮=2.236）

的邊緣成45。角，那么按圖1,圖2中的方法停放，一個停車位占用街道的長度各是多少？（結果保留一位

小數）（2）如果按照圖2中的方法停放車輛，這段路上最多可以停放多少車輛？

19.（2021?上海楊浦?二模）如圖1是一種手機平板支架，由底座、支撐板和托板構成，手機放置在托板上，

如圖2是其側面示意圖，量得底座長AB=llcm,支撐板長3C=8cm,托板長CO=6cm,托板CO固定在

支撐板頂端點。處，托板CO可繞點C旋轉，支撐板BC可繞點8轉動.

（1）如果NABC=60。，ZfiCD=70°,求點。到直線AB的距離（精確到0.1cm）；

（2）在第（1）小題的條件下，如果把線段CO繞點。順時針旋轉20。后，再將線段BC繞點B逆時針旋轉,

使點Q落在直線AB上，求線段BC旋轉的角度.

（參考數據：sin40°=0.64,cos40°M）.77,tan40°=0.84,sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37cM）.75,屋1.73）

20.（2021?上海普陀?二模）如圖1,一扇窗戶打開后可以用

窗鉤A8將其固定，窗鉤的一個端點4固定在窗戶底邊OE上，且與轉軸底端O之間的距離為20cm,窗鉤

的另一個端點8可在窗框邊上的滑槽O尸上移動，滑槽。尸的長度為17cm,AB、80、AO構成一個三角形.當

窗鉤端點8與點O之間的距離是7cm的位置時（如圖2）,窗戶打開的角NA08的度數為37。.

（1）求鉤AB的長度（精確到1cm）；

（2）現(xiàn)需要將窗戶打開的角/AOB的度數調整到45。時，求此時窗鉤端點8與點。之間的距離（精確到

1cm）.（參考數據：sin370=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75,72=1.4）

21.（2021?上海金U?一模）如圖，在距某輸電鐵

OBF

圖1

塔G”（GH垂直地面）的底部點H左側水立距離60米的點B處有一個山坡，山坡AB的坡度i=1：百，山坡坡

底點B到坡頂A的距離4B等于40米，在坡頂A處測得鐵塔頂點G的仰角為30°（鐵塔GH與山坡48在同一平面

內）.（1）求山坡的高度；

（2）求鐵塔的高度GH.（結果保留根號）

G

22.（2021?上海徐匯?一模）為加強對市內道路交通安全的監(jiān)督，王

警官利用無人機進行檢測.某高架路有一段限速每小時60千米的道路力B（如圖所示），當無人機在限速道路

的正上方C處時，測得限速道路的起點力的俯角是37。，無人機繼續(xù)向右水平飛行220米到達。處，此時又測

得起點4的俯角是30。，同時測得限速道路終點B的俯角是45。（注：即四邊形ABDC是梯形）.

（1）求限速道路AB的長（精確到1米）；

⑵如果李師傅在道路48上行駛的時間是1分20秒，請判斷他是否超速？并說明理由.（參考數據：sin370?

0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,y[3?1.73）

23.（2021?上海長寧?一模）某校為檢測師生體溫，在校門安裝了

某型號的測溫門，如圖為該“測溫門”截面示意圖.身高L6米的小聰做了如下實驗：當他在地面“處時”測

溫門”開始顯示額頭溫度，此時在額頭8處測得A的仰角為30。；當他在地面N處時，“測溫門”停止顯示額

頭溫度，此時在額頭C處測得A的仰角為53。.如果測得小聰的有效測溫區(qū)間MN的長度是0.98米，求測

溫門頂部A處距地面的高度約為多少米？（注：額頭到地面的距離以身高計，sin53°=0.8,cos530=0.6,

8t53%0.75,V3?1.73.）

A

.

24.（2021?上海楊浦?一模）如圖，為了測量河寬，在河的一邊沿岸選取8、C兩

點，對岸岸邊有一塊石頭A，在△ABC中，測得=64°,“=45°,BC=50米，求河寬（即點4到邊BC的

距離）（結果精確到0.1米）.

（參考數據：V2?1.41,sin64°=0.90,cos640=0.44,tan64°=2.05）

25.（2021?上海崇明?一模）為了維護國家主權和海洋權益，海監(jiān)部門對

我領海實施常態(tài)化巡航管理.如圖，一艘正在執(zhí)行巡航任務的海監(jiān)船接到固定監(jiān)測點P處的值守人員報告:

在P處南偏東30。方向上，距離P處14海里的Q處有一可疑船只滯留，海監(jiān)船以每小時28海里的速度向正東

方向航行，在力處測得監(jiān)測點P在其北偏東60。方向上，繼續(xù)航行半小時到達了B處，此時測得監(jiān)測點P在其

北偏東30。方向上.

（1）B、P兩處間的距離為.海里；如果聯(lián)結圖中的8、

Q兩點，那么ABPQ是________三角形；如果海監(jiān)船保持原航向繼續(xù)航行，那么它【填“能”或“不

能”】到達Q處；

（2）如果監(jiān)測點P處周圍12海里內有暗礁，那么海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？

26.（2021?上海黃浦?一模）如圖，是小明家房屋的縱截面圖，其中線段48為屋內地面，線段4E、BC為房屋

兩側的墻，線段C。、0E為屋頂的斜坡.已知48=6米，AE=BC=3.2米，斜坡C。、DE的坡比均為1:2.

陽光、（1）求屋頂點D到地面力8的距離:

（2）已知在墻71E距離地面1.1米處裝有窗ST,如果陽光與地面的夾角NMA，P=0=53。，為了防止陽光

通過窗ST照射到屋內，所以小明請門窗公司在墻4E端點E處安裝一個旋轉式遮陽棚（如圖中線段EF）,公

司設計的遮陽棚可作90。旋轉，即0?！匆襊ET=aW90。，長度為1.4米，即EF=1.4米.試問：公司設計

的遮陽棚是否能達到小明的要求？說說你的理由.（參考數據：混a1.41，V3?1.73,遍*2.24,ga3.16,

sin530=0.8,cos53°=0.6,tan53°=）

27.（2021?上海靜安?一模）如圖，一處地鐵出入口的無障礙通道是轉折的斜坡，沿著坡度相同的斜坡BC、

CO共走7米可到出入口，出入口點O距離地面的高ZU為0.8米，求無障礙通道斜坡的坡度與坡角（角度

精確到「，其他近似數取四個有效數字）.

為40三米，在離道路50米的點P處建一個監(jiān)測點，道路的A3段為監(jiān)測區(qū)（如圖）在△ASP中，已如心P4C-

26.5°,LPBC=68.2°.一輛車通過A8段的時間為9秒，請判斷該車是否超速，并說明理由.

（參考數據：sin26.5°?0.45,cos26.5°?0.89,tan26.5°?0.50sin68.2°?0.93,cos68.2°?0.37,

?上海閔行?一模）為了監(jiān)控大橋下坡路段車輛行駛速度，通常

會在下引橋處設置電子眼進行區(qū)間測速，如圖，電子眼位于點P處，離地面的鉛錘高度PQ為9米，區(qū)間測

速的起點為下引橋坡面點A處，此時電子眼的俯角為30。；區(qū)間測速的中點為下引橋坡腳點B處，此時電

子眼的俯角為60。（A、B、P、Q四點在同一平面）.

（1）求路段BQ的長（結果保留根號）;

（2）當下引橋坡度i=1:20時，求電子1艮區(qū)間測速路段AB的長（結果保留根號）.

30.（2021?上海松江?一模）如圖，垂直于水平面的5G信號塔AB建在垂直于水平面的懸崖邊B點處（點A、

B、C在同一直線上），某測量員從懸崖底C點出發(fā)沿水平方向前行60米到D點，再沿斜坡DE方向前行

65米到E點（點A、B、C、D、E在同一平面內），在點E處測得5G信號塔頂端A的仰角為37。，懸崖BC

的高為92米，斜坡DE的坡度i=1:2.4.（參考數據：sin37°?0.60,cos37c?0.80,tan37°?0.75）

（1）求斜坡DE的高EH的長;

（2）求信號塔AB的高度.

2023中考數學重難題型押題培優(yōu)導練案（上海專用）

專題08銳角三角函數及其應用

【方法歸納】題型概述，方法小結，有的放矢

考點考查年份考查頻率

銳角三角函數及其應用（大題）2012.2013.2014.2015.2016.2017.11年10考

2018.2020.2021.2022

銳角三角函數及其應用是上海市近幾年必考的解答題，常見的考法有兩種：解直角三角形、銳角三角函數

的實際應用.

2.銳角三角函數基礎知識:

在Rt&ISC中，ZC=90°,乙4,N3,ZC所對的邊分別是a,b,C,

1）三邊之間的關系："+"=/；

2）銳角之間的關系：4+4=90。；

3）邊、角之間的關系：

aba

^nA=—tcosA=—,tan>4=—,

ccb

sln^=-,cosB--,tan^=—；

cca

4）面積公式：金M（h為斜邊上的高）.

2.解直角三角形的應用

（1）通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關測量問.

如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關鍵在于構造出直角三角形，通過測量角的度數和測量邊

的長度，計算出所要求的物體的高度或長度.

（2）解直角三角形的一般過程是：

①將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，構造出直角三角形轉化為解直角三角形問題）.

②根據題目已知特點選用適當銳角三角函數或邊角關系去解直角三角形，得到數學問題的答案，再轉化得

到實際問題的答案.

【典例剖析】典例精講，方法提煉，精準提分

【例1】（2021?上海）如圖，己知△4B。中，ACLBD,BC=8,8=4,cosZABCB尸為A。邊

5

上的中線.（1）求AC的長;

（2）求tan/必。的值.

【分析】（1）解銳角三角函數可得解:

（2）解法一：連接。凡過尸作8。的垂線，垂足為E,根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得

CF=FD,由勾股定理可得EF=2,即可求lan/尸BD.

解法二：E/直接用三角形中位線定理求解即可.

【解析】（1）;AC_L8D,cosZABC=—=—,BC=8,

AB5

，人8=10,

在RtZXACB中，由勾股定理得,

AC=VAB2-BC2=V102-82=6,

即AC的長為6；

?JB尸為4力邊上的中線，

即尸為AO的中點，

：.CF=—AD=FD,

2

在RtZXACD中，由勾股定埋得，

AD=VAC2<D2=^62+42=2v

???三角形CFO為等腰三角形，F(xiàn)E1CD,

：.CE=^-CD=2,在RtZXEPC中，EF=7cF2-CE2=V13-4=3,

2

FE_3

tanZFBD==J_

BEBCCE10

解法二：???8P為4。邊上的中線,

工尸是AD中點,

???五E_LBO,AC_LB。,

：.FE//AC,

是△4CO的中位線,

：.FE=—AC=3,CE=—CD=2

22f

，在RfABFE中,【anN/80=膽-=工

BE8+210

【例2】（2022?上海）我們經常會采用不同方法對某物體進行測量，請測量下列燈桿48的長.

（1）如圖（1）所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部〃米的點。處，測角儀高為8米，從。點

測得A點的仰角為明求燈桿的高度.（用含a,b,a的代數式表示）

（2）我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義.如圖（2）所示，現(xiàn)

將一高度為2米的木桿CG放在燈桿48前，測得其影長C”為1米，再將木桿沿著方向移動1.8米

至的位置，此時測得其影長。尸為3米，求燈桿A8的高度.

圖（2）【分析】（1）

根據題意可得米，EC=BO=。米，NAEC=90°,NACE=a,然后在RtZXAEC中，利用

銳角三角函數的定義求出AE的長，進行計算即可解答;

（2）根據題意得：GC=DE=2米，CD=L8米，ZABC=ZGCD=ZEDF=90a,然后證明4字模型

相似三角形△48”s^GC77,從而可得2-1,再證明4字模型相似三角形△AAFS^EQF,從而

AB1+BC

13

可得與=>一?進而可得,最后求出8C的長，從而求出A8的長.

AB3+1.8+BC1+BC3+1.8+BC

【解析】（1）如圖:

由題意得:

8七=。0=方米，EC=8￡>=a米，NAEC=90°，ZACE=af

在RtZ\AEC中，tana=atana(米),

.\AB=AE+BE=(b+atana)米,

???燈桿4B的高度為（mana+b）米；

⑵由題意得:

GC=OE=2米，。=1.8米，NABC=NGCD=NEDF=90°，

：4AHB=/GHC，

??、ABHsMGCH,

.CG=CH

*AB麗，

-2_1

.AB1+BC'

:乙F=/F,

△ABFs/XEDF,

.DE=DF

*AB而'

.2_3

*AB3+1.8+BC'

.1_3

?1+BC3+1.8+BC'

,?BC=0.9米，

.2_1

,AB1+0.9'

,?A8=3.8米，，燈桿AB的高度為3?8米.

【真題再現(xiàn)】必刷真題，關注素養(yǎng)，把握核心

1.（2。12?上海）如圖，在RlZ\ABC中，NAC8=9O°,。是邊48的中點，BELCD,垂足為點E.已知

3

AC=15,cosA=—.

5

(1)求線段CO的長;

(2)求sin/QBE的值.

【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出A6的長,

即可求出8的長；

(2)由于。為A4上的中點，求出設。ZT=K,EB=y,利用勾股定理即可求出；v

2

的值，據此解答即可.

【解析】(1)VAC=15,cosA=—,

5

：.AB=25,

??,△ACB為直角三角形，。是邊AB的中點,

：.CD=—(或12.5)；

2

(2)方法一：

V5C2=AB2-AC2=4(X)

9R

AD=BD=CD=—,

2

???設DE=x,EB=yt

f22625

y+x=—

|(X+Y-)2+Y2=400

7_

解得工=《，sin2^.

2BD至25

2

方法二：

3

,**AC=15>cosA=-f

5

AAB=15-?—=25,

5

???BC=20,cos/ABC=區(qū)=生

AB5

VDC=DB,：.NDCB=NA8C,

4

??cosNDCB=cosNABC=—?

5

BELCD,：.ZBEC=90°,

CE

.\cosZDC?=—，

CB

AC￡=16,：.DE=CE-CD=16-12.5=3.5,

2.（2013?上海）某地下車庫出口處“兩段式欄桿”如圖1所示，點A是欄桿轉動的支點，點E是欄桿兩段

的連接點.當車輛經過時，欄桿AM升起后的位置如圖2所示，其示意國如圖3所示，其中A8_L8C,

EF//BC,NE48=143°,A8=AE=L2米，求當車輛經過時，欄桿所段距離地面的高度（即直線改

上任意一點到直線BC的距離）.

（結果精確到0.1米,欄桿寬度忽略不計參考數據：sin37°-0.60,cos37°^0.80,tan37°~0.75.）

線AG,過點E作E〃J_AG于H,則NBAG=90°,NEH4=90°.先求出NE4”=53°,則NEA”=53°,

然后在中，利用余弦函數的定義得出E"=AE?cos/A￡7/-0.96米，則欄桿所段距離地面的高度

為：AB+EH,代入數值計算即可.

【解析】如圖，過點4作6C的平行線AG,過點E作￡〃_LAG于"，則N8AG=90°,NEHA=90。.

VZEAS=143",N8AG=90°，

:.乙EAH=ZEAB-N84G=53°.

在中，ZEHA=90°,NAEH=900-ZEAH=31°,AE=1.2米，

???EH=AE?cosNAEH和1.2X0.80=0.96（米），

??"8=1.2米，

???欄桿E尸段距離地面的高度為：AB+E”-1.2+0.96=2.16-2.2（米）.

故欄桿E尸段距離地面的高度約為2.2米.

困33.（2014?上海）如圖，已知RtZ\ABC中，N4CB=90°,C。是斜邊AB上的中線,

過點A作AE_LCD,AE分別與C。、C8相交于點“、E,AH=2CH.

⑴求sinB的值;

（2）如果8=近，求5E的值.

cEN【分析】（1）根據N4C8=90°,CD是斜邊43上的中線，可得出CO=B。，

則/B=NBCO,再由AEJLCD,可證明/B=NC4",由A〃=2CH,可得出C"：AC=l：遍，即可得

出sinfi的值；

（2）根據sinB的值，可得出AC：48=1：遙，再由48=2遙，得4c=2,則C￡=1,從而得出

【解析】（1）VZACB=90°,8是斜邊48上的中線，

:,CD=BD,

:.匕B=NBCD,

VAE1CD,

/.ZC4H+ZAC/7=90°,

又/ACB=90°：.^BCD+ZACH=90°

：?4B=/BCD=NCAH,即NB=/C4H,

YAH=2CH,

???由勾股定理得AC=y/5CH,

/.CH：AC=1：煙,

5

（2）Vsin5=-^-,

5

?MC：AB=\z遮

：.AC=2.

；/C4H=NB,

：.sinZCAH=s\nB=^-=-L,

5V?

設CE=x（x>0）,則AE=V^v，則『+2?=（V5x）2,

CE=x=19AC=2,

在RlZSABC中，AC2+BC2=AB2,

?；AB=2CD=2爬,

：.BC=4,

：.BE=BC-CE=3.

CEN4.（2015?上海）如圖，MN表示一段筆直的高架道路，線段AB表示高架道路

旁的一排居民樓，已知點A到MN的距離為15米，84的延長線與MN相交于點。，且N8￡>N=30°,

假設汽車在高速道路上行駛時，周圍39米以內會受到噪音的影響.

（1）過點4作MN的垂線，垂足為點，，如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛，當汽車到達點

P處時，噪音開始影響這一排的居民樓，那么此時汽車與點，的距離為多少米？

（2）降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板，當汽車行駛到點。時，它與這一排居民樓的距

離。。為39米，那么對于這?排居民樓，高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長？（精確到1米）

（2）由題意知，隔音板的長度是PQ的長度.通過解RlZ\A?！?、RlACO。分別求得。。的長度,

然后結合圖形得到：PQ=PH+DQ-DH,把相關線段的長度代入求值即可.

22

【解析】（1）如圖，連接外.由題意知，A尸=39%在直角△4P“中，?=VAP-AH=V392-152

=36（米）；

（2）由題意知，隔音板的長度是尸。的長度.

在中，O〃=4"?col30°=15炳（米）.

在RlaCQQ中，―=平=78（米）.

sin30I

2

貝I]PQ=/W+”Q=P〃+。。-￡>"=36+78-15如-114-15X1.7=88.5-89（米）.

答：高架道路旁安裝的隔音板至少約需要89米.

0/,

R5.（2016?上海）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC=3,點

。在邊AC上，且AQ=2CO,DE±ABf垂足為點E,聯(lián)結CE,求:

(1)線段AE的長:

(2)NEC8的余切值.C【分析】(1)由等腰直角三角形的性質得出NA=/8=45°,

由勾股定理求出48=3五,求出N4Z)E=N4=45°,由三角函數得出即可得出BE的長；

(2)過點E作垂足為點”，由三角函數求出E"=BH=5E?cos45°=2,得出C"=l,在Rt

△CHE中,由三角函數求出cot/￡C8=S3=1即可.

EH2

【解析】（1）VAD=2CD,AC=3,

?"D=2,

???在RtZ\4BC中，N4CB=90°,AC=BC=3,

/.ZA=ZB=45°,^^=,7AC2+BC2=/7S2+32=^^1~2>

\'DE±ABt

：.^AED=90°,ZADE=ZA=45°,

，AE=4O?cos450=2乂亞=夜，

2

：.BE=AB-AE=3近-&=2近，

即線段BE的長為2近；

（2）過點七作上H_L8C,垂足為點〃，如圖所示：

???在RtZ\BE”中，NEHB=90°,NB=45°,

；?EH=BH=BE*cos45。=2&X哼=2,

???BC=3,

:.CH=1,

在RtZiCHE中，cotZECB=—=—,

EH2

即/EC8的余切值為"j.

D

CH36.(2017?上海)如圖，一座鋼結構橋梁的框架是△4?C,水平橫梁長18米，

中柱A。高6米，其中。是8C的中點，且AO_L8C.(1)求sinB的值；

(2)現(xiàn)需要加裝支架DE、EF,其中點E在AB上，BE=2AE,且上尺LBC,垂足為點F,求支架OE的

長.

^4^

BFD?！痉治觥?1)在RIA48O中,利用勾股定理求出AB,再根據sinB=也計

AB

算即可；

(2)由EF//AD,BE=2AE,可得?"=黑=3,求出七人。尸即可利用勾股定理解決問題;

ADBDBA3

【解析】(1)在RtZ\ABO中，???瓦)=DC=9m,AD=6rnf

5=22=22

；?^7BD+ADV9+6=：

.=他=?=漢豆

AB3V1313

(2)*：EF//AD,BE=2AE,

.EF=BF=BE=_2

“ADBDBA3,

.2F=BF=2

'693，

.\EF=4m,BF=6m,

**?DF—31nf

在RlZXDE尸中，OE={EF2+DF2="+32=5m.

o

BFDC7.(2018?上海)如圖,已知aABC中，AB=BC=5,tanZABC=—.

4

(1)求邊4c的長;

A

（2）設邊BC的垂直平分線與邊A8的交點為O,求黑的值.

DB

【分析】（1）過A作AE_L8C,在直角三角形A8E中，利用銳角三角函數定義求出AC的長即可:

（2）由。/垂直平分BC,求出8尸的長，利用銳角三角函數定義求出。尸的長，利用勾股定理求出8。

的長，進而求出4D的長，即可求出所求.

【解析】（1）作A作AE_L5C,

在RtZXABE中，tan/A8C=膽=3,AB=5t

BE4

AAE=3,BE=4,

?二CE=BC-BE=5-4=1,

在RtaAEC中，根據勾股定理得：AC=^32+l2=V10；

(2)

方法一:

???。尸垂直平分BC,

：.BD=CD,BF=CF=—,

2

VtanZDBF=—,

BF4

.,.DF=—.

8

在RtZXBFD中，根據勾股定理得：BD=

：.AD=5--=—

88

則星=3.

BD5

方法二:

尸垂直平分BC,

R

:,BD=CD,BF=CF=-

2f

53

：.EF=CF-CE=-^-1=—,

22

???AE_LBC,DF_LBC,:./BFD=/BEA,

?：4FBD=NEBA,

「RtAfiFD^RtABEA,

_3

.AD=」FJ\_3

*,5B=FBV"?,

~2

箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋AOE可以繞點4逆時針方向旋轉，當旋轉角為60°時，箱蓋AOE落

在AO'E'的位置（如圖2所示）.已知AO=90厘米，。石=30厘米，EC=40厘米.

（1）求點》到8c的距離；

（2）求E、E'兩點的距離.

圖1圖2【分析】（1