2.3 圓與圓的位置關(guān)系（七大題型）（解析版）

2.3圓與圓的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能將平面幾何關(guān)于圓與圓位置關(guān)系的定性描述，轉(zhuǎn)化為通過圓的方程判斷圓與圓位置關(guān)系的定量刻畫，給出通過圓的方程判斷圓與圓位置關(guān)系的基本步驟，并能用于解決給定圓的方程判斷位置關(guān)系的問題.（2）能通過具體實例歸納出坐標(biāo)法解決圓與圓位置關(guān)系問題的基本步驟，并能用于解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題.1、了解圓與圓的位置關(guān)系.2、掌握圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法.3、能用圓與圓的位置關(guān)系解決一些簡單問題．知識點01圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系：（1）圓與圓相交，有兩個公共點；（2）圓與圓相切（內(nèi)切或外切），有一個公共點；（3）圓與圓相離（內(nèi)含或外離），沒有公共點．2、圓與圓的位置關(guān)系的判定：（1）代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解．有兩組不同的實數(shù)解時，兩圓相交；有一組實數(shù)解時，兩圓相切；方程組無解時，兩圓相離．（2）幾何法：設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為．當(dāng)時，兩圓相交；當(dāng)時，兩圓外切；當(dāng)時，兩圓外離；當(dāng)時，兩圓內(nèi)切；當(dāng)時，兩圓內(nèi)含．知識點詮釋：判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來確定，這種方法運算量小．也可利用代數(shù)法，但是利用代數(shù)法解決時，一是運算量大，二是方程組僅有一解或無解時，兩圓的位置關(guān)系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來確定．因此，在處理圓與圓的位置關(guān)系時，一般不用代數(shù)法．3、兩圓公共弦長的求法有兩種：方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求其長．方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．4、兩圓公切線的條數(shù)與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．（1）兩圓外離時，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；（2）兩圓外切時，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；（3）兩圓相交時，只有2條外公切線；（4）兩圓內(nèi)切時，只有1條外公切線；（5）兩圓內(nèi)含時，無公切線．【即學(xué)即練1】圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．外離【答案】B【解析】由題意得圓的圓心為，半徑為6，圓的圓心為，半徑為1，則，故兩圓內(nèi)切，故選：B題型一：判斷圓與圓的位置關(guān)系例1．（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【解析】圓的圓心與圓的圓心，所以兩圓的圓心距為3，又圓的半徑為1，圓的半徑為2，且圓心距等于圓與圓的半徑之和，所以圓與圓的位置關(guān)系為外切．故選：C.例2．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）圓和圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交C．相切 D．內(nèi)含【答案】D【解析】，，所以，，，則，所以兩圓內(nèi)含.故選：D.例3．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知圓，則兩圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】B【解析】由圓的方程可得圓心，半徑，圓的方程化為，得圓心，半徑，則，所以兩圓外切.故選：B．變式1．（2023·貴州畢節(jié)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．相交 C．相切 D．內(nèi)含【答案】D【解析】圓的圓心為原點，半徑為1.圓的圓心為，半徑為3，因為所以圓與圓的位置關(guān)系為內(nèi)含.故選：D變式2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）圓O：與圓C:的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【解析】圓是以為圓心，半徑的圓，圓:改寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，則，=3，所以兩圓外切，故選：.【方法技巧與總結(jié)】利用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系比用代數(shù)法（即解兩圓方程聯(lián)立方程組的方法）要簡捷些，但需要注意的是，我們這里所說的幾何法仍然是在解析幾何前提下的幾何法，即利用圓的方程及兩點間距離公式求出兩圓圓心距d和兩圓的半徑R和r，再根據(jù)d與R+r、d與R―r的大小關(guān)系來判定即可．題型二：求兩圓的交點例4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）圓與的交點坐標(biāo)為.【答案】和【解析】聯(lián)立，兩式相減得，將其代入中得或，進(jìn)而得或，所以交點坐標(biāo)為故答案為：和例5．（2023·高二課時練習(xí)）若一個圓經(jīng)過點及圓與圓的交點，求此圓的方程．【解析】聯(lián)立與，解得：或，即兩圓交點坐標(biāo)為與，設(shè)圓的方程為：，將點坐標(biāo)代入得：，解得：，所以此圓的方程為：.例6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）求圓與圓的交點的坐標(biāo)．【解析】由題設(shè)，，相減可得，所以，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以交點坐標(biāo)為、.變式3．（2023·高二課時練習(xí)）證明下列兩圓相切，并求出切點坐標(biāo)：，．【解析】，所以圓心為，半徑為；，所以圓心為，半徑為；所以兩圓心間的距離為，且，因此，故兩圓相外切；，解得，故切點為.【方法技巧與總結(jié)】直接聯(lián)立兩圓方程求交點．題型三：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)例7．（2023·全國·高二課堂例題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，點，若圓上存在動點滿足，則的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)，因為動點滿足，所以，化簡得．又動點在圓上，所以圓與圓有公共點，所以，解得．故答案為：例8．（2023·高二課時練習(xí)）已知與的方程分別為，若兩圓相交，則的取值范圍是．【答案】【解析】所以，即，所以．故答案為：

.例9．（2023·高二課時練習(xí)）若圓與圓內(nèi)切，則的值是．【答案】1或25【解析】由，得，則圓心為，半徑為，由，得，則圓心為，半徑，因為圓與圓內(nèi)切，所以，所以或，解得或，故答案為：25或1變式4．（2023·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓與圓相交于兩點，且滿足，則．【答案】【解析】根據(jù)題意，圓，則，則或，其圓心為，且的坐標(biāo)為，即圓，根據(jù)表示的是圓，則恒成立，其圓心為，且的坐標(biāo)為，即，兩圓的相交于，兩點，則的垂直平分線為，又由，滿足，即，點也在直線上，則有，即，解可得，故答案為：.變式5．（2023·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓C：和點M，O為坐標(biāo)原點，若圓C上存在點P滿足，則r的最大值為．【答案】6【解析】設(shè)，由，得，整理得，即點在圓上，其圓心為，半徑為，又點在圓上，圓心，半徑為，因此圓與圓有公共點，即有，且，解得，所以的最大值為.故答案為：6變式6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓與圓內(nèi)切，則的最小值為【答案】2【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓內(nèi)切，，可得，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，的最小值為2．故答案為：2．變式7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓心在原點的單位圓和圓外切，．【答案】16【解析】圓圓心為，半徑為1，圓，圓心為，且，半徑為，所以圓心距，因為兩圓外切，所以，所以．故答案為：16變式8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點，，若圓上有且只有一點，使得，則實數(shù)的一個取值為.（寫出滿足條件的一個即可）【答案】(答案不唯一)【解析】由題知，圓，即，圓心為，半徑，設(shè)中點為，因，，則，，以為直徑的圓為，因為圓上有且只有一點，使得，則圓與圓相切，又，即有或，解得或.故答案為：題型四：求兩圓的公共弦方程、公共弦長例10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）圓與圓的公共弦所在的直線方程為．【答案】【解析】聯(lián)立，兩式相減得.故答案為：例11．（2023·福建福州·高二福建省福州高級中學(xué)?？计谥校﹫A：與圓：的公共弦長為.【答案】【解析】由題意可知，兩圓方程相減可得公共弦方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心，半徑；圓心到公共弦的距離所以公共弦長為.故答案為：例12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點，則【答案】【解析】圓的方程為，即①，又圓：②，②－①可得兩圓公共弦所在的直線方程為圓的圓心到直線的距離，所以．故答案為:.變式9．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知圓與圓相交，則它們的公共弦所在的直線方程是．【答案】【解析】由題意，圓與圓相交，兩圓的方程作差得，即公式弦所在直線方程為.故答案為：.變式10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）圓與圓的公共弦所在直線方程為.【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，則兩圓相交，故將兩圓方程相減可得：，即，即圓與圓的公共弦所在直線方程為，故答案為：變式11．（2023·湖南長沙·高二長郡中學(xué)?？计谀﹫A與圓的公共弦所在直線的方程為．【答案】【解析】聯(lián)立兩圓的方程得，兩式相減并化簡，得，所以兩圓公共弦所在直線的方程為．故答案為：.變式12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓與交于兩點.若存在，使得，則的取值范圍為.【答案】【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑若兩圓相交，則，所以，即，又兩圓相交弦所在直線方程為：即所以圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，則弦長，所以，則，所以，若存在，使得，則，即，所以的取值范圍為.故答案為：.變式13．（2023·廣東湛江·高二湛江二十一中?？计谥校┮阎獔A和圓，則圓與圓的公共弦的弦長．【答案】【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，所以，滿足兩圓相交有公共弦，兩圓公共弦所在直線方程為兩圓方程作差得：，即，所以圓心到直線的距離，則公共弦長為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】求兩圓的公共弦所在的直線方程，只需把兩個圓的方程相減即可．這是因為若兩圓相交，其交點坐標(biāo)必須滿足相減后的方程；另一方面，相減后的方程為二元一次方程，即直線的一般方程，故此方程即為兩圓公共弦所在的直線方程，而在求兩圓的公共弦長時，則應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想方法的靈活運用．題型五：圓的公切線條數(shù)例13．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高二統(tǒng)考期中）圓與圓的公切線條數(shù)為（

）A．條 B．條 C．條 D．條【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以，，所以，，即圓與圓相交，故兩圓的共有條公切線.故選：C.例14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為5；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，所以兩圓的圓心距為，因為，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線有2條.故選：B.例15．（2023·安徽合肥·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）若兩圓和恰有三條公切線，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因為兩圓有三條公切線，則兩圓外切，則，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為.故選：C.變式14．（2023·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓：和圓：，則圓與圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為和，圓心分別為，，半徑分別為，，圓心距，故，所以圓與圓外離，所以圓與圓有4條公切線.故選：D變式15．（2023·福建廈門·高二統(tǒng)考期末）已知圓與圓，若與有且僅有一條公切線，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓可化為，圓心為，半徑為，圓可化為，圓心為，半徑為，又與有且僅有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，因此，即，解得，故選：C變式16．（2023·四川南充·高二統(tǒng)考期末）已知點，，若點A到直線l的距離為1，點B到直線l的距離為4，則滿足條件的有（

）條A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為點A到直線l的距離為1，所以直線l為以為圓心，為半徑的圓的切線，同理直線l還是以為圓心，為半徑的圓的切線，即直線l為圓與圓的公切線，由題意，滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)即為圓與圓的公切線條數(shù)，因為，所以兩圓外切，所以兩圓的公切線有3條，即滿足條件的直線有3條.故選：C.題型六：圓的公切線方程例16．（2023·河北廊坊·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）同時與圓和圓都相切的一條直線方程為．【答案】（或或，答案不唯一）【解析】的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為，故，所以圓與圓兩圓外切，將兩個圓的方程相減即得，這是內(nèi)公切線方程．由于兩圓的半徑相等，故外公切線與直線平行，因為直線的方程為，即，設(shè)外公切線方程為，由，得或，即兩條外公切線方程分別為和．故答案為：（或或，答案不唯一）例17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）寫出與圓和都相切的一條直線方程．【答案】或中任何一個答案均可【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，所以兩圓外離，由兩圓的圓心都在軸上，則公切線的斜率一定存在，設(shè)公切線方程為，即，則有，解得或或或所以公切線方程為或.故答案為：.（答案不唯一，寫其它三條均可）例18．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓，圓.請寫出一條與兩圓都相切的直線方程：.【答案】或【解析】圓圓心，半徑，圓圓心，半徑，由兩圓相交，所以兩圓有2條公切線，設(shè)切線與兩圓圓心連線的交點為，如圖所示，則，即，所以，解得，所以，設(shè)公切線l︰，所以圓心到切線l的距離，解得，所以公切線方程為，即或.故答案為：或變式17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程.【答案】或或（三條中任寫一條即可）【解析】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為；與的距離為，所以兩圓外切.過與的直線方程為.由圖可知，直線是兩圓的公切線，由解得，設(shè)，設(shè)兩圓的一條公切線方程為，到直線的距離為，即，解得，所以兩圓的一條公切線方程為，即.由兩式相減并化簡得，所以兩圓的公切線方程為或或.故答案為：或或（三條中任寫一條即可）變式18．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓與圓，則圓與圓的公切線方程是.【答案】【解析】圓，即，圓心為，半徑.圓，即，圓心為，半徑.圓心角，所以兩圓內(nèi)切，由解得，所以兩圓切點的坐標(biāo)為，，所以公切線的斜率為，所以公切線的方程為，即故答案為：變式19．（2023·廣東深圳·高二?？茧A段練習(xí)）圓與圓的公切線方程為．【答案】【解析】圓，即，得,所以故兩圓內(nèi)切，公切線只有一條，與兩圓圓心的連線即x軸垂直，由得所以切點為，故公切線方程為．故答案為：．題型七：圓系問題例19．（2023·高二課時練習(xí)）經(jīng)過直線與圓的交點，且過點的圓的方程為．【答案】【解析】由已知可設(shè)經(jīng)過直線和圓的圓系方程為，又因為圓過點，所以，解得：，故所求圓的方程為．故答案為：.例20．（2023·高二課時練習(xí)）過圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程是．【答案】【解析】設(shè)圓的方程為，則，即，所以圓心坐標(biāo)為，把圓心坐標(biāo)代入，可得，所以所求圓的方程為．故答案為：.例21．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）曲線與的四個交點所在圓的方程是．【答案】【解析】根據(jù)題意得到：，化簡得到答案.，，故，化簡整理得到：，即.故答案為：.變式20．（2023·安徽銅陵·高二銅陵一中?？计谥校┙?jīng)過直線與圓的交點，且過點的圓的方程為.【答案】【解析】設(shè)過已知直線和圓的交點的圓系方程為：∵所求圓過點∴解得所以圓的方程為，化簡得.故答案為：.變式21．（2023·高二校考課時練習(xí)）過兩圓與的交點和點的圓的方程是.【答案】【解析】設(shè)所求圓的方程為：將代入得：所求圓的方程為：本題正確結(jié)果：變式22．（2023·浙江杭州·高二?？计谀┮阎粋€圓經(jīng)過直線與圓的兩個交點，并且有最小面積，則此圓的方程為.【答案】【解析】可設(shè)圓的方程為,即,此時圓心坐標(biāo)為,當(dāng)圓心在直線上時，圓的半徑最小，從而面積最小，,解得,則所求圓的方程為，故答案為.變式23．（2023·江西九江·高一統(tǒng)考期中）經(jīng)過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為【答案】【解析】由題可先設(shè)出圓系方程；，則圓心坐標(biāo)為；，又圓心在直線上，可得；解得.所以圓的方程為：.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．（1）直線系方程：若直線與直線相交于點P，則過點P的直線系方程為：簡記為：當(dāng)時，簡記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點，則過A，B兩點的圓系方程為：簡記為：，不含當(dāng)時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注意：與圓C共根軸l的圓系一、單選題1．（2023·高二單元測試）已知圓與圓外切，點P是圓C上一動點，則點P到直線的距離的最大值為（

）A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【解析】由化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，即圓心，半徑為，由知其圓心為，半徑為2，而兩圓外切則有：.因為圓心到直線的距離，所以點P到直線的距離的最大值為1＋3＝4.如圖所示：此時P、A兩點重合.故選：C.2．（2023·廣東東莞·高二東莞實驗中學(xué)?？计谥校﹫A：與圓：的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【解析】圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以兩圓圓心距為，所以，因此兩圓的位置關(guān)系為相交.故選：C.3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若圓與圓有公共點，則滿足的條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.兩圓圓心距為，由于兩圓有公共點，所以，解得，所以.故選：D4．（2023·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）已知在圓上恰有兩個點到原點的距離為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑為，依題意可知，以原點為圓心，半徑為的圓，與圓相交，，所以，即，所以.故選：C5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點距離為，且與點距離為的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】A【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線滿足與點距離為，且與點距離為，以點為圓心，為半徑的圓的方程為，以點為圓心，為半徑的圓的方程為，因為，則兩圓相內(nèi)切，故兩圓的公切線有且僅有條，即，故在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點距離為，且與點距離為的直線共有條.故選：A6．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知圓，圓，則下列不是，兩圓公切線的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為如圖所示，兩圓相離，有四條公切線.兩圓心坐標(biāo)關(guān)于原點對稱，則有兩條切線過原點，設(shè)切線，則圓心到直線的距離，解得或，當(dāng)時，切線方程為，A正確；當(dāng)時，切線方程為，即，B正確；另兩條切線與直線平行且相距為1，又由，設(shè)切線，則，解得，即切線方程分別為，；整理可得兩切線方程為和，所以C正確，D不正確.故選：D.7．（2023·河北石家莊·高二校考階段練習(xí)）已知圓C的方程為，直線，點P是直線l上的一動點，過P做圓C的兩條切線，切點分別為A，B，當(dāng)四邊形PAOB的面積最小時，直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意可知，所以，所以最小時，最小，此時，的斜率為，所以此時直線的斜率為，也即此時直線的方程為，由解得，則，以為圓心，半徑為的圓的方程為，即，與兩式相減并化簡得：.故選：A8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）圓與圓的公共弦長的最大值是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由，得，圓心，半徑；由，得，圓心，半徑，所以兩圓圓心均在直線上，半徑分別為1和，如圖，當(dāng)兩圓相交且相交弦經(jīng)過小圓圓心，也即大圓圓心在小圓上時，兩圓公共弦長最大，最大值為小圓的直徑，即最大值為2.故選：D.二、多選題9．（2023·高二課時練習(xí)）圓與圓外切，則的值為（

）A． B． C．2 D．5【答案】AC【解析】圓的圓心為，半徑長為3，圓的圓心為，半徑長為2．依題意，即，解得或．故選：AC10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓和圓，分別是圓，圓上的動點，則下列說法正確的是（

）A．圓與圓有四條公切線B．的取值范圍是C．是圓與圓的一條公切線D．過點作圓的兩條切線，切點分別為，則存在點，使得【答案】ABD【解析】對于選項A，由題意可得，圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑，因為兩圓圓心距，所以兩圓外離，有四條公切線，A正確；對于B選項，的最大值等于，最小值為，B正確；對于C選項，顯然直線與直線平行，因為兩圓的半徑相等，則外公切線與圓心連線平行，由直線，設(shè)直線為，則兩平行線間的距離為2，即，故，故C不正確；對于D選項，易知當(dāng)時，四邊形為正方形，故當(dāng)時，，故D正確，故選：ABD.11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，該曲線W是由4個圓：，，，的一部分所構(gòu)成，則下列敘述正確的是（

）

A．曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2πB．若圓與曲線W有8個交點，則C．與的公切線方程為D．曲線W上的點到直線的距離的最小值為4【答案】ACD【解析】曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個邊長為2的正方形和四個半徑為1的相同的半圓，所以其面積為，故A選項正確.當(dāng)時，交點為B，D，F(xiàn)，H；當(dāng)時，交點為A，C，E，G；當(dāng)或時，沒有交點；當(dāng)時，交點個數(shù)為8，故B選項錯誤.設(shè)與的公切線方程為，由直線和圓相切的條件可得，解得，（舍去），則其公切線方程為，即，故C選項正確.同理可得，的公切線方程為，則兩平行線的距離，故D選項正確.故選：ACD.12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）點在圓：上，點在圓：上，則（

）A．的最小值為B．的最大值為C．兩個圓心所在的直線斜率為D．兩個圓公共弦所在直線的方程為【答案】AC【解析】根據(jù)題意，圓：，其圓心，半徑，圓：，即，其圓心，半徑，則圓心距，兩圓外離，不存在公共弦，故D不正確；的最小值為，最大值為，故A正確，B不正確；對于C，圓心，圓心，則兩個圓心所在直線斜率，故C正確，故選：AC.三、填空題13．（2023·河北廊坊·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）同時與圓和圓都相切的一條直線方程為．【答案】（或或，答案不唯一）【解析】的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為，故，所以圓與圓兩圓外切，將兩個圓的方程相減即得，這是內(nèi)公切線方程．由于兩圓的半徑相等，故外公切線與直線平行，因為直線的方程為，即，設(shè)外公切線方程為，由，得或，即兩條外公切線方程分別為和．故答案為：（或或，答案不唯一）14．（2023·云南保山·高二統(tǒng)考期中）若圓：與圓：相交于兩點，則公共弦的長為．【答案】【解析】由解得或，不妨設(shè)，所以.故答案為：15．（2023·全國·高二課堂例題）圓關(guān)于直線對稱，動點在直線上，過點引圓的兩條切線，切點分別為，則直線必過定點，那么定點的坐標(biāo)為．【答案】【解析】因為圓關(guān)于直線對稱，所以直線過圓的圓心，得，故動點在直線上，設(shè)，因為，，所以四點共圓，該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以該圓的方程為，即，又圓，所以兩圓公共弦所在直線的方程為，所以直線過定點.故答案為：16．（2023·江西九江·高二永修縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點滿足．設(shè)點的軌跡為．①軌跡的方程為.②在軸上存在異于的兩點，使得.③當(dāng)三點不共線時，射線是的角平分線.④在上存在點，使得.以上說法正確的序號是．【答案】②③【解析】對于①，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點滿足，設(shè)，則，化簡得，即，所以①錯誤；對于②，假設(shè)在軸上存在異于，的兩點，，使得，設(shè)，，則，化簡得，由軌跡的方程為，代入上式有，可得，，聯(lián)立解得，或，（舍去），所以②正確；對于③，當(dāng)，，三點不共線時，，可得射線是的角平分線，所以③正確；對于④，若在上存在點，使得，可設(shè)，則，化簡得，與聯(lián)立，得，解得，代入有，無實數(shù)解，則方程組無實數(shù)解，故不存在點，所以④錯誤．故答案為：②③．四、解答題17．（2023·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊101中學(xué)?？计谀┮阎獔A與圓.(1)求證：圓與圓相交；(2)求兩圓公共弦所在直線的方程.【解析】（1）將圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，，，兩圓相交；（2）由圓與圓，將兩圓方程相減，可得，即兩圓公共弦所在直線的方程為.18．（2023·全國·高二專題練習(xí)）求過兩圓和圓的交點，且圓心在直線上的圓的方程.【解析】設(shè)圓的方程為，則，即，所以圓心坐標(biāo)