2.2.3 向量數(shù)乘運算及其幾何意義題組訓練-2021-2022學年高一上學期數(shù)學人教A版必修4

第二章平面向量2.2平面向量的線性運算2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義基礎過關練題組一向量數(shù)乘的定義與線性運算1.若a=-12b(b≠0),則A.a和b方向相同,且|a|=2|b|B.a和b方向相同,且|b|=2|a|C.a和b方向相反,且|a|=2|b|D.a和b方向相反,且|b|=2|a|2.已知m,n是實數(shù),a,b是向量,則下列命題中正確的是()①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,則a=b;④若ma=na,則m=n.A.①④ B.①② C.①③ D.③④3.(2018內(nèi)蒙古赤峰二中高一下期末)給出下列命題:①具有公共終點的兩個向量一定是共線向量;②兩個向量不能比較大小,但它們的模能比較大小;③若λa=0(λ為實數(shù)),則λ必為零;④已知λ,μ為實數(shù),若λa=μb,則a與b共線.其中錯誤命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.44.(2019河北定州一中高一開學考試)化簡13×12(2a+8b)-(4a-2b)的結果是.

題組二向量的表示5.如圖,在△ABC中,AB=c,AC=b,若點D滿足BD=2DC,則AD=()A.23b+13cB.53c-23bC.23b-13c6.(2019四川巴中高一下期末)在△ABC中,若AB+AC=4AP,則CP=()A.34AB-14AC B.-34AB+14ACC.7.如圖所示,平行四邊形ABCD的對角線交于點O,點M在線段OD上,點N在線段CD上,且滿足DM=12DO,DN=3NC,記AB=a,AD=b,試用a,b表示AM,AN,題組三共線向量定理8.(2019湖北高一期中)已知a,b是不共線的向量,AB=λa+2b,AC=a+(λ-1)b,且A,B,C三點共線,則λ=()A.-1 B.-2 C.-2或1 D.-1或29.(2019河北高一期末)已知a,b是不共線的非零向量,AB=a+2b,BC=3a-b,CD=2a-3b,則四邊形ABCD是()A.梯形 B.平行四邊形C.矩形 D.菱形10.對于向量a,b有下列表示(其中e1,e2不共線):①a=2e1,b=-2e1;②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;③a=4e1-25e2,b=e1-110e2;④a=e1+e2,b=2e1-2e其中,a,b一定共線的是()A.①②③ B.②③④C.①③④ D.①②③④題組四向量數(shù)乘的應用11.(2020安徽渦陽第一中學高一月考)已知△ABC中,向量AP=λ(AB+AC)(λ∈R),則點P的軌跡通過△ABC的()A.垂心 B.內(nèi)心 C.外心 D.重心12.(2019四川高一期末)已知向量m,n不共線,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.(1)判斷a,b是否共線;(2)若a∥c,求x的值.能力提升練一、選擇題1.(2019鄂爾多斯第一中學高一期中,★★☆)下列結論正確的是()A.若向量a,b共線,則向量a,b的方向相同B.向量AB與CD是共線向量,則A,B,C,D四點在一條直線上C.在△ABC中,若D是BC的中點,則AD=12(AB+AC)D.若a∥b,則?λ∈R,使a=λ2.(2020河北邯鄲高一上期末,★★☆)設D,E為△ABC所在平面內(nèi)的兩點,且CD=12DA,BE=12BA,則()A.DE=12AB+23AC B.DE=-12AB-23ACC.DE=-123.(★★☆)已知四邊形ABCD中,G為CD的中點,則AB+12(BD+BC)等于A.AG B.CG C.BC D.14.(★★☆)設D為△ABC所在平面內(nèi)一點,AD=-13AB+43AC,若BC=λDC(λ∈A.2 B.3 C.-2 D.-35.(2019河南安陽一中高考模擬,★★☆)莊嚴美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征,正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形,且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星中,PTAT=5-1A.BP-TS=5+12RS B.CQ+TP=5+12TSC.ES-AP=5-6.(2019黑龍江大慶實驗中學高一期末,★★☆)在△ABC中,若點P滿足AP=13AB+23AC,AQ=34AB+14AC,A.1∶3 B.5∶12 C.3∶4 D.9∶167.(★★★)已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點,動點P滿足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|,λ∈A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心二、填空題8.(★★☆)現(xiàn)有下列命題:①若a與b為非零向量,且a∥b,則a+b必與a或b的方向相同;②若a與b共線,b與c共線,則a與c必共線;③若平面內(nèi)有四個點A,B,C,D,則必有AC+BD=BC+AD.上述命題正確的有.(填序號)

9.(2019天津高三期中,★★☆)在△ABC中,D為BC邊延長線上的一點,且不與C重合,若AD=λAB+(1-λ)AC,則實數(shù)λ的取值范圍是.

10.(★★☆)已知△ABC的三個頂點都在圓O上,AO=12AB+12AC,且|BC|=10,則圓三、解答題11.(★★★)如圖,在平行四邊形ABCD中,M是AB的中點,點N在對角線BD上,且BN=13BD,求證:M、N、C三點共線

答案全解全析第二章平面向量2.2平面向量的線性運算2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義基礎過關練1.D∵a=-12b(b≠0),-12<0,∴a和b方向相反,且|a|=-12b=12|b|,∴|2.B①和②屬于向量數(shù)乘的分配律,正確;③中,若m=0,則不能推出a=b,錯誤;④中,若a=0,則m,n的關系不確定,錯誤.3.C①錯誤,兩個向量共線要看其方向而不是起點與終點;②正確,因為向量既有大小,又有方向,所以它們不能比較大小,向量的模均為實數(shù),故可以比較大小;③錯誤,當a=0時,無論λ為何值,λa=0恒成立;④錯誤,當λ=μ=0時,λa=μb,此時a與b可以是任意向量.故選C.4.答案2b-a解析原式=13×12×2-45.A∵BD=2DC,∴AD-AB=2(AC-AD),∴3AD=AB+2AC,∴AD=13c+236.CAB+AC=4AP=4(AC+CP),解得CP=14AB-347.解析因為DM=12DO,DN=3NC,所以AM=AD+DM=AD+14DB=AD+14(AB-AD)=b+14(a-b)=AN=AD+DN=AD+34AB=34a則MN=AN-AM=34a+b-14a+34b=12a+14所以AM=14a+34b,AN=34a+b,MN=12a8.D∵A,B,C三點共線,∴存在實數(shù)k,使得AB=kAC,∴λa+2b=k[a+(λ-1)b],即λ=k,2=故選D.9.AAD=AB+BC+CD=(a+2b)+(3a-b)+(2a-3b)=2(3a-b),因為BC=3a-b,且a,b是不共線的非零向量,所以AD∥BC且|AD|≠|BC|,所以四邊形ABCD是梯形,故選A.10.A對于①,a=-b;對于②,a=-12b;對于③,a=4b;對于④,若a=λb(λ∈R),則e1+e2=λ(2e1-2e2),又e1,e2不共線,所以1=2λ,1=-2λ,不存在滿足題意的λ,11.D設D為BC的中點,則AB+AC=2AD,∴AP=2λAD,即點P在中線AD上.故點P的軌跡必過△ABC的重心.故選D.12.解析(1)由題意知a為非零向量,若a與b共線,則有b=λa(λ∈R),即6m-4n=λ(3m+2n),∴6=3λ,∴λ不存在,即a與b不共線.(2)若a∥c,則有c=ra(r∈R),即m+xn=3rm+2rn,即1=3r,x=2能力提升練一、選擇題1.CA選項,若向量a,b共線,則向量a,b的方向相同或相反,故A錯誤;B選項,向量AB和CD共線即AB∥CD,則A,B,C,D不一定在同一條直線上,故B錯誤;C選項,根據(jù)向量線性運算中的加法運算法則,可得AD=12(AB+AC),故C正確D選項,若a為非零向量,b為零向量,則a∥b,此時不存在λ∈R,使得a=λb,故D錯誤.故選C.2.D∵CD=12DA,BE=12BA,∴DA=23CA,AE=12AB,∴DE=DA+AE=3.AAB+12(BD+BC)=AB+BG=AG.故選4.D由AD=-13AB+可得3AD=-AB+4AC,即4AD-4AC=AD-AB,則4CD=BD,即BD=-4DC,可得BD+DC=-3DC,故BC=-3DC,則λ=-3.故選D.5.A在A中,BP-TS=TE-TS=SE=5+12RS,故A正確;在B中,CQ+TP=PA+TP=TA=5+12ST,故B錯誤;在C中,ES-AP=RC-QC=RQ=5-12QB,故C錯誤;在D中,AT+BQ=SD+RD,5-12CR=RS=RD-SD,若AT+BQ6.B因為AP=13AB+23AC,所以13(AP-AB)=23(AC-AP),即BP=2PC,故點P為線段BC上靠近C點的三等分點.又因為AQ=34AB+14AC,所以34(AQ-AB)=14(AC-AQ),即3BQ=QC,故點Q為線段BC上靠近B點的四等分點,所以PQ=512BC,7.B∵AB|AB|,AC|AC|分別表示AB,AC方向上的單位向量,∴AB|∵OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|,∴AP=λAB|又λ∈(0,+∞),∴AP的方向與∠BAC的平分線的方向一致,∴動點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的內(nèi)心.故選B.二、填空題8.答案③解析命題①中,當向量a與b的模相等且方向相反時,不成立;命題②中,當b為零向量時,不成立;命題③中,由AC+BD=BC+AD,得AC-BC=AD-BD,即AC+CB=AD+DB,所以AB=AB,成立.故正確的為③.9.答案(-∞,0)解析∵AD=λAB+(1-λ)AC=AC+λ(AB-AC)=AC+λCB=AC+(-λ)BC.又∵AD=AC+CD,∴CD=-λBC.由題意得-λ>0,∴λ<0.10.答案25π解析作圓O的直徑AD,則