1.5 全稱量詞與存在量詞 講義（知識點+考點+練習）-2021-2022學年人教A版（2019）高一數(shù)學必修第一冊

1.5全稱量詞與存在量詞一、全稱量詞1.（universalquantifier）：所有的、任意一個，用表示2.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題（universalproposition），3.全稱量詞的否定是存在量詞：二、存在量詞1.（existentialquantifier）：存在一個、至少有一個，用表示2.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題（existentialproposition），記為3.存在量詞的否定是全稱量詞：思考1全稱量詞命題中的“x，M與p(x)”表達的含義分別是什么？思考2“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有實數(shù)解”是存在量詞命題還是全稱量詞命題？請改寫成相應命題的形式．思考3用自然語言描述的全稱量詞命題的否定形式唯一嗎？思考4對省略量詞的命題怎樣否定？

考點一：全稱量詞的判斷例1(2020·全國高一課時練習)下列命題含有全稱量詞的是()A．某些函數(shù)圖象不過原點 B．實數(shù)的平方為正數(shù)C．方程有實數(shù)解 D．素數(shù)中只有一個偶數(shù)1.1(2019·全國高一課時練習)下列命題中，全稱量詞命題的個數(shù)為()①平行四邊形的對角線互相平分；②梯形有兩條邊的長度不相等；③存在一個菱形，它的四條邊不相等；④高二(1)班絕大多數(shù)同學是團員．A．0 B．1 C．2 D．3考點二：存在量詞的判斷例2(2019·魚臺縣第一中學高一月考)下列語句是存在量詞命題的是()A．整數(shù)n是2和5的倍數(shù) B．存在整數(shù)n，使n能被11整除C．若,則 D．2.1(2020·全國高一課時練習)下列命題中：①有些自然數(shù)是偶數(shù)；②正方形是菱形；③能被6整除的數(shù)也能被3整除；④對于任意，總有；存在量詞命題的個數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．3考點三：全稱量詞命題和存在量詞命題真假的判斷例3(2020·全國高一課時練習)判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，然后寫出對應的否定命題，并判斷真假:(1)不論取何實數(shù),關于的方程必有實數(shù)根；(2)所有末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除；(3)某些梯形的對角線互相平分；(4)函數(shù)圖象恒過原點.3.1(2020·浙江高一課時練習)下列四個命題中，既是特稱命題又是真命題的是()A．斜三角形的內角是銳角或鈍角B．至少有一個實數(shù)，使C．任一無理數(shù)的平方必是無理數(shù)D．存在一個負數(shù)，使3．2(2020·全國高一)用符號“”與“”表示下列含有量詞的命題,并判斷真假：(1)任意實數(shù)的平方大于或等于0；(2)對任意實數(shù)a，二次函數(shù)的圖象關于y軸對稱；(3)存在整數(shù)x，y，使得；(4)存在一個無理數(shù)，它的立方是有理數(shù).考點四：命題的否定例4(2020·全國高一課時練習)設是奇數(shù)集，是偶數(shù)集，則命題“，”的否定是()A．， B．，C．， D．，4.1(2020·全國高一課時練習)下列命題的否定為假命題的是()A．， B．，C．， D．，4.2(2020·全國高一課時練習)用量詞符號“”“”表述下列命題，并判斷真假.(1)對所有實數(shù)a，b，方程恰有一個解；(2)一定有整數(shù)x，y，使得成立；(3)所有的有理數(shù)x都能使是有理數(shù)考點五：命題求參數(shù)例5．(2020·浙江高一課時練習)若命題“”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是().A． B． C． D．5.1(2020·全國高一課時練習)命題“已知，都有”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．5.2(2020·江西省都昌縣第一中學高二期中(文))已知命題：，，命題：，恒成立.若為假命題，則實數(shù)的取值范圍為()A． B．或C．或 D．

課后練習（2020高二下·雙流月考）命題“所有奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是（

）A.

所有奇數(shù)的立方不是奇數(shù)

B.

不存在一個奇數(shù)，它的立方是偶數(shù)

C.

存在一個奇數(shù)，它的立方是偶數(shù)

D.

不存在一個奇數(shù)，它的立方是奇數(shù)（2020高三上·北京月考）命題“?x≥0,A.

?x<0,sinx>1

B.

?C.

?x<0,sinx>1

命題“對任意的x∈R,xA.

不存在x∈R,xB.

存在x∈R,x3?xD.

對任意的x∈R,（2020高二下·開魯期中）命題：三角形的內角至多有一個是鈍角，若用反證法證明，則下列假設正確的是（

）A.

假設至少有一個鈍角

B.

假設至少有兩個鈍角

C.

假設三角形的三個內角中沒有一個鈍角

D.

假設沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角（2017·懷化模擬）若命題p：“?x∈（﹣∞，0），x2≥0”，則￢p為

．（2020高一上·鎮(zhèn)江月考）命題P：“?x∈R,x2（2017高二下·南昌期末）已知命題p：“?x∈R，?m∈R，使4x+2x?m+1=0”．若命題p為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是

．（2017高一上·上海期中）已知x∈R，命題“若2＜x＜5，則x2﹣7x+10＜0”的否命題是

．（2021高三上·安徽月考）命題“?x>1，x2+x（2021高三上·泗縣開學考）已知命題p：“?x∈[1,2]，x2?a≥0”，命題q：“?x0∈R，x（2020高一上·云南月考）判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，寫出這些命題的否定，并說出這些否定的真假，不必證明.（Ⅰ）末尾數(shù)是偶數(shù)的數(shù)能被4整除；（Ⅱ）方程x2判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷其真假；寫出這些命題的否定并判斷真假.（1）三角形的內角和為180°；（2）每個二次函數(shù)的圖象都開口向下；（3）存在一個四邊形不是平行四邊形；（4）p:?（5）.p:精講答案思考1答案元素x可以表示實數(shù)、方程、函數(shù)、不等式，也可以表示幾何圖形，相應的集合M是這些元素的某一特定的范圍．p(x)表示集合M的所有元素滿足的性質．如“任意一個自然數(shù)都不小于0”，可以表示為“?x∈N，x≥0”．思考2答案是存在量詞命題，可改寫為“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．思考3答案不唯一，如“所有的菱形都是平行四邊形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四邊形”，也可以是“有些菱形不是平行四邊形”．思考4對省略量詞的命題怎樣否定？答案對于含有一個量詞的命題，容易知道它是全稱量詞命題或存在量詞命題．一般地，省略了量詞的命題是全稱量詞命題，可加上“所有的”或“對任意”，它的否定是存在量詞命題．反之，亦然．例1【答案】B【解析】“某些函數(shù)圖象不過原點”即“存在函數(shù)，其圖象不過原點”；“方程有實數(shù)解”即“存在實數(shù)，使”；“素數(shù)中只有一個偶數(shù)”即“存在一個素數(shù)，它是偶數(shù)”，這三個命題都是存在量詞命題，“實數(shù)的平方為正數(shù)”即“所有的實數(shù)，它的平方為正數(shù)”，是全稱量詞命題，其省略了全稱量詞“所有的”，所以正確選項為B.1.1【答案】C【解析】①可改寫為“任意平行四邊形的對角線互相平分”，為全稱量詞命題②可改寫為“任意梯形均有兩條邊的長度不相等”，為全稱量詞命題③為存在量詞命題④可改寫為“高二(1)班有的同學不是團員”，為存在量詞命題全稱量詞命題為：①②本題正確選項：例2【答案】B【解析】對于A，無特稱量詞．對于B，命題：存在整數(shù)n，使n能被11整除，含有特稱量詞”存在”,故B是特稱命題．對于C，無特稱量詞．對于D，無特稱量詞．故選：B．2.1【答案】B【解析】命題①中含有存在量詞，是存在量詞命題；命題②中全稱量詞省略，可以敘述為“所有的正方形都是菱形”，是全稱量詞命題；命題③中全稱量詞省略，可以敘述為“一切能被6整除的數(shù)也都能被3整除”，是全稱量詞命題；而命題④中有全稱量詞“總有”，是全稱量詞命題故有1個存在量詞命題；故選：B.例3【答案】見解析【解析】(1)即“所有，關于的方程都有實數(shù)根”，是全稱量詞命題，其否定為“存在實數(shù)，使得方程沒有實數(shù)解”，真命題；(2)是全稱量詞命題，其否定為“存在末位數(shù)字是0或5的整數(shù)不能被5整除”，假命題；(3)是存在量詞命題，其否定為“所有梯形的對角線不互相平分”，真命題；(4)即“所有，函數(shù)圖象都過原點”，是全稱量詞命題，其否定為“存在實數(shù)，使函數(shù)圖象不過原點”，是假命題.3.1【答案】B【解析】選項A，C中的命題是全稱命題,選項D中的命題是特稱命題，但是假命題．只有B既是特稱命題又是真命題,選B.3．2【答案】(1).真命題；(2),二次函數(shù)的圖象關于y軸對稱,真命題；(3)假命題；(4)，真命題.【解析】(1)，是真命題；(2),二次函數(shù)的圖象關于y軸對稱,真命題，；(3)假命題,因為必為偶數(shù)；(4).真命題,例如.例4【答案】A【解析】“，”即“所有，都有”，它的否定應該是“存在，使”，所以正確選項為A.4.1【答案】D【解析】對A，命題的否定為假命題等價于該命題是真命題，由得，這樣的整數(shù)x不存在，故A為假命題，其否定為真命題，故A錯誤；對B，，，故B為假命題，其否定為真命題，故B錯誤；對C，，故C為假命題，其否定為真命題，故C錯誤；對D，存在或，使，故D為真命題，從而D的否定是假命題，故D正確.故選：D.4.2【答案】(1)，恰有一個解；假命題.(2)，；真命題.(3)，是有理數(shù)；真命題.【解析】(1)，恰有一個解；假命題.(2)，；真命題.(3)，是有理數(shù)；真命題.例5【答案】B【解析】命題“”是真命題，則需滿足，解得或.故選：B.5.1【答案】C【解析】由已知，得，要使，都有成立，只需，所以正確選項為C.5.2【答案】B【解析】當命題為真時，，解得；當命題為真時，，解得，當命題與命題均為真時，則有.命題為假命題，則命題與命題至少有一個為假命題.所以此時或.故選：B.練習答案1.【答案】C【考點】命題的否定【解析】由于命題“所有奇數(shù)的立方是奇數(shù)”是一個全稱命題，所以命題“所有奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是“存在一個奇數(shù)，它的立方是偶數(shù)”.故選：C【分析】利用全稱命題的否定解答即可.2.【答案】D【考點】命題的否定【解析】因為全稱命題的否定是特稱命題，sinx≤1的否定是sin所以命題“?x≥0,sin故答案為：D【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，sinx≤1的否定是sin3.【答案】C【考點】命題的否定【解析】全稱命題的否定是特稱命題,只需將任意改為存在,并將結論否定,

的否定是,所以命題的否定為:存在，選C.

【分析】全稱命題的否定是特稱命題。4.【答案】B【考點】命題的否定，反證法【解析】用反證法證明數(shù)字命題時，應先假設要證的命題的否定成立，而要證命題“三角形的內角至多有一個鈍角”的否定為“三角形的內角至少有兩個鈍角”，所以應假設三角形的內角至少有兩個鈍角，故答案為：B．

【分析】由反證法結合命題的否定對選項逐一判斷即可得出答案5.【答案】?x0∈（﹣∞，0），x02＜0【考點】命題的否定【解析】解：命題是全稱命題，則￢p為：“?x0∈（﹣∞，0），x02＜0，故答案為：“?x0∈（﹣∞，0），x02＜0【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得到結論．6.【答案】?x∈R,【考點】全稱量詞命題，命題的否定【解析】命題P：“?x∈R,x2+2x?7.【答案】（﹣∞，﹣2]【考點】全稱量詞命題【解析】解：因為p為真命題，即方程4x+2x?m+1=0有實數(shù)解，∴﹣m=2x+12∴m≤﹣2，故m的取值范圍是（﹣∞，﹣2]．故答案為：（﹣∞，﹣2]．【分析】先將命題p轉化為方程4x+2x?m+1=0有實數(shù)解，再分離參數(shù)，利用基本不等式可得m的取值范圍．8.【答案】若x≤2或x≥5，則x2﹣7x+10≥0【考點】全稱量詞命題，命題的否定【解析】解：原命題為：“若2＜x＜5，則x2﹣7x+10＜0”，否定它的條件和結論，得：否命題為：“若x≤2或x≥5，則x2﹣7x+10≥0”，故答案為：若x≤2或x≥5，則x2﹣7x+10≥0．【分析】原命題：若P則q，否命題：若?P則?q.9.【答案】?x0>1【考點】命題的否定【解析】命題“?x>1，x2+x?1≥0故答案為：?x0>1，x10.【答案】解：若p是真命題．則a≤x2，∵x∈[1,2]，∴若q為真命題，則方程x2∴Δ=4a2?4(2?a)≥0，即a≥1或a≤?2，由題意，p真【考點】復合命題的真假，全稱量詞命題，存在量詞命題，命題的真假判斷與應用【解析】根據(jù)復合命題的真假判斷，結合全稱量詞命題與村長量詞命題的真假判斷，以及一元二次不等式恒成立的解法直接求解即可.11.【答案】解：（Ⅰ）由題意可得：該命題是全稱量詞命題，該命題的否定是：存在末尾數(shù)是偶數(shù)的數(shù)，不能被4整除；該命題的否定是真命題.（Ⅱ）由題意可得：該命題是存在量詞命題，該命題的否定是：方程x2該命題的否定是假命題.【考點】全稱量詞命題，命題的否定【解析】根據(jù)全稱命題和特稱命題互為否定，直接求命題的否定，再進行判斷真假即可.12