4.1 數(shù)列的概念-2021-2022學年高二數(shù)學《考點•題型 •技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019選擇性必修第二冊）

高二數(shù)學《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版選擇性必修第二冊)第四章：數(shù)列4.1數(shù)列的概念【考點梳理】考點一數(shù)列及其有關概念1．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，用a2表示……，第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用an表示．其中第1項也叫做首項．2.數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}．考點二數(shù)列的分類分類標準名稱含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列考點三函數(shù)與數(shù)列的關系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n)．考點四數(shù)列的單調性遞增數(shù)列從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項都相等的數(shù)列考點五通項公式1．如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式．2．通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)．考點六數(shù)列的遞推公式如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式．考點七數(shù)列的前n項和Sn與an的關系重難點大規(guī)律歸納1．把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.2．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關性質，如單調性、最大值、最小值等，此時要注意數(shù)列的定義域為正整數(shù)集或其有限子集{1,2，…，n}這一條件．(2)可以利用不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an≥an＋1，))找到數(shù)列的最大項；利用不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an≤an＋1，))找到數(shù)列的最小項．【題型歸納】題型一:數(shù)列的有關概念和分類1．（2021·全國·高二課時練習）下面四個結論：①數(shù)列可以看作是一個定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)；②數(shù)列若用圖像表示，從圖像上看都是一群孤立的點；③數(shù)列的項數(shù)是無限的；④數(shù)列通項的表達式是唯一的．其中正確的是（）．A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④2．（2021·全國·高二課時練習）下列敘述正確的是（）A．數(shù)列1，3，5，7與7，5，3，1是相同的數(shù)列B．數(shù)列0，1，2，3，…可以表示為{n}C．數(shù)列0，1，0，1，…是常數(shù)列D．數(shù)列是遞增數(shù)列3．（2021·全國·高二專題練習）下列有關數(shù)列的說法正確的是（）①數(shù)列1，2，3與數(shù)列3，2，1是同一數(shù)列；②數(shù)列{an}與{a2n－1}表達同一數(shù)列；③數(shù)列－1，1，－1，1，…的通項公式不唯一；④數(shù)列－1，1，3，5，8，…的通項公式為an＝2n－3，n∈N*.A．①④ B．②③ C．③ D．①②題型二：判斷或者寫出數(shù)列的項4．（2021·河北·衡水市第十四中學高二月考）已知數(shù)列－1，，－，…，，…，則它的第6項的值為（）A． B． C． D．5．（2021·江西·新余四中高二月考（理））以下通項公式中，不可能是數(shù)列3，5，9，…的通項公式的是（）A． B．C． D．6．（2021·全國·高二課時練習）已知數(shù)列{an}的通項公式an＝，則an·an＋1·an＋2等于（）A． B． C． D．題型三：根據(jù)數(shù)列的單調性求數(shù)列的最大（?。╉棓?shù)7．（2021·江蘇省阜寧中學高二月考）在數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項的值是（）A．107 B． C． D．1088．（2021·全國·高二課時練習）數(shù)列中，，則該數(shù)列前100項中的最大項與最小項分別是（）A． B．C． D．9．（2021·全國·高二課時練習）已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝－2n2＋21n，則該數(shù)列中的數(shù)值最大的項是（）A．第5項 B．第6項C．第4項或第5項 D．第5項或第6項題型四：由遞推公式求數(shù)列的指定項10．（2021·河南洛陽·高二期中（文））數(shù)列滿足，且，，則（）A．1 B．2 C．5 D．811．（2021·江西九江·高二期中（理））若數(shù)列滿足，且，則的前100項和為（）A．67 B．68 C．134 D．16712．（2021·全國·高二課時練習）已知數(shù)列中，，，，則（）A．-2 B．-1 C．1 D．2題型五：由遞推公式求通項公式13．（2021·廣西師范大學附屬外國語學校高二月考）數(shù)列1，3，6，10，15，…的遞推公式是（）A．B．C．D．14．（2021·天津市南倉中學高二期末）已知數(shù)列，滿足，若，則（）A． B．2 C．1 D．15．（2020·全國·高二課時練習）已知數(shù)列滿足，，則（）A． B．n C． D．題型六：利用Sn與an的關系求通項公式16．（2021·河南·高二月考）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，則的最小值為（）A． B． C． D．17．（2021·江蘇·常熟中學高二月考）數(shù)列的前項和為，若，，則等于（）A． B． C． D．18．（2021·寧夏·六盤山高級中學高二月考（文））數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．【雙基達標】一、單選題19．（2021·全國·高二課時練習）數(shù)列2，4，6，8，10，…的遞推公式是（）A．a(chǎn)n＝an－1＋2(n≥2)B．a(chǎn)n＝2an－1(n≥2)C．a(chǎn)1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)D．a(chǎn)1＝2，an＝2an－1(n≥2)20．（2021·全國·高二課時練習）若數(shù)列{an}滿足an＝3n，則數(shù)列{an}是（）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．擺動數(shù)列21．（2021·全國·高二課時練習）給出以下通項公式：①；②；③，其中可以作為數(shù)列，，，，，，…的通項公式的是（）A．①② B．②③C．①③ D．①②③22．（2021·河南洛陽·高二期中（理））數(shù)列滿足，，且，，記數(shù)列的前項和為，則（）A． B． C． D．23．（2021·福建省龍巖第一中學高二月考）數(shù)列滿足，，其前項積為，則等于（）A． B． C． D．24．（2021·河南·高二月考）已知在數(shù)列中，，，且，則（）A．3 B．15 C．37 D．6325．（2021·江蘇·高二單元測試）在數(shù)列中，，則（）A．25 B．32 C．62 D．7226．（2021·全國·高二單元測試）已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．27．（2021·河南·高二月考（文））猜想數(shù)列的一個通項公式為（）A． B．C． D．【高分突破】一：單選題28．（2021·全國·高二課時練習）已知函數(shù)f(x)＝若數(shù)列{an}滿足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是遞減數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．29．（2021·寧夏·六盤山高級中學高二月考（理））對于正項數(shù)列，定義為數(shù)列的“勻稱值”.已知數(shù)列的“勻稱值”為，則該數(shù)列中的等于（）A． B． C． D．30．（2021·全國·高二專題練習）已知下列命題：①已知數(shù)列{an}，(n∈N*)，那么是這個數(shù)列的第10項，且最大項為第1項；②數(shù)列，－，2，－，…，的一個通項公式是an＝(－1)n＋1；③已知數(shù)列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，則a17＝29；④已知an＋1＝an＋3，則數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．其中命題正確的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1二、多選題31．（2021·江蘇·高二課時練習）下列四個選項中，不正確的是（）A．數(shù)列，的一個通項公式是B．數(shù)列的圖象是一群孤立的點C．數(shù)列1，，1，，與數(shù)列，1，，1，是同一數(shù)列D．數(shù)列，，是遞增數(shù)列32．（2021·全國·高二課時練習）意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前n項和，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．33．（2021·全國·高二專題練習）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.在現(xiàn)代物理?準晶體結構，化學等領域，斐波那契數(shù)列都有直接的應用.則下列結論成立的是（）A． B．C． D．34．（2021·江蘇·高二課時練習）已知數(shù)列滿足，下列命題正確的有（）A．當時，數(shù)列為遞減數(shù)列B．當時，數(shù)列一定有最大項C．當時，數(shù)列為遞減數(shù)列D．當為正整數(shù)時，數(shù)列必有兩項相等的最大項三、填空題35．（2021·安徽·六安一中高二期中）已知在數(shù)列中，，，，則________．36．（2021·廣西·崇左高中高二月考）已知數(shù)列的前項和為，且，則__________．37．（2021·全國·高二課時練習）已知數(shù)列滿足若，則________.38．（2021·全國·高二）如圖，根據(jù)下列圖形及相應圖形中頂點的個數(shù)，找出其中的一種規(guī)律，寫出第n個圖形中共有___________個頂點.四、解答題39．（2021·全國·高二課時練習）在數(shù)列中，．（1）求證：數(shù)列先遞增后遞減；（2）求數(shù)列的最大項．40．（2021·全國·高二課時練習）根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前4項，并歸納猜想它的通項公式．（1）；（2）；（3）．41．（2021·全國·高二單元測試）在數(shù)列中，，點在函數(shù)的圖象上.（1）求，，的值；（2）猜想數(shù)列的一個通項公式.42．（2021·全國·高二單元測試）已知數(shù)列的通項公式為.（1）求這個數(shù)列的第10項；（2）是不是該數(shù)列中的項？為什么？（3）在區(qū)間內是否有數(shù)列中的項？若有，求出有幾項；若沒有，請說明理由.【答案詳解】1．A【詳解】數(shù)列的項數(shù)可以是有限的，也可以是無限的．數(shù)列作為一個函數(shù)，它的定義域是正整數(shù)集或正整數(shù)集的有限子集，數(shù)列通項的表達式可以不唯一，例如，數(shù)列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通項可以是，也可以是．故①②正確，③④錯誤．故選：A．2．D【詳解】A由數(shù)列的概念可知數(shù)列1，3，5，7與7，5，3，1是不同的數(shù)列，故A錯誤；B因為首項是0，所以不能表示為{n}，故B錯誤；C根據(jù)常數(shù)列的概念可知數(shù)列0，1，0，1，…不是常數(shù)列，故C錯誤；D由數(shù)列的通項an＝知，an＋1－an＝－＝>0，即數(shù)列{}是遞增數(shù)列，故D正確；故選：D．3．C【詳解】①是錯誤的，數(shù)列各項順序不同，即表示不同的數(shù)列；②是錯誤的，數(shù)列{an}表達數(shù)列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而數(shù)列{a2n－1}表達數(shù)列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一數(shù)列；③是正確的，數(shù)列－1，1，－1，1，…的通項公式可以是an＝(－1)n，an＝cosnπ等；④是錯誤的，顯然當n＝5時，a5＝7，不是數(shù)列中的項．故選：C.4．D【詳解】由題設，數(shù)列的通項公式為，∴當n＝6時，該項為.故選：D.5．D解：對A.，可能是數(shù)列3，5，9，…的通項公式；對B.，可能是數(shù)列3，5，9，…的通項公式；對C.，可能是數(shù)列3，5，9，…的通項公式；對D.，不可能是數(shù)列3，5，9，…的通項公式；故選：D.6．B【詳解】.故選：B.7．D解：，因為，且，所以此數(shù)列最大項為.故選：D.8．C【詳解】由，所以當且時，單調遞減；當且時，單調遞減，結合函數(shù)的圖象，如圖所示可得當時，取得最大值，即，當時，取得最大值，即.故選：C.9．A解：，因為，且，所以數(shù)值最大的項為第5項．故選：A．10．C解：因為，且，，所以，，故選：C11．B【詳解】因為，所以，因為，所以數(shù)列的項依次為2，1，1，0，1，1，0，…，所以從第2項起，3項一個循環(huán)，所以的前100項的和為，故選：B．12．B【詳解】因為數(shù)列中，，，，所以，所以.故選：B13．B【詳解】設數(shù)列1，3，6，10，15，…為，所以，，所以.故選：B.14．A【詳解】由，且則，，所以，即數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列所以故選：A15．D【詳解】由題意，數(shù)列滿足，所以，所以．故選：D．16．C【詳解】∵，當時，，此時，綜上，數(shù)列的通項公式為.∴，記，則在與上都是增函數(shù)，∴數(shù)列的最小項是第6項，值為.故選：C17．C【詳解】時，,時，，所以，而，所以數(shù)列從第二項起是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以.故選：C.18．D【詳解】當時，則有；當時，由，①可得，②①②可得，所以，，滿足.故對任意的，.故選：D.19．C解：A，B中沒有告訴某一項的值，無法遞推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝6，不合題意．只有選項C符合題意.故選：C20．A【詳解】an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是遞增數(shù)列．故選：A.21．D對于①：當時，對應的項分別為：，，，，，，故①正確；對于②：當時，對應的項分別為：，，，，，，故②正確；對于③：當時，對應的項分別為：，，，，，，故③正確；所以①②③的通項公式都符合題意，故選：D.22．C【詳解】因為，，且，，所以；；；；；；同理遞推可得：；；；；；；；；；；；.所以=2.故選：C23．D【詳解】當時，；當時，；當時，；當時，；…，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，，.故選：D.24．C【詳解】因為且，則.故選：C.25．B解：令函數(shù)，由對勾函數(shù)的性質得函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，是單調遞減數(shù)列，當時，是單調遞增數(shù)列，所以所以故選：B26．B【詳解】由題意可得，所以，，…，，上式累加可得，又，所以.故選：B.27．D【詳解】根據(jù)數(shù)列可得，分母3，5，7，9，…滿足，分子2，8，26，80，…滿足，又數(shù)列的奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以可得.故選：D.28．C【詳解】由題意得即解得故選：C29．D【詳解】解：，數(shù)列的“勻稱值”為，，①時，，②①②，得，，，當時，滿足上式，，．故選：D30．A【詳解】①an＝＝?n＝10，易知最大項為第1項，故①正確；對于②，聯(lián)想數(shù)列，，，，…，則an＝(－1)n＋1·，故②正確；對于③，an＝kn－5，且a8＝11?k＝2?an＝2n－5?a17＝29，故③正確；對于④，由an＋1－an＝3>0，易知④正確．故選：A31．ACD【詳解】對于A，當通項公式為時，，不符合題意，故選項A錯誤；對于B，由數(shù)列的通項公式以及可知，數(shù)列的圖象是一群孤立的點，故選項B正確；對于C，由于兩個數(shù)列中的數(shù)排列的次序不同，因此不是同一數(shù)列，故選項C錯誤；對于D，數(shù)列，，是遞減數(shù)列，故選項D錯誤．故選：ACD．32．ABCD【詳解】對于A：寫出數(shù)列的前6項為1，1，2，3，5，8，故A正確.對于B：，故B正確.對于C：由，，，…，，可得，故C正確.對于D：斐波那契