3.4函數(shù)的應(yīng)用（一） 講義（知識點+考點+練習(xí)）-2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第一冊

函數(shù)的應(yīng)用（一）一、一次函數(shù)模型的應(yīng)用【例1】為了發(fā)展電信事業(yè)，方便用戶，電信公司對移動電話采用不同的收費方式，其中所使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內(nèi)每月(30天)的通話時間x(分)與通話費用y(元)的關(guān)系如圖所示．(1)分別求出通話費用y1，y2與通話時間x之間的函數(shù)解析式；(2)請幫助用戶計算在一個月內(nèi)使用哪種卡便宜．二、二次函數(shù)模型的應(yīng)用【例2】某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，假設(shè)每箱售價不得低于50元且不得高于55元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱．(1)求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)每箱蘋果的售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？三、分段函數(shù)模型的應(yīng)用【例3】中國“一帶一路”倡議提出后，某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的機遇，決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型電子設(shè)備，生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為500萬元，每生產(chǎn)x臺需要另投入成本C(x)(萬元)．當(dāng)年產(chǎn)量不足80臺時，C(x)＝eq\f(1,2)x2＋40x，當(dāng)年產(chǎn)量不小于80臺時，C(x)＝101x＋eq\f(8100,x)－2180，若每臺設(shè)備售價為100萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完．(1)求年利潤y(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(臺)的函數(shù)關(guān)系式；(2)年潤．

課后練習(xí)（2019高一上·安徽期中）已知函數(shù)f(x)={(a?1)x,x≤1?logA.

(0,1]

B.

[12,1)

C.

（2020高一上·清遠期末）已知函數(shù)f(x)={2x,x<0,A.

?1C.

123.（2020高一上·泉州期中）已知函數(shù)f(x)={3A.

-1或?5

B.

1

C.

-5

D.

1或-54.已知函數(shù)fx=eA.

?1e

B.

?e

C.

e

D.

1（2019高一上·哈爾濱月考）已知函數(shù)f(x)={x（2021·成都模擬）已知函數(shù)f(x)={sinx,x≥0f(?x),x<0（2019高一上·湖州期中）定義在R上的函數(shù)f(x)={log2(x（2020高一上·太原月考）已知函數(shù)f(x)={x2,x≤1（2019高一上·東方月考）設(shè)函數(shù)f(x)={（1）若f(a)=1,求a的值（2）解不等式：a2x（2020高一上·湖北期中）某公司為了變廢為寶，節(jié)約資源，新上了一個從生活垃圾中提煉生物柴油的項目，經(jīng)測算該項目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為：y={1（1）當(dāng)x∈[200,300]時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤：如果不獲利，則月處理量x為多少噸時可使虧損量最??？（2）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？（2021高一下·衢州月考）據(jù)統(tǒng)計，某產(chǎn)品在過去一段時間內(nèi)的日銷售量(單位：千克)與日銷售單價(單位：元)均為時間t(天)的函數(shù)，日銷售量g(t)=?t+m(m為常數(shù))，且t=10時，日銷售量為26千克，日銷售單價滿足函數(shù)（1）寫出該商品日銷售額y關(guān)于時間t的函數(shù)(日銷售額=日銷售量×銷售單價)；（2）求這段時間內(nèi)該商品日銷售額的最大值.（2020高一上·佛山期末）已知函數(shù)f(x)={ax+1,x≤0（1）當(dāng)a=?2時，在給定的平面直角坐標系中作出函數(shù)（2）若f(x0)=2精講答案【例1】解(1)由圖象可設(shè)y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把點B(30,35)，C(30,15)分別代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝eq\f(1,6)，k2＝eq\f(1,2).∴y1＝eq\f(1,6)x＋30(x≥0)，y2＝eq\f(1,2)x(x≥0)．(2)令y1＝y(tǒng)2，即eq\f(1,6)x＋30＝eq\f(1,2)x，則x＝90.當(dāng)x＝90時，y1＝y(tǒng)2，兩種卡收費一致；當(dāng)x<90時，y1>y2，使用便民卡便宜；當(dāng)x>90時，y1<y2，使用如意卡便宜．【例2】解(1)根據(jù)題意，得y＝90－3(x－50)，化簡，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因為該批發(fā)商平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×每箱銷售利潤．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因為w＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200，所以當(dāng)x<60時，w隨x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以當(dāng)x＝55時，w有最大值，最大值為1125.所以當(dāng)每箱蘋果的售價為55元時，可以獲得最大利潤，且最大利潤為1125元．【例3】解(1)當(dāng)0<x<80時，y＝100x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋40x))－500＝－eq\f(1,2)x2＋60x－500，當(dāng)x≥80時，y＝100x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(101x＋\f(8100,x)－2180))－500＝1680－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8100,x)))，于是y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋60x－500，0<x<80，,1680－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8100,x)))，x≥80.))(2)由(1)可知當(dāng)0<x<80時，y＝－eq\f(1,2)(x－60)2＋1300，當(dāng)x＝60時，y取得最大值為1300，當(dāng)x≥80時，y＝1680－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8100,x)))≤1680－2eq\r(x·\f(8100,x))＝1500，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(8100,x)即x＝90時，y取最大值為1500，綜上所述，當(dāng)年產(chǎn)量為90臺時，該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為1500萬元．由圖可知f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(?∞,0]

（2）解：依題意，當(dāng)x0≤0時，ax若a≥0，方程無解；若a<0，得x0當(dāng)x0>0時，|log2x|=2，即log綜上所述，當(dāng)a≥0時，x0=4或當(dāng)a<0時，x0=1a或【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)的圖象，分段函數(shù)的應(yīng)用【解析】(1)直接利用分段函數(shù)的解析式作出圖象即可，根據(jù)圖象即可寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)對a的值進行分類討論，利用分段函數(shù)的解析式分別求解即可.

練習(xí)答案1.【答案】B【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用【解析】由題意有{a<1a?故答案為：B【分析】因為分段函數(shù)f(x)在R上的減函數(shù)，則分段函數(shù)f(x)的每一段都為減函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，求解即可.2.【答案】C【考點】函數(shù)的值，分段函數(shù)的應(yīng)用【解析】由f(x)={2可得f(1)=3?所以f(f(1))=f(?故答案為：C【分析】根據(jù)題意選擇合適的函數(shù)解析式代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。3.【答案】D【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用【解析】解：當(dāng)x≥?1時，3?當(dāng)x<?1時，x+6=1，得綜上，x=1或x=?故答案為：D【分析】分x≥?1和4.【答案】D【考點】函數(shù)的值，分段函數(shù)的應(yīng)用【解析】.故選D.5.【答案】7【考點】函數(shù)的值，分段函數(shù)的應(yīng)用【解析】由題意知f(1)=f(1+3)=f(4)=42+1=17所以f(1)故答案為：7【分析】由已知分段函數(shù)的解析式，分別代入計算即可求出f（1）﹣f（3）的值.6.【答案】12【考點】函數(shù)的值，分段函數(shù)的應(yīng)用【解析】因為?π所以f(?故答案為：1【分析】根據(jù)題意由分段函數(shù)的解析式選擇合適的解析式代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。7.【答案】1【考點】函數(shù)的值，分段函數(shù)的應(yīng)用【解析】∵函數(shù)f(x)={log2(x故答案為：1【分析】由題意得f(1)=f(2)=f(3)，把x=3代入求值即可.8.【答案】4【考點】函數(shù)的值，分段函數(shù)的應(yīng)用【解析】解：因為函數(shù)f(x)={x所以f(?故答案為：4?！痉治觥坷梅侄魏瘮?shù)的解析式求出函數(shù)值。9.【答案】（1）解：∵f(x)={（當(dāng)a<0時，(12)當(dāng)a≥0時，a=1解得a=1綜上可得a=1或a=?3

（2）解：①當(dāng)a>1時，由y=a∴2x?7>4x?1解得②當(dāng)0<a<1時，由y=a∴2x?7<4x?1解得【考點】函數(shù)的值，指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，分段函數(shù)的應(yīng)用【解析】（1）對a分兩種情況討論，分別代入解方程即可；（2）對a分兩種情況討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式。10.【答案】（1）當(dāng)x∈[200,300]時，該項目獲利為S，則S=200x?當(dāng)x∈[200,300]時，S<0，因此，該項目不會獲利：當(dāng)x=300時，S取得最大值-5000，故當(dāng)月處理量為300噸時可使虧損最小，為5000元；（2）由題意知，生活垃圾每噸的平均處理成本為：yx當(dāng)x∈[120,144)時，yx=13(x當(dāng)x∈[144,500)時，yx當(dāng)且僅當(dāng)12x=80000x時等號成立，即∵200<240∴每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低.【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用【解析】(1)由已知條件即可確定當(dāng)xE[200，300]時，該項目獲利函數(shù)，再利用配方法，即可求得結(jié)論；

(2)根據(jù)題意首先確定二氧化碳的每噸的平均處理成本，由此即可求出函數(shù)的最值，由此即可求得結(jié)論.11.【答案】（1）解：由題意可知g(10)=?10+m=26，解得∴g(t)=?所以y={(25

（2）解：當(dāng)1<t<9時，y=25[37?當(dāng)且僅當(dāng)36t=t，即t=6時，當(dāng)9≤t≤15時，y=?t2+23t+468，當(dāng)t=11或因為625>600，所以t=6時，ymax答：t=6時銷售額最大，最大日銷售額為625元.【考點】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，分段函數(shù)的應(yīng)用【解析】(1)根據(jù)題意結(jié)合商品日銷售額的關(guān)系式即可得出函數(shù)的解析式。

(2)由二次函數(shù)以及基本不等式即可求出函數(shù)的最值，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值。12.【答案】（1）解：當(dāng)