3.3冪函數(shù) 講義（知識點+考點+練習(xí)）-2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第一冊

3.3冪函數(shù)一、冪函數(shù)（powerfunction）：函數(shù)（是自變量，是常數(shù)）二、冪函數(shù)的性質(zhì)對于冪函數(shù)，我們只研究時的圖象與性質(zhì).和共同性質(zhì)：圖像都過點（1,1）不同性質(zhì)：α為奇數(shù)時冪函數(shù)為奇函數(shù)；α為偶數(shù)時冪函數(shù)為偶函數(shù)。

課后練習(xí)（2021·安陽模擬）已知冪函數(shù)f(x)=xα滿足2f(2)=f(16)，若a=f(log42)，b=f(ln2)，c=f(A.

a>c>b

B.

a>b>c

C.

b>a>c

D.

b>c>a（2019高一上·盤山期中）已知函數(shù)f(x)=(m2?A.

3

B.

2

C.

?1D.

?若冪函數(shù)y=mA.

m=?2

B.

C.

m=?2或m=（2017高一上·烏魯木齊期中）冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(?2,?18A.

13

B.

?13C.

3

D.

?3（2020高一上·寶安期末）冪函數(shù)f(x)=xm2?5m+4(m∈Z)為偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，則m=（2020高一上·江西月考）已知冪函數(shù)y=xa，當x=2時，y=8，那么a的值為（2018高二下·無錫月考）已知冪函數(shù)f(x)的圖像過點(12，22)，則f(4)＝（2020高一上·上海月考）冪函數(shù)f(x)=xa的圖像經(jīng)過點(2,12)（2020高一上·晉州月考）已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點A(4（1）求f(x)的解析式；（2）若f(3a?（2019高一上·海林期中）已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(2求（1）f(x)解析式；（2）f(3)的值.（2020高一上·清遠期末）已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點P(5,25).（1）求f(x)的解析式；（2）用定義法證明函數(shù)g(x)=f(x)+4x在區(qū)間

練習(xí)答案1.【答案】C【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域【解析】由2f(2)=f(16)可得2?2α=2∴α=13，即f(x)=x13而由換底公式可得log42=log22∵1<log2e<2，∴l(xiāng)og又∵15<12，∴5?12<log故答案為：C.【分析】根據(jù)題意求出冪函數(shù)f(x)的解析式，判斷f(x)是定義域上的單調(diào)增函數(shù)，再比較出a、b、c的大小，即可得出結(jié)論.2.【答案】B【考點】偶函數(shù)，冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域【解析】由題意，函數(shù)f(x)=(m2?m?解得m=?1或當m=?1時，函數(shù)f(x)=x?1當m=2時，函數(shù)f(x)=x2，此時f(?綜上，可得m=2.故答案為：B.【分析】由函數(shù)f(x)=(m2?m?3.【答案】A【考點】冪函數(shù)圖象及其與指數(shù)的關(guān)系，冪函數(shù)的性質(zhì)【解析】因為冪函數(shù)圖像不過原點，故

當時，則，顯然過原點，不符合題意舍去。

當，圖像不過原點,且關(guān)于原點對稱,故符合題意，選A.

【分析】解決該試題的關(guān)鍵是準確運用冪函數(shù)的定義，保證x的系數(shù)為1，得到m的值，進而分類討論得到參數(shù)m的值。4.【答案】A【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域【解析】設(shè)冪函數(shù)y=∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(∴?∴a=∴冪函數(shù)的解析式為y=∵f(x)=27∴x∴x=故答案為：A【分析】根據(jù)冪函數(shù)上的一點可得出f(x)的具體公式，再代入函數(shù)值，就可解出自變量。5.【答案】m=2或3；4【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的值，冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域，冪函數(shù)的圖象【解析】∵f(x)區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，∴m2∵m∈Z?m=2當m=2或3時，都有m2∴f(x)=x?2，∴故答案為：m=2或3;4.【分析】根據(jù)題意由冪函數(shù)的解析式以及函數(shù)的單調(diào)性，即可求出關(guān)于m的不等式求解出m的取值范圍，由此計算出m的取值，代入驗證由此得到函數(shù)的解析式，再把數(shù)值代入計算出函數(shù)的值即可。6.【答案】3【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域【解析】因為冪函數(shù)y=xa，當x=2時，y=8，所以8=2故答案為：3.

【分析】根據(jù)題意把數(shù)值代入冪函數(shù)的解析式計算出a的值即可。7.【答案】2【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域【解析】設(shè)冪函數(shù)y=f(x)=xa∵圖像過點(1∴(1【分析】采用待定系數(shù)法，設(shè)出冪函數(shù)的表達式，將點的坐標代入，即可求出冪函數(shù)的表達式，將x=4代入即可.8.【答案】13【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域【解析】冪函數(shù)f(x)=xa的圖像經(jīng)過點代入可得1解得a=所以冪函數(shù)解析式為f(x)=則f(3)=故答案為:13

【分析】根據(jù)冪函數(shù)所過的點，代入可求得冪函數(shù)解析式，即可求得f(3)9.【答案】（1）解：設(shè)f(x)=xa．因為f(x)的圖象經(jīng)過點A(4,2故f(x)=x12=x

因為f(3a?2)>f(故a的取值范圍為[6【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域，冪函數(shù)的圖象，冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用【解析】（1）利用冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點A(4,2)結(jié)合代入法，從而求出函數(shù)的解析式。10.【答案】（1）解：設(shè)冪函數(shù)y=f(x)=xn,因為該函數(shù)圖像經(jīng)過點(2,4),所以f(2)=2n=4,解得n=4,則函數(shù)解析式為【考點】函數(shù)解析式的求解及常用方法，函數(shù)的值，冪函數(shù)的圖象【解析】(1)設(shè)冪函數(shù)y=f(x)=xn,由函數(shù)過定點代入可求得參數(shù)n,進而求得函數(shù)解析式;(2)利用(1)中求的函數(shù)解析式,令x=3,即可求得11.【答案】（1）解：設(shè)f(x)=xα，則5α所以f(x)=x2

（2）證明：由（1）可得任取x1,xg(x=(x=(x因為2<x1<x2，所以x所以g(x1