3.2.3 函數(shù)的基本性質(zhì)（綜合拔高練）-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步練習(xí)和分類(lèi)專(zhuān)題教案（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2.3綜合拔高練考點(diǎn)1函數(shù)的概念與表示1.函數(shù)y=7+6x-2.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,則實(shí)數(shù)a=,b=.

考點(diǎn)2分段函數(shù)的應(yīng)用3.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿(mǎn)足f(x+1)=2f(x),且當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)=x(x-1).若對(duì)任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-89A.-∞,94 C.-∞,52 4.已知a∈R,函數(shù)f(x)=x2+2x考點(diǎn)3函數(shù)基本性質(zhì)的綜合運(yùn)用5.已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù),滿(mǎn)足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50 B.0 C.2 D.506.已知a∈R,函數(shù)f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,則實(shí)數(shù)a的最大值是7.已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)是單射(即如果x,y∈(0,+∞),且x≠y,都有f(x)≠f(y)),對(duì)任意的x>0,有xf(x)>1,f(xf(x)-1)=2,則f(2)=.

應(yīng)用實(shí)踐1.設(shè)f(x)=x,0<xA.8 B.6C.4 D.22.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù),A(0,1),B(2,-1)是其圖象上的兩點(diǎn),則不等式|f(x-1)|>1的解集為()A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)3.已知函數(shù)f(x)=(xA.(-∞,-2)∪-12,+∞C.(-∞,-2)∪-12,1 4.(多選)下列關(guān)于函數(shù)f(x)=x2-x4|A.f(x)的定義域?yàn)閇-1,0)∪(0,1]B.f(x)的值域?yàn)?-1,1)C.f(x)在定義域上是增函數(shù)D.f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)5.(多選)下列結(jié)論正確的有()A.函數(shù)f(x)=(x-1)0+x+1B.函數(shù)y=f(x)(x∈[-1,1])的圖象與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)C.“k>1”是“函數(shù)f(x)=(k-1)x+k(k∈R)為增函數(shù)”的充要條件D.若奇函數(shù)y=f(x)在x=0處有定義,則f(0)=06.(多選)我們把定義域?yàn)閇0,+∞)且同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f(x)稱(chēng)為“Ω函數(shù)”:(1)對(duì)任意的x∈[0,+∞),總有f(x)≥0;(2)若x≥0,y≥0,則有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立,下列判斷正確的是()A.若f(x)為“Ω函數(shù)”,則f(0)=0B.若f(x)為“Ω函數(shù)”,則f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù)C.函數(shù)g(x)=0,xD.函數(shù)g(x)=x2+x在[0,+∞)上是“Ω函數(shù)”7.已知函數(shù)f(x)=-x248.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+10(x∈[m,n])的值域?yàn)閇3m,3n],則2m+n=.

9.下列說(shuō)法正確的是.(填序號(hào))

(1)函數(shù)f(x)=-2x(2)函數(shù)y=2x(x∈N)的圖象是一條直線(xiàn);(3)已知函數(shù)f(x)=x2(4)若函數(shù)y=x2+(2a-1)x+1的減區(qū)間是(-∞,2],則a=-32(5)若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足R上的任意實(shí)數(shù)x1,x2(x1≠x2),(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,則f(x)在R上單調(diào)遞減.10.已知函數(shù)f(x+2)=3x+1x+2,函數(shù)g(x)=1-2x+x(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并寫(xiě)出其定義域;(2)求函數(shù)g(x)的值域.11.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),且當(dāng)x>0時(shí),有f(x)>0.(1)求證:f(x)在R上為增函數(shù);(2)求證:f(x)是R上的奇函數(shù);(3)若f(1)=1,解不等式f(x2)-f(x+2)>4.遷移創(chuàng)新12.經(jīng)過(guò)函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí),我們知道“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱(chēng)圖形”的充要條件是“y=f(x)為偶函數(shù)”.(1)若f(x)為偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=2x-1,求f(x)的解析式,并求不等式f(x)>f(2x-1)的解集;(2)某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組針對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行探究,得到一個(gè)真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a成軸對(duì)稱(chēng)圖形”的充要條件是“y=f(x+a)為偶函數(shù)”.若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng),且當(dāng)x≥1時(shí),g(x)=x2-1x①求g(x)的解析式;②求不等式g(x)>g(3x-1)的解集.答案全解全析五年高考練1.答案[-1,7]解析由題意可得7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7,故該函數(shù)的定義域是[-1,7].2.答案-2;1解析f(x)-f(a)=x3-a3+3(x2-a2)=(x-a)[x2+ax+a2+3(x+a)]=(x-a)[x2+(a+3)·x+a2+3a]=(x-a)(x-a)(x-b),則x2+(a+3)x+a2+3a=x2-(a+b)x+ab,即a+3=?(a3.B由題可知,當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)=x(x-1)=x2-x,則當(dāng)x=12時(shí),f(x)min=-14,且當(dāng)x=13時(shí),f(x)=-2∴若x∈(1,2],則當(dāng)x=32時(shí),f(x)min=-12,且x=43同理,若x∈(2,3],則當(dāng)x=52時(shí),f(x)min=-1,且x=73時(shí),f(x)=-8∴函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.∵f(x)≥-89對(duì)任意x∈(-∞,m]恒成立,∴當(dāng)x∈(-∞,m]時(shí),f(x)min≥-89,由圖可知m≤4.答案1解析當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+2x-2a,此時(shí)只需-x2+2x-2a≤x恒成立,即2a≥-x2+x恒成立,因?yàn)閤>0時(shí),y=-x2+x的最大值為14所以a≥18當(dāng)-3≤x≤0時(shí),f(x)=x2+2x+a-2,此時(shí)只需x2+2x+a-2≤-x恒成立,即a≤-x2-3x+2恒成立,因?yàn)?3≤x≤0時(shí),y=-x2-3x+2的最小值為2,所以a≤2.故a的取值范圍為185.C因?yàn)閒(x)是定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x)①,且f(0)=0.又因?yàn)閒(1-x)=f(1+x),所以f(-x)=f(2+x)②.由①②可得f(x+2)=-f(x),則有f(x+4)=f(x).由f(1)=2,得f(-1)=-2,于是有f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,f(6)=f(2)=0,……,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2+0=2.6.答案4解析|f(t+2)-f(t)|=|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|=|a(6t2+12t+8)-2|.令m=6t2+12t+8=6(t+1)2+2,則m∈[2,+∞),設(shè)g(m)=f(t+2)-f(t)=am-2,|am-2|≤23當(dāng)a=0時(shí),g(m)=-2,不符合題意;當(dāng)a>0時(shí),g(m)∈[2a-2,+∞),∵|g(m)|≤23有解,∴2a-2≤23,得0<a≤當(dāng)a<0時(shí),g(m)∈(-∞,2a-2],∵|g(m)|≤23有解,∴2a-2≥-23,得a≥綜上可知,0<a≤43,即a的最大值為47.答案1解析由函數(shù)f(x)是單射,且f(xf(x)-1)=2,得xf(x)-1是常數(shù),令xf(x)-1=t(x>0),則f(x)=t+1因此tf(t)-1=t,所以f(tf(t)-1)=2,由f(t)=2,得f(2t-1)=2②,由①②及函數(shù)f(x)是單射得t=2t-1,解得t=1,所以f(x)=2x三年模擬練應(yīng)用實(shí)踐1.C由題意知,當(dāng)a∈(0,1)時(shí),若f(a)=f(a+1),則a=2a,解得a=14,則f1當(dāng)a∈[1,+∞)時(shí),若f(a)=f(a+1),則2(a-1)=2a,顯然無(wú)解.綜上可得f1a2.D由題意可知f(0)=1,f(2)=-1,又知f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù),所以f(x)在R上單調(diào)遞減.由|f(x-1)|>1得f(x-1)>1或f(x-1)<-1,即f(x-1)>f(0)或f(x-1)<f(2),所以x-1<0或x-1>2,解得x<1或x>3,故選D.3.C當(dāng)a≤-1時(shí),由f(a)=(a+1)2>1,解得a>0或a<-2,故a<-2;當(dāng)-1<a<1時(shí),由f(a)=2a+2>1,解得a>-12,故-1當(dāng)a≥1時(shí),由f(a)=1a綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-2)∪-14.ABD由x2-x4≥0,|x-1|-1≠0,得-1≤x≤1且x≠0,此時(shí)f(x)=x2-x4-(易錯(cuò)警示研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí),應(yīng)先求定義域,再化簡(jiǎn)解析式.不求定義域就化簡(jiǎn)解析式可能會(huì)導(dǎo)致定義域發(fā)生變化,從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤;化簡(jiǎn)解析式有一定的必要性,若不化簡(jiǎn)解析式,可能會(huì)反映不出函數(shù)的本質(zhì),從而導(dǎo)致問(wèn)題不能解決.5.BCD選項(xiàng)A中,由x-1≠0,6.AD對(duì)于選項(xiàng)A,由條件(1)知,f(x)≥0,則f(0)≥0,由條件(2)知,f(0+0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,所以f(0)=0,A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)f(x)=0(x∈[0,+∞))時(shí),符合條件(1),(2),f(x)是“Ω函數(shù)”,但f(x)在[0,+∞)上不是增函數(shù),B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,取x=2-2,y=2+2,則g(2-2)=1,g(2+2)=1,g((2-2)+(2+2))=g(4)=0,不滿(mǎn)足g(x+y)≥g(x)+g(y),所以g(x)不是“Ω函數(shù)”,C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,g(x)=x2+x在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(0)=0,滿(mǎn)足條件(1),又g(x+y)-g(x)-g(y)=[(x+y)2+(x+y)]-(x2+x)-(y2+y)=2xy,當(dāng)x≥0,y≥0時(shí),2xy≥0,此時(shí)g(x+y)≥g(x)+g(y),滿(mǎn)足條件(2),D正確.故選AD.7.答案(-2,0)∪(0,2)解析因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),h(x)=f(x),所以當(dāng)x>0時(shí),h(x)=-x24,0<8.答案9解析∵f(x)=x2-4x+10=(x-2)2+6≥6,∴3m≥6,∴m≥2,又函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=2,∴函數(shù)f(x)在[m,n]上單調(diào)遞增.∴f(m)=3m,f(n)=3n,即m2-4m+10=3m,n2-4n+10=3n,解得m=2或m=5,n=2或n=5,又m<n,∴m=2,n=5,∴2m+n=4+5=9,故答案為9.9.答案(4)(5)解析函數(shù)f(x)=-2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故(1)錯(cuò)誤;函數(shù)y=2x(x∈N)的圖象是間斷的點(diǎn),故(2)錯(cuò)誤;函數(shù)f(x)=x2+1(x≤0),-2x(x>0),若f(x)=10,則x的值為-3,故(3)錯(cuò)誤;若函數(shù)y=x2+(2a-1)x+1的減區(qū)間是(-∞,2],則-2a-12=2,即a=-32,故(4)正確;若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足R上的任意實(shí)數(shù)x1,x2(x1≠x2),(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,則當(dāng)x故答案為(4)(5).10.解析(1)令t=x+2,t>2,則x=(t-2)2,∴f(t)=3(t-2)2+1(∴f(x)=3(x-2)2+1((2)令t=x+2,t≥0,則x=t2∴y=1-2(t2-2)+t=-2t2+t+5,t≥0,當(dāng)t=14時(shí),y取得最大值,最大值為418,所以原函數(shù)的值域?yàn)?1.解析(1)證明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,則f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1),∵對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),∴f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1),∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,且x2-x1>0,∴f(x2-x1)>0,∴f(x2)>f(x1),即y=f(x)在R上為增函數(shù).(2)證明:∵對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),∴令a=b=0,則f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),∴f(0)=0,令a=x,b=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),即函數(shù)y=f(x)為R上的奇函數(shù).(3)若f(1)=1,則f(2)=2f(1)=2,f(4)=2f(2)=4,∴不等式f(x2)-f(x+2)>4等價(jià)于f(x2)-f(x+2)>f(4),由(2)知f(x)為奇函數(shù),∴-f(x+2)=f(-x-2),∴f(x2)-f(x+2)=f(x2)+f(-x-2),∴f(x2-x-2)>f(4),又由(1)知,f(x)在R上為增函數(shù),∴x2-x-2>4,即x2-x-6>0,∴x>3或x<-2.∴原不等式的解集為(-∞,-2)∪(3,+∞).遷移創(chuàng)新12.解析(1)設(shè)x>0,則-x<0,則f(-x)=2·(-x)-1=-2x-1,又f(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(-x)=-2x-1.所以f(x)=2因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),且f(x)在[0,+∞)上是減函數(shù),所以f(x)>f(2x-1)等價(jià)于|x|<|2x-1|,即x2<(2x-1)2,解得x<13所以不等式的解集是xx(2)①因?yàn)間(x)的圖