3.2.1 函數(shù)基本性質(zhì)-單調(diào)性課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)（靳軍）-高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊(cè)小單元教學(xué)+專家指導(dǎo)（視頻+教案）

六、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性（一）教學(xué)內(nèi)容函數(shù)的單調(diào)性的定義、證明與判斷。（二）教學(xué)目標(biāo)1.通過具體實(shí)例，經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性概念的抽象過程，能準(zhǔn)確說出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增、單調(diào)遞減以及增函數(shù)、減函數(shù)的定義；舉例說明“任意”“都有”等關(guān)鍵詞的含義，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，能總結(jié)歸納出證明的基本步驟和方法，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).（三）教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的定義及其應(yīng)用。2.教學(xué)難點(diǎn)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。（四）教學(xué)過程設(shè)計(jì)引導(dǎo)語在上一個(gè)單元，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義和表示法，知道函數(shù)（x∈A）描述了客觀世界中自變量與函數(shù)值之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中各種各樣的變化關(guān)系的重要模型，因此，研究清楚函數(shù)的性質(zhì)就能掌握事物變化的規(guī)律，進(jìn)而準(zhǔn)確地“預(yù)測未來”.問題1閱讀課本第76頁節(jié)引言的內(nèi)容（包括圖3.2-1），回答下列問題：為什么要研究函數(shù)的性質(zhì)？（2）什么是函數(shù)的性質(zhì)？你認(rèn)為可以研究函數(shù)的哪些性質(zhì)？（3）用什么方法發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)？師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀教材，思考回答問題.（1）通過研究函數(shù)的性質(zhì)掌握客觀世界中事物的變化規(guī)律。（2）變化中的不變性，變化中的規(guī)律性就是函數(shù)的性質(zhì).隨著自變量的增大，函數(shù)值是增大還是減??；有沒有最大值、最小值；函數(shù)圖象的對(duì)稱性等.（3）函數(shù)圖象是直觀形象的，可以通過觀察函數(shù)圖象特征，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì).設(shè)計(jì)意圖：從整體上初步了解函數(shù)的性質(zhì)以及它的研究方法，以指導(dǎo)接下來的研究過程.問題1：觀察下面幾個(gè)函數(shù)的圖象，你能指出這些函數(shù)的定義域和值域嗎？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生通過觀察函數(shù)圖象，讓學(xué)生指出函數(shù)的定義域和值域，但在具體的端點(diǎn)上面，學(xué)生會(huì)有不同答案.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過觀察函數(shù)圖象，在定義域和值域上的一些不同看法，也可以讓學(xué)生體會(huì)形的直觀和表達(dá)的不嚴(yán)謹(jǐn)，為引入單調(diào)性的符號(hào)表示做好鋪墊.同時(shí)讓學(xué)生關(guān)注函數(shù)的定義域，為單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系做好準(zhǔn)備.追問：你能發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的一些變化規(guī)律，也就是函數(shù)的性質(zhì)嗎？師生活動(dòng)：結(jié)合初中已學(xué)知識(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的上升下降趨勢、對(duì)稱性、最高點(diǎn)最低點(diǎn)等特征，向?qū)W生指明分別對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，其中奇偶性和最值會(huì)在后面的課程中研究，本節(jié)課主要研究函數(shù)的單調(diào)性，也就是初中學(xué)習(xí)的函數(shù)值隨著自變量增大而增大（或減小）的性質(zhì).設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象變化的一些規(guī)律，直觀的獲得函數(shù)的基本性質(zhì)，讓學(xué)生了解單調(diào)性只是函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)方面，為學(xué)生后續(xù)研究其他性質(zhì)做一些準(zhǔn)備.問題2：你能結(jié)合函數(shù)f(x)=x師生活動(dòng)：學(xué)生描述時(shí)一般會(huì)說函數(shù)先下降后上升，可以提醒學(xué)生能不能更具體的說一下在什么范圍圖象下降和上升.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)=x2的圖象在x∈設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生可以觀察到單調(diào)區(qū)間是定義域子集這一事實(shí)，也會(huì)注意到在描述單調(diào)性時(shí)要注意到不同區(qū)間上的單調(diào)性不同.追問1：請(qǐng)同學(xué)們?cè)?，+∞取一對(duì)不同的自變量，代入解析式得到函數(shù)值，你能發(fā)現(xiàn)自變量的大小和函數(shù)值的大小之間的聯(lián)系嗎？師生活動(dòng)：讓每個(gè)同學(xué)都各自選取點(diǎn)，然后隨機(jī)提問幾個(gè)學(xué)生，書寫時(shí)可以按照2<3，f(2)<f(3)的形式書寫，并讓同桌之間相互交流，可以發(fā)現(xiàn)都有自變量小函數(shù)值小這一規(guī)律.教師展示GGB軟件上面，函數(shù)f(x)=x2的圖象在x∈0，+∞追問2：我們已經(jīng)找到很多對(duì)不同的自變量了，大家可以將0，師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)無法窮舉.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生意識(shí)到點(diǎn)的無窮多個(gè)，體會(huì)引入符號(hào)的必要性.追問3：那我們?nèi)绾尾拍鼙硎具@些一對(duì)對(duì)不同的自變量呢？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用符號(hào)來進(jìn)行表示，用下標(biāo)來進(jìn)行區(qū)分不同，引入x1設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自然的聯(lián)想到用符號(hào)來表示.追問4：那我們可以將“自變量小函數(shù)值小”用符號(hào)來進(jìn)行表示嗎？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)x1、x設(shè)計(jì)意圖：將自變量小函數(shù)值小轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言.追問5：在x∈0師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生引入全稱量詞?，?x設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步完善符號(hào)語言，表達(dá)出所有、任意、都等含義.問題3：函數(shù)f(x)，滿足?x1、x師生活動(dòng)：學(xué)生依據(jù)要求作出圖象，可以相互觀察不同學(xué)生作出的函數(shù)圖象，讓同學(xué)說出函數(shù)的單調(diào)性是否相同.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過作圖將符號(hào)表示圖象化，通過結(jié)果的一致性，進(jìn)一步體會(huì)符號(hào)表示的嚴(yán)謹(jǐn)性.單調(diào)遞增的概念：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I,如果?x1、x2∈D，當(dāng)特別的，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù).師生活動(dòng)：老師給出單調(diào)遞增的定義，并帶領(lǐng)學(xué)生理解定義中區(qū)間與定義域的關(guān)系、全稱量詞、符號(hào)表示等含義，體會(huì)如果改變或者刪除一些詞語后定義發(fā)生的改變.設(shè)計(jì)意圖：在前面學(xué)生已經(jīng)得到符號(hào)化表示的情況下，順理成章的給出了單調(diào)遞增的定義，然后通過帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)概念措辭，體會(huì)數(shù)學(xué)概念的精煉和嚴(yán)謹(jǐn).問題4：請(qǐng)同學(xué)們模仿單調(diào)遞增的定義，給出單調(diào)遞減的定義.師生活動(dòng)：老師可以提問同學(xué)作答，如果不完整可以請(qǐng)其他同學(xué)補(bǔ)充.不管學(xué)生作答是否完整，都可以多提問幾個(gè)同學(xué)，讓學(xué)生在一遍遍的提問中理解記憶.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生掌握單調(diào)遞增的標(biāo)志，就是可以模仿說出單調(diào)遞減的定義.單調(diào)遞減的概念：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I,如果?x1、x2∈D，特別的，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù).練習(xí)1：下列說法是否正確？請(qǐng)畫圖說明理由：（1）如果對(duì)于區(qū)間0,+∞上的任意x有f(x)>f(0)，則函數(shù)（2）對(duì)于區(qū)間上（a,b）的某3個(gè)自變量的值x1,x2,x3師生活動(dòng)：學(xué)生回答問題，可以提醒學(xué)生舉出反例.設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生在具體問題中，進(jìn)一步體會(huì)定義中“任意”二字的必要性．例1：根據(jù)定義，研究函數(shù)fx師生活動(dòng)：老師板書過程，并對(duì)步驟進(jìn)行解釋，并指出定義研究單調(diào)性的一般步驟，取值、作差、分解、判號(hào)、下結(jié)論.設(shè)計(jì)意圖：通過老師板書，讓學(xué)生學(xué)會(huì)定義研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，掌握單調(diào)性應(yīng)用，將理論與實(shí)踐相聯(lián)系.例2：用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)=1x在師生活動(dòng)：學(xué)生在證明時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)不進(jìn)行因式分解直接判號(hào)的情況，需要向?qū)W生指出這種方法的錯(cuò)誤原因是利用單調(diào)性證明單調(diào)性.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過模仿老師板書進(jìn)一步掌握證明單調(diào)性的一般步驟．追問：請(qǐng)說出函數(shù)f(x)=1師生活動(dòng)：學(xué)生可能會(huì)錯(cuò)誤的說出函數(shù)f(x)=1x在定義域上單調(diào)遞減，可以通過取特值向?qū)W生說明錯(cuò)誤原因，讓學(xué)生體會(huì)斷開的單調(diào)區(qū)間一般用逗號(hào)或者和字連接，f(x)=1x在?∞，0，0，設(shè)計(jì)意圖：防止學(xué)生在細(xì)節(jié)上出錯(cuò)，也進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)定義中任意的含義．練習(xí)2：根據(jù)定義證明函數(shù)fx=x+1x在區(qū)間師生活動(dòng)：學(xué)生模仿例題進(jìn)行證明，老師注意觀察學(xué)生證明過程，搜集學(xué)生易錯(cuò)的點(diǎn)，比如分解不徹底等.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步掌握定義證明單調(diào)性的方法步驟，注意因式分解要徹底，體會(huì)何為分解徹底.問題5：請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)一下，本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)，掌握了哪些方法？師生活動(dòng)：老師可以提問同學(xué)作答，本節(jié)課學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的概念，以及用符號(hào)化來表達(dá)數(shù)學(xué)問題，掌握了用單調(diào)性定義來研究和證明函數(shù)單調(diào)性的方法