4.4 數(shù)學(xué)歸納法-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)《考點•題型 •技巧》精講與精練高分突破系列（人教A版2019選擇性必修第二冊）

4.4數(shù)學(xué)歸納法【考點梳理】考點一數(shù)學(xué)歸納法1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n＝n0(n0∈N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)以當(dāng)“n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當(dāng)n＝k＋1時命題也成立”．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的證明形式記P(n)是一個關(guān)于正整數(shù)n的命題．我們可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫如下：條件：(1)

P(n0)為真；(2)若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．結(jié)論：P(n)為真．3.數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟在數(shù)學(xué)歸納法的兩步中，第一步驗證(或證明)了當(dāng)n＝n0時結(jié)論成立，即命題P(n0)為真；第二步是證明一種遞推關(guān)系，實際上是要證明一個新命題：若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．只要將這兩步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，從而完成證明．【題型歸納】題型一：數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式1．（2022·廣西北?！じ叨谀ɡ恚┯脭?shù)學(xué)歸納法證明：的過程中，由遞推到時等式左邊增加的項數(shù)為（

）A．1 B． C． D．2．（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知n∈N*，求證1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．3．（2019·河南·南陽中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知，，使等式對都成立，（1）猜測，，的值；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.題型二：數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題4．（2021·河南·高二階段練習(xí)（理））用兩種方法證明：能被49整除．5．（2018·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)能被264整除；(2)能被整除（其中n，a為正整數(shù)）6．（2017·江蘇南通·高二期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）能被9整除.題型三：數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列中，，其中，且．從條件①與條件②，且中選擇一個，結(jié)合上面的已知條件，完成下面的問題．(1)求，，，并猜想的通項公式；(2)證明（1）中的猜想．8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，，且．(1)計算，，猜測的通項公式，并加以證明．(2)求證：．9．（2022·廣西百色·高二期末（理））已知數(shù)列的前項和為，其中且.(1)試求：，的值，并猜想數(shù)列的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.題型四：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式10．（2021·全國·高二單元測試）在1與2之間插入個正數(shù)，使這個數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入個正數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列.記.（1）求數(shù)列和的通項；（2）當(dāng)時，比較與大小并證明結(jié)論.11．（2019·山西呂梁·高二期末（理））給出下列不等式：，，，，（1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結(jié)論；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.12．（2019·江蘇常州·高二期中（理））（1）是否存在實數(shù)，使得等式對于一切正整數(shù)都成立？若存在，求出，，的值并給出證明；若不存在，請說明理由.（2）求證：對任意的，.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題13．（2022·上海市松江區(qū)第四中學(xué)高二期中）已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證：時，若已假設(shè)（且k為偶數(shù)）時等式成立，則還需要再證（

）A．時等式成立 B．時等式成立C．時等式成立 D．時等式成立14．（2022·浙江·嘉興一中高二期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明時，假設(shè)時命題成立，則當(dāng)時，左端增加的項為（

）A． B． C． D．15．（2022·陜西西安·高二期中（理））利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，且）的過程，由到時，左邊增加了（

）A．項 B．項 C．k項 D．1項16．（2022·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意正偶數(shù)n均有，在驗證正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成（

）A．假設(shè)時命題成立B．假設(shè)時命題成立C．假設(shè)時命題成立D．假設(shè)時命題成立17．（2022·河南南陽·高二期末）設(shè)正項數(shù)列的首項為4，滿足．(1)求，，并根據(jù)前3項的規(guī)律猜想該數(shù)列的通項公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．18．（2022·河南·鄧州市第一高級中學(xué)校高二期末（理））設(shè)，，．(1)當(dāng)時，試比較與1的大??；(2)根據(jù)（1）的結(jié)果猜測一個一般性結(jié)論，并加以證明．【高分突破】一：單選題19．（2022·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“1n（n∈N*）”時，由假設(shè)n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推證n＝k+1不等式成立時，不等式左邊應(yīng)增加的項數(shù)是（

）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+120．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＝(a≠1，n∈N*)，在驗證當(dāng)n＝1時，左邊計算所得的式子是（

）A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a421．（2021·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝”．在驗證n＝1時，左端計算所得項為（

）A．1＋a B．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a422．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：當(dāng)成立時，總有成立.則下列命題總成立的是（

）A．若成立，則成立 B．若成立，則當(dāng)時，均有成立C．若成立，則成立 D．若成立，則當(dāng)時，均有成立23．（2021·江蘇·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)時，若記f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，則f(k＋1)－f(k)等于（

）A．3k－1 B．3k＋1C．8k D．9k24．（2021·江蘇·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項是a1，公差是d的等差數(shù)列的前n項和公式是Sn＝na1＋d時，假設(shè)當(dāng)n＝k時，公式成立，則Sk＝（

）A．a(chǎn)1＋(k－1)d B．C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d25．（2021·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：，當(dāng)時，左式為，當(dāng)時，左式為，則應(yīng)該是（

）A． B．C． D．二、多選題26．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知一個命題p(k)，k＝2n(n∈N*)，若當(dāng)n＝1，2，…，1000時，p(k)成立，且當(dāng)n＝1001時也成立，則下列判斷中正確的是（

）A．p(k)對k＝528成立B．p(k)對每一個自然數(shù)k都成立C．p(k)對每一個正偶數(shù)k都成立D．p(k)對某些偶數(shù)可能不成立27．（2022·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值中正確的為（

）A．1 B．2 C．3 D．428．（2021·全國·高二專題練習(xí)）數(shù)列滿足，，則以下說法正確的為（

）A．B．C．對任意正數(shù)，都存在正整數(shù)使得成立D．29．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)成立時，總有成立.則下列命題總成立的是（

）A．若成立，則成立B．若成立，則當(dāng)時，均有成立C．若成立，則成立D．若成立，則當(dāng)時，均有成立30．（2022·全國·高二課時練習(xí)）對于不等式，某同學(xué)運用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：①當(dāng)時，，不等式成立.②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，則當(dāng)時，，所以當(dāng)時，不等式成立.上述證法（

）A．過程全部正確 B．時證明正確C．過程全部不正確 D．從到的推理不正確31．（2022·全國·高二課時練習(xí)）以下四個命題，其中滿足“假設(shè)當(dāng)時命題成立，則當(dāng)時命題也成立”，但不滿足“當(dāng)（是題中給定的n的初始值）時命題成立”的是（

）A．B．C．凸n邊形的內(nèi)角和為D．凸n邊形的對角線條數(shù)三、填空題32．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高二期中）若函數(shù)，且，則______________.33．（2022·全國·高二課時練習(xí)）與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，如果當(dāng)（，）時該命題成立，則可推得當(dāng)時該命題成立，那么為了推得時該命題不成立，需已知______時該命題不成立．34．（2022·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，推證當(dāng)?shù)仁揭渤闪r，只需證明等式____________成立即可．35．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次計算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表達(dá)式為________.36．（2021·全國·高二專題練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：“兩兩相交且不共點的n條直線把平面分為f(n)部分，則f(n)＝1＋.”證明第二步歸納遞推時，用到f(k＋1)＝f(k)＋________.37．（2020·全國·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明時，從到，不等式左邊需添加的項是______________．四、解答題38．（2022·廣西·桂林市第十九中學(xué)高二期中（理））設(shè)數(shù)列滿足．(1)求的值并猜測通項公式；(2)證明上述猜想的通項公式．39．（2022·廣西·桂林市國龍外國語學(xué)校高二）請你從下列兩個遞推公式中，任意選擇一個填入題中橫線上，并解答題后的兩個問題：①②已知數(shù)列的前項和為，且，_______.(1)求；(2)猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.40．（2022·北京·北師大實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）在數(shù)列，中，，，且，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列.(1)求，，及，，，由此猜測，的通項公式，并證明你的結(jié)論；(2)證明：.41．（2022·江西贛州·高二期中（理））已知數(shù)列滿足，前n項和．(1)求，，的值并猜想的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的猜想．42．（2022·上?！じ裰轮袑W(xué)高二階段練習(xí)）個正數(shù)排成行列方陣，其中每一行從左至右成等差數(shù)列，每一列從上至下都是公比為同一個實數(shù)的等比數(shù)列．已知，，．(1)設(shè)，求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，請用數(shù)學(xué)歸納法證明：．【答案詳解】1．B【分析】將代入不等式左邊，比較兩式即可求解.【詳解】當(dāng)時，等式為，當(dāng)時，，增加的項數(shù)為,故選:B.2．證明見解析【分析】直接用數(shù)學(xué)歸納法的步驟，一步步的證明即可.【詳解】(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右邊．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時成立，即1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＝－k(k＋1)(4k＋3)．則當(dāng)n＝k＋1時，1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＋(2k＋1)·(2k＋2)2－(2k＋2)·(2k＋3)2＝－k(k＋1)(4k＋3)＋(2k＋2)[(2k＋1)(2k＋2)－(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)＋2(k＋1)·(－6k－7)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)＝－(k＋1)·[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]，即當(dāng)n＝k＋1時成立．由(1)(2)可知，對一切n∈N*結(jié)論成立．3．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）通過舉例：得到三元一次方程組求解并猜測，，；（2）代入，，的值，利用數(shù)學(xué)歸納法的常規(guī)步驟去證明等式成立即可.【詳解】(1)假設(shè)存在符合題意的常數(shù)，，，在等式中，令，得①令，得②令，得③由①②③解得，于是，對于都有（*）成立．(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切正整數(shù)，（*）式都成立．（1）當(dāng)時，由上述知，（*）成立．（2）假設(shè)時，（*）成立，即那么當(dāng)時，，由此可知，當(dāng)時，（*）式也成立．綜上所述，當(dāng)時題設(shè)的等式對于一切正整數(shù)都成立．【點睛】使用數(shù)學(xué)歸納法的注意事項：由到時,除等式兩邊變化的項外還要利用時的式子,即利用假設(shè),正確寫出歸納證明的步驟,從而使問題得以證明.4．證明見解析.【分析】分別利用二項式定理與數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.【詳解】證明：方法一：因為為整數(shù)，所以能被49整除．方法二：（1）當(dāng)時，，能被49整除．（2）假設(shè)當(dāng)，能被49整除，那么，當(dāng)，．因為能被49整除，也能被49整除，所以能被49整除，即當(dāng)時命題成立，由（1）（2）知，能被49整除．5．(1)見解析(2)見解析【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，注意數(shù)學(xué)歸納法的格式．（1）當(dāng)時，-264能被264整除，成立；當(dāng)時，假設(shè)能被264整除；當(dāng)時，能被264整除，命題正確.（2）當(dāng)時，能被整除，成立；當(dāng)時，假設(shè)能被整除；當(dāng)時，能被整除.6．詳見解析.【詳解】試題分析：利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟首先驗證n=1時成立，然后假設(shè)命題成立，驗證等式成立即可.試題解析：（1）當(dāng)時，能被9整除，所以命題成立（2）假設(shè)當(dāng)時命題成立，即（）能被9整除那么，當(dāng)時，由歸納假設(shè)（）能被9整除及是9的倍數(shù)所以能被9整除即時，命題成立由（1）（2）知命題對任意的均成立點睛：數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題．證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)．在用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第(1)步驗算n＝n0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值，．第(2)步，證明n＝k＋1時命題也成立的過程，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.7．(1)，，，；(2)證明見解析.【分析】(1)分別?、佗诖胗嬎愠?，，，并根據(jù)計算的結(jié)果猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.（1）選條件①，由題意可得，同理可得，，猜想()．選條件②，由題意可得，∵，，∴，，∴，同理可得，猜想（）．（2）顯然當(dāng)時，猜想成立，假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即（），當(dāng)時，由，可得=（），即當(dāng)時，猜想成立，綜上所述，（）．8．(1)，，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)遞推公式，計算并猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.（2）由（1）得，利用放縮法當(dāng)時，然后裂項相消即可證明不等式.（1）因為，，所以，．猜測．證明如下：①當(dāng)時，顯然成立．②假設(shè)當(dāng)時成立，即，則當(dāng)時，，即當(dāng)時，結(jié)論成立．綜上所述，．（2）由（1）知，所以，故得證．9．(1)，，；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系寫出，的值，由所得前3項猜想通項公式即可.（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，首先判斷時通項公式是否成立，再假設(shè)時通項公式成立，進(jìn)而利用關(guān)系求證是否成立即可.(1)因為且.所以，解得，因為，所以，解得.由，猜想：.(2)①當(dāng)時，等式成立；②假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即那么，當(dāng)時，由題設(shè)，得，，所以，，則.因此，，所以.這就證明了當(dāng)時命題成立.由①②可知：命題對任何都成立.10．（1）；（2）；證明見解析；【分析】（1）由1，，，，，，成等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，從而可求；1，，，，，，2這個數(shù)成等差數(shù)列．利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得從而可求．（2）由（1）可求，，轉(zhuǎn)化比較，的大小，先取，8，9代入計算，觀察與的大小，做出猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．【詳解】（1），，，，，2成等比數(shù)列，，，．，，，，，2成等差數(shù)列，，．所以，數(shù)列的通項，數(shù)列的通項．（2），，，，要比較和的大小，只需比較與的大小，也即比較當(dāng)時，與的大?。?dāng)時，，，得知，經(jīng)驗證，時，均有命題成立．猜想當(dāng)時有．用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)時，已驗證，命題成立．②假設(shè)時，命題成立，即，那么，又當(dāng)時，有，．這就是說，當(dāng)時，命題成立．根據(jù)①、②，可知命題對于都成立．故當(dāng)時，．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識和性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.11．（1）（2）見解析【分析】（1）猜想不等式左邊最后一個數(shù)分母，對應(yīng)各式右端為，即得解；（2）遞推部分，利用時結(jié)論，替換括號內(nèi)部分即得證.【詳解】解：（1）觀察不等式左邊最后一個數(shù)分母的特點：，，，，猜想不等式左邊最后一個數(shù)分母，對應(yīng)各式右端為，所以，不等式的一般結(jié)論為：（2）證明：①當(dāng)時顯然成立；

②假設(shè)時結(jié)論成立，即：成立，

當(dāng)時，

即當(dāng)時結(jié)論也成立.由①②可知對任意，結(jié)論都成立.【點睛】本題考查了歸納推理和數(shù)學(xué)歸納法，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.12．（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）對n進(jìn)行賦值，代入，求解方程組可求,證明使用數(shù)學(xué)歸納法；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明.【詳解】（1）在等式中令得①；令得②；令得③；由①②③解得對于都有成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切正整數(shù)，式都成立.①當(dāng)時，由上所述知式成立；②假設(shè)當(dāng)時式成立，即，那么當(dāng)時，綜上：由①②得對一切正整數(shù)，式都成立，所以存在時題設(shè)的等式對于一切正整數(shù)都成立.（2）證明：①當(dāng)時，左式，右式，所以左式<右式，則時不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即，那么當(dāng)時，下面證明當(dāng)時，.設(shè)，則所以在上單調(diào)增，所以即時，.因為，所以則因為所以由得那么時不等式也成立.綜上：由①②可得對任意.【點睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時注意利用假設(shè)條件，利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時注意放縮.13．B【分析】首先因為n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明的時候，若已假設(shè)（，k為偶數(shù)）時命題為真，因為n只能取偶數(shù)，則代入無意義，故需證明成立．【詳解】解：若已假設(shè)（，k為偶數(shù)）時命題為真，因為n只能取偶數(shù)，所以還需要證明成立．故選：B．14．D【分析】求出時，不等式的左邊，再求出當(dāng)時，不等式的左邊，得到當(dāng)時，即可推出不等式的左邊比時增加的項.【詳解】當(dāng)時，不等式左邊等于，當(dāng)時，不等式左邊等于當(dāng)時，不等式的左邊比時增加.故選：D15．A【分析】時，左邊的最后一項為，時，最后一項為，由此可得由到時，左邊增加的項數(shù)．【詳解】由題意，時，不等式左邊，最后一項為，時，不等式左邊，最后一項為，由變到時，左邊增加了項,故選：A．16．C【分析】依題意根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明判斷即可；【詳解】解：因為要證明的是對任意正偶數(shù)n均有等式成立，所以在驗證正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)時命題成立．故選：C．17．(1)，；(2)見解析【分析】（1）由首項及遞推關(guān)系式逐次求得，再根據(jù)前三項總結(jié)規(guī)律猜想出數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)已知條件得到遞推關(guān)系，利用遞推關(guān)系按數(shù)學(xué)歸納法步驟證明即可.(1)由可得，又，則，，則，猜想；(2)由（1）得，當(dāng)時，，①當(dāng)時，猜想顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時成立，即；當(dāng)時，，猜想成立，由①②知猜想恒成立，即.18．(1)；；；；(2)當(dāng)，時，有，證明見解析.【分析】（1）求出的值即得；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即得.(1)∵，，∴，．∵，，∴，．∵，，∴，．∵，，∴，．(2)猜想：當(dāng)，時，有．證明：①當(dāng)時，猜想成立．②假設(shè)當(dāng)（，）時猜想成立，．當(dāng)，．∵，∴，則，即，∴當(dāng)時，猜想成立.由①②知，當(dāng)，時，有．19．C【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可求解.【詳解】在用數(shù)學(xué)歸納法證明“（n∈N*）”時假設(shè)當(dāng)時不等式成立，左邊=則當(dāng)時，左邊=則由遞推到時不等式左邊增加了：共，故選：C20．B【分析】將n＝1時，代入左邊即可得出選項.【詳解】當(dāng)n＝1時，左邊的最高次數(shù)為1，即最后一項為a，左邊是1＋a，故選：B.21．C【分析】將n＝1代入即得.【詳解】由知，當(dāng)時，等式的左邊是.故選：C.22．D【分析】根據(jù)題中的信息，結(jié)合不等號的方向可判斷A、C的正誤；再根據(jù)題意可得若f(3)≥4成立，則當(dāng)k≥3時，均有f(k)≥k+1成立，據(jù)此可對B作出判斷；同理判斷出D的正誤.【詳解】選項A、C與已知條件不等號方向不同，故A、C錯誤；選項B中，若f(3)≥4成立，則當(dāng)k≥3時，均有f(k)≥k+1成立，故B錯誤；根據(jù)題意，若成立，則成立，即成立，結(jié)合，所以當(dāng)時，均有成立.故選：D.23．C【分析】根據(jù)題意，寫出的表達(dá)式，然后求差即得，注意表達(dá)式的起始項、終止項和中間項的變化.【詳解】因為f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，則f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故選：C.24．C【分析】只需把公式中的n換成k即可．【詳解】假設(shè)當(dāng)n＝k時，公式成立，只需把公式中的n換成k即可，即Sk＝ka1＋d.故選:C25．B【分析】根據(jù)題意表示出和，然后代入計算即可.【詳解】由題意，，，所以.故選：B.26．AD【分析】直接根據(jù)已知條件判斷每一個選項的正確錯誤.【詳解】由題意知p(k)對k＝2，4，6，…，2002成立，當(dāng)k取其他值時不能確定p(k)是否成立，故選AD.故選：AD27．CD【分析】先驗證四個選項中符合要求的的值，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行充分性證明.【詳解】當(dāng)時，，不合要求，舍去當(dāng)時，，不合要求，舍去；當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，，符合題意，下證：當(dāng)時，成立，當(dāng)時，成立，假設(shè)當(dāng)時，均有，解得：當(dāng)時，有，因為，所以成立，由數(shù)學(xué)歸納法可知：對任意的自然數(shù)都成立，故選：CD28．ABCD【分析】對于A，結(jié)合二次函數(shù)的特點可確定正誤；對于B，將原式化簡為，由得到結(jié)果；對于C，結(jié)合范圍和A中結(jié)論可確定，由此判斷得到結(jié)果；對于D，利用數(shù)學(xué)歸納法可證得結(jié)論.【詳解】對于A，，若，則，又，可知，，又，，A正確；對于B，由已知得：，，B正確；對于C，由及A中結(jié)論得：，，，顯然對任意的正數(shù)，在在正整數(shù)，使得，此時成立，C正確；對于D，（i）當(dāng)時，由已知知：成立，（ii）假設(shè)當(dāng)時，成立，則，又，即，，綜上所述：當(dāng)時，，D正確.故選：ABCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于能夠熟練應(yīng)用不等式的性質(zhì)與函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡辨析，同時對于數(shù)列中的不等式證明問題，可采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.29．AD【分析】由逆否命題與原命題為等價命題可判斷AC，再根據(jù)題意可得若成立，則當(dāng)時，均有成立，據(jù)此可對B作出判斷；同理判斷出D的正誤.【詳解】對于A：當(dāng)成立時，總有成立.則逆否命題：當(dāng)成立時，總有成立.若成立，則成立，故A正確；對于B：若成立，則當(dāng)時，均有成立，故B錯誤；對于C：當(dāng)成立時，總有成立.則逆否命題：當(dāng)成立時，總有成立.故若成立，則成立，所以C錯誤；對于D：根據(jù)題意，若成立，則成立，即成立，結(jié)合，所以當(dāng)時，均有成立，故D正確.故選：AD30．BD【分析】直接利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行判斷即可.【詳解】易知當(dāng)時，該同學(xué)的證法正確.從到的推理過程中，該同學(xué)沒有使用歸納假設(shè)，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求，故推理不正確.故選：BD.31．BC【分析】A將初始值代入判斷是否滿足要求；B、C應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法判斷是否滿足要求；D在成立的條件下判斷是否成立即可判斷.【詳解】A：，顯然時有，故當(dāng)n為給定的初始值時命題成立，故不滿足要求；B：假設(shè)當(dāng)時命題成立，即，當(dāng)時有，故當(dāng)時命題也成立，當(dāng)時，等號左邊為2，右邊為，，所以當(dāng)時命題不成立，故滿足要求；C：假設(shè)當(dāng)時命題成立，即，當(dāng)時有，故當(dāng)時命題也成立，當(dāng)時內(nèi)角和為命題不成立，故滿足要求；D：假設(shè)當(dāng)時命題成立，即，當(dāng)時有，故不滿足要求.故選：BC.32．【分析】由，可得與表達(dá)式，又，得到，可得：，即可解出原式.【詳解】可得.又∴，.∴.則=故答案為：33．6【分析】根據(jù)已知的命題，可以假設(shè)時成立，可得到時命題成立，故利用反證的思想可得答案.【詳解】由題意可知，時，該命題不成立，那么時該命題一定不成立，否則時該命題成立，那么時，該命題也成立，故答案為：634．【分析】首先假設(shè)時成立，然后再寫出時需證明的等式，兩式相比較即可得出答案.【詳解】假設(shè)時成立，即成立，當(dāng)時，，故只需證明“”成立即可．故答案為：.35．Sn＝【分析】根據(jù)Sn＝n2an，首先求出S1，S2，S3，S4，觀察即可求解.【詳解】S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.故答案為：Sn＝36．k＋1【分析】從目標(biāo)f(n)＝1＋分析，的結(jié)果，便可知第二步歸納遞推時需要