4.3.1等比數(shù)列的概念 第二課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)-（新教材 新高考高中數(shù)學(xué)）-2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)（人教A版（2019）選擇性必修第二冊）

《4.3.1等比數(shù)列的概念(2)》教學(xué)設(shè)計(jì)-------李德峰（一）教學(xué)內(nèi)容等比數(shù)列的概念（二）教材分析1.教材來源本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》2.地位與作用數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，它與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要地位。（三）學(xué)情分析1.認(rèn)知基礎(chǔ)：已經(jīng)掌握了等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和一些性質(zhì)。2.認(rèn)知障礙：解決實(shí)際問題中，需要等差等比構(gòu)造新的數(shù)列，思維上存在一定的難度。（四）教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)目標(biāo)：①能根據(jù)等比數(shù)列的定義推出等比數(shù)列的性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)簡化運(yùn)算②能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.2.能力目標(biāo)：通過分析具體情境，解決實(shí)際問題的過程中發(fā)展推理論證的能力。3.素養(yǎng)目標(biāo)：通過推導(dǎo)等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，通過利用等比數(shù)列的相關(guān)公式解決實(shí)際應(yīng)用問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)（五）教學(xué)重難點(diǎn)：1.重點(diǎn)：運(yùn)用等比數(shù)列解決簡單的實(shí)際問題難點(diǎn)：等比數(shù)列的綜合運(yùn)用（六）教學(xué)思路與方法教學(xué)過程分為問題呈現(xiàn)階段、探索與發(fā)現(xiàn)階段、應(yīng)用知識(shí)階段課前準(zhǔn)備多媒體（八）教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)：新課引入教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖1915年，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基創(chuàng)造了一個(gè)美妙的“藝術(shù)品”，被人們稱為謝爾賓斯基三角形，如圖所示.我們來數(shù)一數(shù)圖中那些白色的同一類三角形的個(gè)數(shù)，可以得到一列數(shù)：1，3，9，27，……，我們知道這是一個(gè)等比數(shù)列.問題：在等差數(shù)列{an}中有這樣的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的數(shù)列驗(yàn)證，在等比數(shù)列中是否有類似的性質(zhì)？提示在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq.讓學(xué)生類比等差發(fā)現(xiàn)等比性質(zhì)教學(xué)環(huán)節(jié)：新知探究教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖常用等比數(shù)列的性質(zhì)1.如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，則有am·an＝ak·al.2.如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，則有am·an＝aeq\o\al(2,k).3.若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差數(shù)列，則am，an，ap成等比數(shù)列.4.在等比數(shù)列{an}中，每隔k項(xiàng)(k∈N*)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列.5.如果{an}，{bn}均為等比數(shù)列，且公比分別為q1，q2，那么數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(bn,an)))，{|an|}仍是等比數(shù)列，且公比分別為eq\f(1,q1)，q1q2，eq\f(q2,q1)，|q1|.6.等比數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性：在有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….類比等差數(shù)列的性質(zhì)，推導(dǎo)等比數(shù)列的性質(zhì)。教學(xué)環(huán)節(jié)：例題解析教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖例4.用10000元購買某個(gè)理財(cái)產(chǎn)品一年.（1）若以月利率0.400%的復(fù)利計(jì)息，12個(gè)月能獲得多少利息（精確到1元）？（2）若以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度，則當(dāng)每季度利率為多少時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息（精確到10?5分析：復(fù)利是指把前一期的利息與本金之和算作本金，再計(jì)算下一期的利息.所以若原始本金為a元，每期的利率為r

，則從第一期開始，各期的本利和a

,a1+r，a解：（1）設(shè)這筆錢存

n

個(gè)月以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列an，則a首項(xiàng)a1=10所以a12=所以，12個(gè)月后的利息為10

490.7?10解：（2）設(shè)季度利率為

r

，這筆錢存

n

個(gè)季度以后的本利和組成一個(gè)數(shù)列bn，則b首項(xiàng)b1=10于是b4因此，以季度復(fù)利計(jì)息，存4個(gè)季度后的利息為104解不等式104得r≥1.206%.所以，當(dāng)季度利率不小于1.206%時(shí)，按季結(jié)算的利息不少于按月結(jié)算的利息.一般地，涉及產(chǎn)值增長率、銀行利息、細(xì)胞繁殖等實(shí)際問題時(shí)，往往與等比數(shù)列有關(guān)，可建立等比數(shù)列模型進(jìn)行求解例5.已知數(shù)列an的首項(xiàng)a（1）若an為等差數(shù)列，公差

d=2，證明數(shù)列3（2）若an為等比數(shù)列，公比q=19分析：根據(jù)題意，需要從等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義出發(fā)，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行證明。證明（1）：由a1=3，d=2，得an設(shè)bn=bn+1又b1所以，3a證明（2）：由a1=3,a兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)，得log所以log3又log3所以，log3an例6.某工廠去年12月試產(chǎn)1050個(gè)高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90%.從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高5%，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加0.4%，那么生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格品的數(shù)量能否控制在100個(gè)以內(nèi)？分析：設(shè)從今年1月起各月的產(chǎn)量及合格率分別構(gòu)成數(shù)列an，bn,則各月不合格品的數(shù)量構(gòu)成數(shù)列anbn，由題意可知，數(shù)列a解：（1）設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列an，banb=0.104?0.004n,

其中n=1,2,…,24,則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品的數(shù)量是anbn=1050×1.05n?1由計(jì)算工具計(jì)算（精確到0.1），并列表觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列anbn先遞增，在第6項(xiàng)以后遞減，所以只要設(shè)法證明當(dāng)n≥6時(shí)，a由an+1得n>5.所以，當(dāng)n≥6時(shí)，an又a13b13所以當(dāng)13≤n≤24時(shí),a所以，生產(chǎn)該產(chǎn)品一年后，月不合格的數(shù)量能控制在100個(gè)以內(nèi).引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題中呈等比關(guān)系的量，并構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列來刻畫變量。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于一個(gè)陌生的數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以從數(shù)值、圖像上尋找規(guī)律，然后通過運(yùn)算、論證獲得解答。通過運(yùn)用等比數(shù)列模型，解決實(shí)際問題。發(fā)展學(xué)生分析能力及數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)。通過等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系，把等差數(shù)列的一些性質(zhì)遷移到等比數(shù)列中。通過復(fù)雜的實(shí)際問題，讓學(xué)生體會(huì)，對(duì)于數(shù)列問題，我們一般從它的通項(xiàng)出發(fā)進(jìn)行研究。發(fā)展學(xué)生的推理論證能力。教學(xué)環(huán)節(jié)：課堂練習(xí)1.(多選題)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則下面四個(gè)數(shù)列中也是等比數(shù)列的有()A.{can}(c為常數(shù))B.{an＋an＋1}C.{an·an＋1)D.{aeq\o\al(3,n)}解析當(dāng)c＝0時(shí)，{can}不是等比數(shù)列，當(dāng)數(shù)列{an}的公比q＝－1時(shí)，an＋an＋1＝0，不是等比數(shù)列；由等比數(shù)列的定義，選項(xiàng)CD中的數(shù)列是等比數(shù)列.答案CD2.在等比數(shù)列{an}中，a4＝6，a8＝18，則a12＝()A.24B.30C.54D.108解析由aeq\o\al(2,8)＝a4a12得a12＝eq\f(aeq\o\al(2,8),a4)＝54.答案C3.若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則eq\f(a2,b2)＝________.解析{an}為等差數(shù)列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.{bn}為等比數(shù)列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，∴q＝－2，∴b2＝b1·q＝2，則eq\f(a2,b2)＝eq\f(2,2)＝1.答案14.在《九章算術(shù)》中“衰分”是按比例遞減分配的意思.今共有糧98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，則衰分比例為________.解析設(shè)衰分比例為q，則甲、乙、丙各分得eq\f(28,q)，28，28q石，∴eq\f(28,q)＋28＋28q＝98，∴q＝2或eq\f(1,2).又0<q<1，∴q＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)5.在等比數(shù)列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.解因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，所以a5a6＝a4a7＝－8.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a4a7＝－8，))可解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4.))當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))時(shí)，q3＝－eq\f(1,2)，故a1＋a10＝eq\f(a4,q3)＋a7q3＝－7；當(dāng)eq\b\lc\{(\a\v