4.2指數(shù)函數(shù)-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊講義

新教材必修第一冊4.2：指數(shù)函數(shù)課標(biāo)解讀：指數(shù)函數(shù)的概念.（了解）指數(shù)函數(shù)的圖像.（理解）指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).（掌握）指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用.（理解）學(xué)習(xí)指導(dǎo)：通過指數(shù)函數(shù)的圖像加深對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解和掌握，而準(zhǔn)確把握并熟練運用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是本節(jié)重中之重.會求解指數(shù)函數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，并利用單調(diào)性比較大小，解不等式，求最值等，有關(guān)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的問題是高考的熱點問題，應(yīng)熟練掌握求解的基本方法和技巧.知識導(dǎo)圖知識點1：指數(shù)函數(shù)的概念1.指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，底數(shù)是一個大于0且不等于1的常量，定義域是R.2.指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征指數(shù)函數(shù)只是一個新式定義，判斷一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵有三點：①的系數(shù)必須為1；②底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)，不能是自變量；③指數(shù)處只有一個自變量，而不是含自變量的多項式.例1-1：給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.其中為指數(shù)函數(shù)的有（填序號）.答案：①⑤⑧指數(shù)點2：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表：底數(shù)圖象性質(zhì)定義域R值域（0，+）定點圖象過定點（0,1）單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)函數(shù)值的變化情況當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，對稱性函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱例2-2：如果指數(shù)函數(shù)是R上的增函數(shù)，那么的取值范圍是（）A.B.C.RD.答案：D例2-3：已知集合，則（）?B.C.D.答案：D例2-4：已知函數(shù)在（0，2）上的值域是（1，），則的大致圖象是（）.答案：B重難拓展指數(shù)函數(shù)的底數(shù)對圖像的影響函數(shù)的圖像如圖所示：觀察圖像，我們有如下結(jié)論：1.底數(shù)與1的大小關(guān)系決定了指數(shù)函數(shù)圖像的“升”與“降”.（1）當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)的圖像是“上升”的，且當(dāng)時，底數(shù)的值越大，函數(shù)的圖像越“陡”，說明其函數(shù)值增長的越快.（2）當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)的圖像是“下降”的，且當(dāng)時，底數(shù)的值越小，函數(shù)的圖像越“陡”，說明其函數(shù)值減小的越快.2.底數(shù)的大小決定了圖像相對位置的高低：不論是還是，底數(shù)越大，在第一象限內(nèi)的函數(shù)圖像越“靠上”.在同一平面直角坐標(biāo)系中，底數(shù)的大小決定了圖像相對位置的高低；在軸右側(cè)，圖像從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即“底數(shù)大圖像高”；在軸左側(cè)，圖像從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大，即“底數(shù)大圖像低”；例3-5：已知則在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，它們的圖像為（）.答案：A例3-6：已知實數(shù)滿足等式，給出下列五個關(guān)系式：①；②；③；④；⑤.其中，可能成立的關(guān)系是有（）1個B.2個C.3個D.4個答案：C題型與方法題型1：指數(shù)函數(shù)的圖像及其應(yīng)用1.利用指數(shù)函數(shù)的圖像作有關(guān)函數(shù)的圖像例7：利用函數(shù)的圖像，作出下列各函數(shù)的圖像：；（2）；（3）；（4）；（5）.答案：2.圖像的識別問題例8：（1）函數(shù)的圖像如圖所示，其中為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）.B.D.答案：D（2）函數(shù)的圖像大致為（）答案：A例9：已知函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值則的圖像為（）答案：A變式訓(xùn)練1：若函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，則有（）A.B.C.D.答案：D變式訓(xùn)練2：二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像可能是（）.答案：A3.過定點問題例10.函數(shù)的圖像過定點.答案：（3,4）4.圖像的應(yīng)用——數(shù)形結(jié)合（1）定義區(qū)間[]（）的長度為.已知函數(shù)的定義域為[]，值域為[1,2]，則區(qū)間[]的長度的最大值與最小值的差為（）A.B.1C.D.2（2）若直線與函數(shù)的圖像有兩個公共點，則的取值范圍是.答案：（1）B（2）（）題型2：求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域和值域例12：求下列函數(shù)的定義域和值域：（1）；（2）；（3）（4）.答案：（1）定義域：，值域；（2）定義域：，值域：；（3）定義域：，值域：；（4）定義域：R，值域：.變式訓(xùn)練：已知集合，則滿足的集合B可以是（）.A.B.C.D.答案：B題型3：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1.比較大小例14：比較下列各題中兩值的大?。海?）（2）（3）答案：（1）＜（2）＞（3）＜2.解指數(shù)不等式例15：求滿足下列條件的的取值范圍：（1）；（2）；（3）答案：（1）；（2）；（3）變式訓(xùn)練：已知函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是（）.A.B.C.D.答案：C題型4：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性例16：設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).求的值；若，試判斷函數(shù)的單調(diào)性（不需證明），并求不等式的解集.答案：（1）；（2）題型5：指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用例17:（1）已知，，判斷的符號.（2）解方程.答案：（1）（2）例18：已知定義在R上恒不為0的函數(shù)滿足（1）證明（2）證明當(dāng)時，則在R上單調(diào)遞增.易錯辨析忽略對底數(shù)的討論致錯例19：已知函數(shù)，當(dāng)時，求該函數(shù)的值域.答案：2.換元時忽略指數(shù)函數(shù)的值域致錯例20：函數(shù)的值域為.答案：高考鏈接考向1：與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、值域問題例22：函數(shù)的定義域為（）A.B.C.D.答案：A考向2：指數(shù)函數(shù)的圖像識別及其應(yīng)用例23：函數(shù)的圖像大致為（）答案：B考向3：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例24：設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.答案：C例25：若函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最小值等于.答案：1例26：設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A.B.C.D.答案：D考向4：指數(shù)型符合函數(shù)的奇偶性例27：（1）已知函數(shù)，則（）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)答案：B（2）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實數(shù)滿足：，則的取值范圍是.答案：變式訓(xùn)練：若函數(shù)是奇函數(shù)，則使成立的的取值范圍是（）A.B.C.D.答案：C基礎(chǔ)鞏固：1.全集U=R，集合，則（）A.B.C.D.2.函數(shù)的圖像可能是（）3.已知指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過拋物線的頂點，則（）A.B.2C.D.34.設(shè)，則是（）A.奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增B.偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增C.奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減D.偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減5.設(shè)則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.6.已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點（2,4），其中且（1）求的值；（2）求函數(shù)的值域.7.已知；（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性，并說明理由；（3）證明>0.能力提升：8.已知集合，則（）A.B.C.D.?9.定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足.若，則=（）A.2B.C.D.10.若，則（）A.B.C.D.11.若存在正數(shù)使成立，則的取值范圍是（）A.B.C.D.12.設(shè)函數(shù)，則滿足的取值范圍是（）A.B.C.D.13.設(shè)函數(shù)定義在實數(shù)集上，，且當(dāng)時，，則有（）A.